Функциональные и последовательные ряды (1187983), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Учитывая, что функция y = arctg t — бесконечно дифференцируема,следовательно, ее производные любого порядка непрерывны и ограничены на√ [0; x] ⊂ [0; 1],kна скорость стремления к нулю влияет только t . Учитывая умножение на n, достаточно2представления до второго порядка: t2 = xn .Итак, 2 x∈E ,ξ∈(0;x) √ √1xxxCh√ → 0.|fn (x) − f (x)| = n √ − arctg √ = n· h(2) (ξ) 62nnn2 n(2)Где Ch - константа, ограничивающая функцию h(2) (ξ) = (arctg t)t=ξ на отрезке [0; 1].E1fn (x) ⇒ 0 по Д.У.Неравномерная сходимость на E2 доказывается проверкой отрицания определенияравномерной сходимости:√√ππ∃ε = 1 − ∀N ∈ N ∃nN = N ∃xN = N : N (1 − arctg 1) > 1 − .44Учитывая поточечную сходимость, последовательность сходится неравномерно на E2 ./3.5.Пример 3.6.
Исследовать на равномерную сходимость последовательностьxxfn (x) = n √ − arctg √на множестве E = [0; 1].nnE.3.6. Поточечная сходимость. Аналогично предыдущему примеру имеем fn (x) → 0 =f (x).Равномерная сходимость последователности на E.Выполним оценку с использованием точного представления рассматриваемых функций– элементов последовательности формулой Маклорена с остаточным членом в формеЛагранжа.Аналогично примеру 3.5.
и учитывая умножение на n, используем представление до33третьего порядка: t3 = √xn3 и arctg t = t + t3! · h(3) (ξ).Итак, 3 x∈E ,ξ∈(0;x) 1xxxCh√ → 0.|fn (x) − f (x)| = n √ − arctg √ = n √ · h(3) (ξ) 6nn6 n6 n3Где Ch - константа, ограничивающая непрерывную производную функции арктангенс(3)h(3) (ξ) = (arctg t)t=ξ на отрезке [0; 1].Efn (x) ⇒ 0 по Д.У./3.7.В следующем примере рассмотрим применение критерия равномерной сходимостифункциональной последовательности.Пример 3.8. Исследовать на равномерную сходимость последовательностиfn (x) = xn − xn+1 и gn (x) = xn − x2n на интервале E = (0; 1)..3.8. Учитывая, что обе последовательности эквивалентны последовательности hn (x) =(0;1)xn → 0 при n → +∞, получаем:(0;1)fn (x) = xn − xn+1 → 0 = f (x) и(0;1)gn (x) = xn − x2n → 0 = g(x).Очевидныхупрощающихравномерныхоценокнет,найдемдляобеихпоследовательностей супремум модуля разности n-го члена и поточечного предела.0Для fn (x) − 0.
(fn (x))0 = (xn − xn+1 ) = nxn−1 − (n + 1)xn = xn−1 (n − (n + 1)x). Тогда0n(fn (x) − f (x)) = 0 при xn = n+1. Докажите самостоятельно, что это точка максимуманеотрицательных на интервале E = (0; 1) функций fn (x) − f (x), а, следовательно,sup |fn (x) − f (x)| = fn (xn ) =Enn+1n−nn+1n+1= 1−1n+1n·1.n+1Супремум представлен в виде произведения ограниченной последовательности набесконечно малую, следовательно, lim sup |fn (x) − f (x)| = 0. По критерию равномернойn→+∞ EEсходимости последовательность fn (x) ⇒ 0.0Для gn (x) − 0.
(gn (x))0 = (xn − x2n ) = nxn−1 − 2nx2n−1 = nxn−1 (1 − 2xn ). Тогда1(gn (x) − g(x))0 = 0 при xn = √n . Докажите самостоятельно, что это точка максимума2неотрицательных на интервале E = (0; 1) функций gn (x) − g(x), а, следовательно,n 2n111 11sup |gn (x) − g(x)| = gn (xn ) = √− √= − = .nn2 4422E1EСледовательно, lim sup |gn (x) − g(x)| = 6= 0. Учитывая, что gn (x) → 0, по критериюn→+∞ E4равномерной сходимости последовательность сходится на E неравномерно.
