Функциональные и последовательные ряды (1187983), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Следовательно,они зависят только от произвольного N и, вообще говоря, от ε, но не зависят друг от друга.Рассмотрим основные определения, связанные с функциональными рядами.+∞XОпределение 1.4. Функцональный рядun (x) называется поточечно сходящимся наn=1множестве E, если при каждом x0 ∈ E сходится соответствующий числовой ряд. Еслифункциональный ряд поточечно сходится на множестве E, то он определяет новую функцию+∞XS(x) на множестве E:un (x) = S(x), называемую суммой ряда.n=1Аналогично теории числовых рядов вводятся понятияn-го члена ряда un (x);NXN-ой частичной суммы ряда Sn (x) =un (x0 );n=1NXотрезка рядаun (x0 );n=k+1N -го остатка ряда rn (x) =+∞Xun (x0 );n=N +1абсолютно сходящегося ряда;условно сходящегося ряда.Заметим, что, так как Sn (x) − S(x) =nXk=1uk (x) −+∞Xk=1uk (x) =+∞Xuk (x) = rn (x),k=n+1определения равномерной сходимости и неравноменой сходимости функционального рядамогут быть даны в терминах последовательностей частичных сумм ряда или в терминахостатка ряда.
Последовательность остатков ряда поточечно сходится к нулю.+∞XОпределение 1.5. Рядun (x), x ∈ E называется равномерно сходящимся на множествеn=1E, если- последовательность его частичных сумм равномерно сходится к его поточечномуEпределу: SN (x) ⇒ S(x);илиE- последовательность остатков этого ряда равномерно сходится к нулю: rN (x) ⇒ 0.Для использования в решении задач оба определения, как правило, не удобны.Определение в терминах частичных сумм требует знания суммы ряда, вычисление которойпредставляет не редко задачу более сложную, чем исследование на равномерную сходимость.Несмотря на то, что остаток поточечно сходящегося функционального ряда сходится кфункции, тождественно равной нулю, оценивание остатка ряда, как бесконечной суммы,также является сложной задачей.
Поэтому определения нужны для решения теоретическихзадач.Приемы и теоретические факты, используемые в решении типовых задач контрольнойработы будут рассмотрены во втором параграфе.Важно! Как и в исследовании числовых рядов в решении задач исследования сходимостифункциональных рядов рассматриваются члены ряда или отрезки ряда. Операции к ряду(бесконечной сумме), в том числе, оценивание ряда, не применяется (за исключениемприменения теоремы Абеля, которая в данном пособии не используется при решении задач).В случае применения оценок к бесконечным суммам требуется обоснование!1.2Основые теоремы и приемы решения задач исследованиянаравномернуюсходимостьфункциональныхпоследовательностей и рядовТиповые задачи контрольной работы формулируются «Исследовать последовательность насходимость и равномерную сходимость» и «Исследовать ряд на сходимость и равномернуюсходимость» и, как правило, включают исследование на двух множествах.
Необходимоопределить тип сходимости: равномерная или неравномерная сходимость и доказатьпредполагаемое утверждение.1. Поточечная сходимость и поточеный предел.В решении задач исследования на равномерную сходимость последовательностинахождение поточечного предела последовательности необходимо для получения выражения(fn (x) − f (x)), которое используется во всех теоремах (приемах) доказательства равномернойи неравномерной сходимости последовательности.В решении задач исследования на равномерную сходимость ряда сумма ряда, какправило, не нужна. В доказательстве равномерной сходимости ряда поточечная сходимотьне используется и, более того, является следствием равномерной сходимоcти.В доказательстве неравнормерной сходимости ряда поточечная сходимость являетсячастью определения и ее доказательство необходимо для решения задачи.
Доказательствотолько выполнения отрицания условия равномерной сходимости показывает, что ряд несходится равномено, но ничего не сообщает о сходимости ряда!Поэтому при решении задач обоих типов рекомендуем всегда (во избежание типичнойошибки) доказывать поточечную сходимость.Для нахождения поточечного предела последовательности используетсязамена на эквивалентную числовую последовательность при фиксированном x. Подробногообоснования вычисления предела не требуется.Для доказательства поточечечной сходимости ряда используются:- для знакопостоянных рядов признак замены на эквивалентную;- для знакопостоянных рядов и для абсолютно сходящихся знакопеременных рядовпризнак сравнения (удобнее использовать, чем признак замены на эквивалентную, так какпосле получения упрощающих оценок часто видно, возможна ли равномерная упрощающаяоценка);- для знакопеременных (знакочередующихся) условно сходящихся рядов признакДирихле (признак Лейбница) сходимости числового ряда.2.Доказательстворавномернойсходимостифункциональныхпоследовательностей и рядов.Длядоказательстваравномернойсходимостифункциональныхпоследовательностей используются две основные теоремы:- достаточное условие равномерной сходимости последовательности;- критерий равномерной сходимости функциональной последовательности (в болеесложных случаях).Теорема 2.1.
