Функциональные и последовательные ряды (1187983), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Последовательность1> 0.n+x+113. Так как ln(n+x+1) 61ln(n+x+1)— монотонна при каждом x > 0, так как (ln(n + x + 1))0 =1⇒ 0 по Д.У.ln(n + x + 1)Значит, по признаку Дирихле ряда F (x) сходятся равномерно при x > 0.Неравномерная сходимость ряда G(x). Докажем выполнение отрицания условияКоши.∃ε =n→+∞1→ln(n+1)0, тоsin 11∀N ∈ N ∃nN = N ; ∃pN = N ; ∃xN =:1000N 2N Xsin N1 · k sin N1 · N3N sin 13sin 31 > N=>.ln (N + 2N + N )ln 4N1000ln N1 + k + 1 k=N +1В последней оценке нам нужна любая постоянная, отделяющая от нуля.Ряд G(x) сходится неравномерно./3.11.Рассмотрим вопрос, как связаны равномерная сходимость ряда и последовательностичленов ряда.Пример 3.12. Исследовать на равномерную сходимость последовательность fn (x) =+∞X11x sin (nx)2 и ряд F (x) =x sinна множествах E1 = (0; 1)).2(nx)n=1.3.12.
Поточечная сходимость.10 6 x sin (nx)2Так какE1 ∪E261 n→+∞→xn2+∞XТак как рядn=11.xn20, то последовательность fn (x) поточечно сходится к f (x) = 0 на E1 ∪E2 .1сходится при любом x ∈ E1 ∪ E2 , то ряд F (x) поточечно сходится наxn2E1 ∪ E2 .Равномерная сходимость последовательности и ряда E2 .E2Продолжая полученную при доказательстве поочечной сходимости оценку xn1 2 6 n12 ,имеем:– так как числовая последовательность n12 — бесконечно малая, то последовательностьE2fn (x) ⇒ 0 по Д.У.;+∞X1– так как числовой ряд— сходится, то ряд F (x) — сходится равномерно на E2 поn2n=1признаку Вейерштрасса.Анализ на черновике.
Для определения типа сходимости последовательности иряда на E1 рассмотрим параметризованную последовательность xN = N1α , α > 0 точекαиз E1 . Вспомогательная числовая последовательность fN (xN ) = N1α sin NявляетсяN2произведением бесконечно малой последовательности на ограниченную, то есть бесконечномалой последовательностью.Полученные бесконечно малые последовательности не позволяют воспользоватьсяотрицанием определения равномерной сходимости последовательности, а также отрицаниемнеобходимого условия равномерной сходимости ряда.Для доказательства неравномерной сходимости ряда достаточно подобрать α, прикотором ряд с членами – элементами этой последовательности – расходится и показатьвыполнение отрицания условия Коши.
Выберем, например, xN = N1 для простоты работы саргументом синуса.Для исследования типа сходимости последовательности используем критерийравномерной сходимости последовательности (исследование lim sup |fn (x) − f (x)|).n→+∞ E1Неравномерная сходимость ряда на E1 .∃ε = sin11∀N ∈ N ∃nN = N ; ∃pN = N ∃xN =:4N n +p2N X NXN111N21 fk (xN ) = sin= sin .2 > N sin21 NN(2N )4·k k=n +1k=N +1NNРавномерная сходимость последовательности на E1 .
Докажем существаваниеточки максимума для каждой функции – элемента последовательности. Исследуем нулипроизводной.111fn (x)0 = sin (nx)2 − 2 cos (nx)2 · (nx)2 = 01Пусть t = (nx)2 > 0. Тогда уравнение имеет вид: sin t − 2t cos t = 0. Или, учитывая, чтокорень уравнения не может быть нулем косинуса, tg t = 2t.
Из графиков функций видно, что на промежутке 0; π2 есть корень. Предлагаетсясамостоятельно доказать теоретически существование корня на указанном промежутке.Обозначим√корень уравнения C. Тогда, в силу замены переменной при каждом n ∈ N точкавида xn = nC ∈ (0; 1) = E1 являются точкой экстремума функции fn (x). Докажите, что этоточка максимума функции |fn (x)|. rCТогда lim sup(|fn (x)| = lim· sin C = 0. По критерию равномерной сходимостиn→+∞ E1n→+∞Nфункциональных последовательностей сходимость равномерная. /3.12.Пример 3.14.
(18.45) Исследовать ряды F (x) =+∞Xun (x) и G(x) =n=1+∞X|un (x)| наn=1равномерную сходимость, где un (x) = (−1)n xx (1 − x) на множестве E = (0; 1)..3.14. Поточечная сходимость и поточечная абсолютная сходимость.Рассмотрим последовательность частичных сумм ряда из модулей для любого x ∈ E:NNXXn→+∞SN (x) =xn (1 − x) =xn − xn+1 = x − xN +1 → x.n=1n=1В силу поточечной сходимости последовательности частичных сумм ряда из модулей,ряд G(x) сходится поточечно, следовательно, ряд F (x) — сходится поточечно абсолютно исходится поточечно.Равномерная сходимость ряда F (x). В примере 3.8. доказана оценкаn n+1 nnn11sup |un (x)| =−= 1−·.n+1n+1n+1n+1EПроизведение ограниченной последовательности на бесконечно малую стремится кнулю, следовательно, lim sup |fn (x) − f (x)| = 0. По критерию равномерной сходимостиn→+∞ EEпоследовательность |un (x)| ⇒ 0.Монотонность последовательности |un (x)| = xn − xn+1 — очевидна (доказатьсамостоятельно).По признаку Лейбница равномерной сходимости рядов ряд F (x) сходится равномерно наE.Анализ на черновике.