/3.8.Рассмотрим примеры исследования на равномерную сходимости функциональных рядов.+∞XxПример 3.9. Исследовать на равномерную сходимость рядarctg 2 на множествахnn=1E1 = [0; a], a > 0 и E2 = [0; +∞)..3.9. Поточечная сходимость ряда.В силу необходимого условия сходимости ряда, поточечный предел последовательностичленов сходящегося числового ряда равен нулю. В доказательстве поточечной сходимости,в отличие от поиска поточечного предела последовательности, нужно оценить скоростьсходимости членов ряда к нулю для проверки сходимости соответствующего числового рядас помощью эталонных числовых рядов.Рассмотрим два способа записи.1.
Замена на эквивалентные.E ∪E0 6 un (x) = arctg nx2 1∼ 2 nx2 .+∞Xx— сходится при любом x ∈ E1 ∪ E2 . Вывод о поточечной сходимости можноРядn2n=1офомить короче, главное — ссылка на условие сходимости ряда.Важно. Типичной ошибкой является указание, что члены ряда стремятся к нулю. Это невлечет сходимость ряда!Также обращаем внимание на обоснование применения признака замены наэквивалентную, а именно, оценку члена ряда нулем снизу.2. Использование признака сравнения.E1 ∪E20 6 un (x) = arctg nx2 6 nx2 .Дальнейшее решение аналогично.
Второй способ записи часто позволяет сразупродолжить на одном из подмножеств доказательство равномерной сходимости по признакуВейерштрасса.Равномерная сходимость на E1 .+∞XE11xx1— сходится, следовательно, по0 6 un (x) = arctg n2 6 n2 6 n2 . Числовой рядn2n=1признаку Вейерштрасса, ряд сходится равномерно на E1 .Анализ на черновике. Доказательство отсутствия равномерной сходимости рядаможно проводить двумя основными способами: проверкой выполнения отрицаниянеобходимого условия равномерной сходимости или проверкой отрицания условия Коширавномерной схоимости ряда.
Для применения отрицания необходимого условия начерновике подбираем последовательность xN , такую что числовая последовательностьuN (xN ) отделена нуля (аналогично приему доказательства отсутствия равномернойсходимости последовательности, рассмотренному выше).N2πЗаметим, что при xN = N 2 7→ uN (xN ) = arctg N2 = 4.Неравномерная сходимость на E2 .
Покажем, что выполнено отрицание необходимогоусловия равномерной сходимости ряда:πN2π∀N ∈ N ∃n = N ∃xN = n2 : |uN (xN )| = arctg 2 = .4N4Следовательно, с учетом поточечной сходимости, на E2 ряд сходится неравномерно. /3.9.∃ε =Пример 3.10. Исследовать на равномерную сходимость ряд+∞Xn=1nx2на множествах1 + n5/2 x4E1 = (0; 1] и E2 = [1; +∞)..3.10.
Поточечная сходимость.2E1 ∪E22nx= n3/21 x2 , так как 32 > 1, то ряд сходится поточечно.0 6 1+nnx5/2 x4 6 n5/2x4Замечание. При выводе о поточечной сходимости использована характеристикасходимости эталонного числового ряда.Равномерная сходимость на E2 . Так как в полученной при доказательстве поточечнойсходимости оценке x находится в знаменателе дроби, то равномерную оценку получаем наE2 :22E21nx= n3/21 x2 6 n3/2. Так как 23 > 1, то по признаку Вейерштрасса ряд0 6 1+nnx5/2 x4 6 n5/2x4сходится равномерно на E2 .Анализ на черновике.