(Достаточное условие равномерной сходимости последовательности.)Если существует числовая бесконечно малая последовательность {an } и номер N0 , такиечто∀n > N0 ∀x ∈ E 7→ |fn (x) − f (x)| 6 an ,Eто fn (x) ⇒ f (x).При использовании достаточного условия равномерной сходимости мажорирующаябесконечно малая последовательность an может быть получена:- упрощающими оценками, основанными на хорошо известных неравенствах (см. примеры3.1., 3.2., 3.4.),- упрощающими оценками, основанными на применении формулы Тейлора с остаточнымчленом в форме Лагранжа. Оценивание применяется остаточному члену формулы Тейлорав форме Лагранжа, а именно к степени переменной остаточного члена (см.
примеры 3.5. и3.6.). Обращаем внимание, что применение именно формулы Тейлора с остаточным членомв форме Лагранжа позволяет получить точное представение функции. Использованиеостаточного члена в форме Пеано не допустимо, так как не имея точного представленияфункции нет возможности получить необходимые для решения равномерные оценки.После получения мажорирующей последовательности an отмечаем, что она являетсябесконечно малой и делаем ссылку на достаточное условие.Заметим, что достаточное условие равномерной сходимости упрощает решение поопределению, так как в этом случае не требуется доказательство выполнения кванторнойформулировки (нахождение зависимости N от ε). Поэтому использование достаточногоусловия равномерной сходимости предпочтительнее доказательства по определениюравномерной сходимости.Доказательство достаточного условия осуществляется применением определенийпоточечной и равномерной сходимости в кванторной форме.Задание 2.1.
Доказать достаточное условие равномерной сходимости последовательности.Далее ссылку на достаточное условие равномерной сходимости последовательности будемобозначать Д.У.Теорема 2.2. (Критерий равномерной сходимости последовательности).Efn (x) ⇒ f (x)⇔ lim sup |fn (x) − f (x)| = 0.n→+∞ x∈EПри применении критерия равномерной сходимости получаем выражениеsup |fn (x) − f (x)| как числовую последовательность и исследуем ее предел. См.
пример 3.8.x∈EПодчеркнем, что получение мажорирующей бесконечно малой последовательностиупрощающими оценками (в проверке Д.У) обеспечивает нахождение верхнейграни, но, вообще говоря, не точной верхней грани. Поэтому ссылка на критерийравномерной сходимости при нахождении мажорирующей последовательности будетошибкой: не доказано, а, возможно, и не верно, что найдена точная верхняя грань.Критерием рекомендуется пользоваться для доказательства равномерной сходимостипоследовательности при условии, что получить мажорирующую последовательностьупрощающими оценками затруднительно.Для доказательства равномернойсходимостифункциональногорядаиспользуются две основные теоремы:- признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда;- признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда.В некоторых задачах (например, 3.13.
и 3.14.) используются признак Лейбницаравномерной сходимости рядов и исследование последовательности частичных сумм ряда.Теорема 2.3. (Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда).+∞XЕсли существует числовая последовательность {an }, такая что рядan — сходится иn=1номер N0 , такие что∀n > N0 ∀x ∈ E 7→ |un (x)| 6 an ,то ряд+∞Xun (x) сходится абсолютно и равномерно.n=1Так как признак Вейерштрасса влечет абсолютную сходимость, то его применениецелесообразно только для абсолютно сходящихся рядов.Последовательность an получаем оцениванием модуля n-го члена ряда.
Для полученногочислового знакопостоянного ряда доказываем сходимость заменой на эквивалентные иприменением эталонных числовых рядов.Вопрос: почему нельзя оценки сверху проводить для члена функционального ряда вместомодуля члена функционального ряда?Замечание! Типовой ошибкой неправильной проверки условий признака Вейерштрассаявляется доказательство того, что мажорирующая члены ряда последовательность являетсябесконечно малой.Контр-пример.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