Рассмотрим n-ый член ряда из модулей G(x). Так какn 1 n→+∞ C1· n+1 ∼ n , то можно доказывать неравномерную сходимость,supE |un (x)| = 1 − n+1используя отрицание условия Коши.2NXОтрезок ряда из N членов имеет вид: G2N (x) − GN (x) =xk − xk+1 = xN +1 − x2N +1 .k=N +11√ .Рассмотрим xN = N +12Неравномерная сходимость G(x).11√ :∃ε = ; ∀N ∈ N ∃nN = N ∃pN = N ∃xN = N +1422N X11 1k+1 +1+1kxN − xN = x N− x2N> − = .NN2 44k=N +1Следовательно, ряд G(x) сходится на E неравномерно.
/3.14.1.4Некоторые теоретические вопросыВ последнем пункте параграфа рассмотрим некоторые теоретические вопросы, связанные спонятиями равномерной и неравномерной сходмости функцональных последовательностей ирядов.Вопрос 4.1.EEа) Пусть последовательности fn (x) ⇒ f (x) и gn (x) ⇒ g(x).EВерно ли, что ∀α ∈ R, ∀β ∈ R последовательность (αfn (x) + βgn (x)) ⇒ (αf (x) + βg(x))?+∞+∞XXEEб) Пусть рядыun (x) ⇒ U (x) иvn (x) ⇒ V (x).n=1n=1Верно ли, что ∀α ∈ R, ∀β ∈ R ряд+∞XE(αun (x) + βvn (x)) ⇒ αU (x) + βV (x)?n=1Вопрос 4.2.Eа) Пусть последовательность fn (x) ⇒ f (x) и g(x) ∈ B(E)1 .EВерно ли, что последовательность (g(x)fn (x)) ⇒ (g(x)f (x))?+∞+∞XXEEб) Пусть рядun (x) ⇒ U (x) и g(x) ∈ B(E). Верно ли, что ряд(g(x)fn (x)) ⇒?n=1n=1Вопрос 4.3.EEа) Пусть последовательности fn (x) → f (x) и gn (x) → g(x) неравномерно, причем ∀n ∈N fn (x) + gn (x) не является тождественно равной нулю функцией.EВерно ли, что последовательность (fn (x) + gn (x)) → (f (x) + g(x)) неравномерно?+∞+∞XXEEб) Пусть рядыun (x) → U (x) иvn (x) → V (x) — сходятся неравномерно на множествеn=1n=1E, причем ∀n ∈ N un (x) + vn (x) не является тождественно равной нулю функцией.
Верно+∞XEли, что ряд(un (x) + vn (x)) → U (x) + V (x) неравномерно?n=1Вопрос 4.4.а) Пусть последовательность fn (x) сходится неравномерно на (0; 1), но ∀δ > 0 сходитсяравномерно на (δ; 1). Верно ли, что для любой g(x) ∈ C(0; 1) ∩ B(0; 1) последовательностьg(x)fn (x) сходится неравномерно на (0; 1)?+∞Xб) Пусть рядun (x) сходится неравномерно на (0; 1), но ∀δ > 0 сходится равномерноn=1на (δ; 1). Верно ли, что для любой g(x) ∈ C(0; 1) ∩ B(0; 1) ряд+∞Xg(x)fn (x) сходитсяn=1неравномерно на (0; 1)?Рассмотреть случаи, когда функция g(x) отделена от нуля в некоторой правойx→0+окрестности нуля, а также случай g(x) → 0.Вопрос 4.5.Eа) Последовательность fn (x) ⇒ 0, верно ли, что существует неотрицательная бесконечномалая последовательность {an } : ∀n ∈ N ∀x ∈ E 7→ |fn (x)| 6 an ;+∞Xun (x) сходится абсолютно и равномерно на [0; 1], верно ли что существуетб) Рядn=1неотрицательная числовая последовательность {an }, такая что ряд+∞Xan — сходится иn=1∀n ∈ N ∀x ∈ [0; 1] 7→ |un (x)| 6 an ?Вопрос 4.6.+∞XПусть рядvn (x) — сходится равномерно на множестве E.
И ∀x ∈ E ∀n ∈ N выполненыn=1неравенства: |un (x)| 6 vn (x).+∞Xа) Верно ли, чтоun (x) — сходится равномерно на E?n=11см. обозначения в начале пособияб) Верно ли, что+∞X|un (x)| — сходится равномерно на E?n=1Вопрос 4.7.Следует ли из равномерной сходимости ряда из модулей, равномерная сходимость ряда?Вопрос 4.8. Ряд сходится равномерно и поточечно сходится абсолютно на множестве E.Верно ли, что ряд из модулей сходится абсолютно?Вопрос 4.9.а) Ряд сходится равномерно, верно ли, что последовательность его членов сходитсяравномерно?б) Ряд сходится неравномерно, верно ли, что последовательность его членов сходитсянеравномерно?в) Верно ли, что из равномерной сходимости последовательности членов ряда и поточечнойсходимости ряда следует равномерная сходимость ряда?Вопрос 4.10.EПусть последовательность fn (x) ⇒ f (x) и ∀x ∈ E fn (x) ∼ gn (x), n → +∞.
Верно ли, чтоEпосдежлвательность gn (x) ⇒ f (x)? Верно ли, что ∀x ∈ E gn (x) → f (x)?Вопрос 4.11. Последовательность (ряд) из непрерывных на отрезке [0; 1] сходитсяравномерно на интервале (0; 1). Имеет ли место равномерная сходимость на отрезке [0; 1]?Литература:1. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач поматематическому анализу. Том 2. Интеграла.
Ряды: Учеб. пособие/ Под ред. Л.Д.Кудрявцева. — 2-е изд., перераб. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 504 с. —ISBN 5-9221-03075..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