В записи n-го члена присутствуют два сочетания nx2 и n5/2 x4 .N · N1Рассмотрим первое из них и построим зависимость xN = √1N , тогда uN (xN ) ==1 + N 5/2 · N121√ . Получили, что выражение uN (xN ) равно (или эквивалентно) члену расходящегося1+ Nчислового ряда, для которого отрезок ряда из N членов отделен от нуля. Оформляемрешение доказательством выполениния отрицания условия Коши.Неравномерная сходимость на E1 .11∃ε = √ ∀N ∈ N ∃n = N ∃p = N ∃xN = √ :N272N2N XXk · N1uk (xN ) =1 + k 5/2 ·k=N +1k=N +1∗1N2>Обращаем внимание, что член рассматриваемого отрезка ряда явно зависит отпеременных k — индекса суммирования и N .В отрезке ряда всего N членов.
Оценим каждый из них снизу:√∗N · N1N1√ >√>N·1 =5/22(2N ) · N 22727Следовательно, с учетом поточечной сходимости, ряд сходится неравномерно./3.10.Замечание. Аналогично можно было использовать второе соотношение n5/2 x4 = 1.Задание 3.1. Проверьте, можно ли используя параметризованную зависимоcть xN =1доказать неравномерную сходимость, используя отрицание необходимого условияNαравномерной сходимости ряда.Рассмотрим примеры исследования на равномерную сходимость условно сходящихсярядов.Пример 3.11.
Исследовать на равномерную сходимость ряды+∞+∞XXsin nx sin xsin nxи G(x) =на множестве E = (0; +∞)F (x) =ln(n + x + 1)ln (n + x + 1)n=1n=1.3.11. Доказательство поточечной сходимости. Два ряда отличаются толькомножителем sin x, который не влияет на поточечную сходимость первого ряда. Так как взнаменателе дроби последовательность логарифмического роста, то ряды сходятся условно.Докажем это используя признак Дирихле сходимости числового ряда.1.
Ограниченность последовательности частичных сумм синусов. Заметим, что при x = 2πkрассматриваемые суммы равны нулю и могут быть ограничены, например, Cx = 1. Дляостальных неотрицательных x воспользуемся формулой суммирования синусов и, с учетомзамечания, получим:1∃Cx = max{1;} ∀N ∈ N :sin x2 sin (N +1)x ·sin N x N X22 sin x26sin nx = n=10 6 1,1sin x2, x 6= 2πk, k ∈ N;x = 2πk, k ∈ N.12. Последовательность ln(n+x+1)— монотонна при каждом x > 0, так как (ln(n + x + 1))0 =1> 0.n+x+11— бесконечно малая.3. Последовательность ln(n+x+1)Значит, по признаку Дирихле оба ряда сходятся поточечно при x > 0.Анализ на черновике.
Нетрудно видеть, что при применении признака Дирихле+∞PXsin nx sin x Nравномерной сходимости ряда для F (x) =при оценке n=1 sin nx sin xln(n + x + 1)n=11полученные выше Cx = max{1; sin x } умножатся на sin x, что позволяет получить2равномерную ограниченность.+∞Xsin nxДля ряда G(x) =получить равномерную ограниченность не удается.ln (n + x + 1)n=1Поэтому для F (x) доказываем равномерную сходимость.Для G(x) предполагаем неравномерную сходимость. «Ососбенность» есть, в частности,при x = 0. Поэтому для упрощения оценок функции sin nx будем рассматривать xN = N1 вотрицании условия Коши.Равномерная сходимость F (x). При x = 2πk, k ∈ N все частичные суммы равны нулю,следовательно, ограниченны по модулю C = 2.∃C = 2 ∀N ∈ N : sin (N +1)x ·sin N x ·sin x NX 22 6 2 cos x 6 2, x 6= 2πk, k ∈ Nsin x22sin nx sin x = n=1 0 6 2,x = 2πk, k ∈ N.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
