Функциональные и последовательные ряды (1187983), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Гармонический ряд, рассмотренный как функциональный ряд на любомпромежутке расходится и не может сходится равномерно, но его члены мажорируютсябесконечно малой последовательностью:. Пусть ∀x ∈ [0; 1] un (x) = n1 .+∞XРядun (x) расходится в каждой точке отрезка [0; 1] . Но для любого x ∈ [0; 1]n=1справедлива оценка |un (x)| 6 n1 = an . Числовая последовательность an = n1 являетсябесконечно малой./Приведем основные отличия в применении достаточного условия равномерной сходимостипоследовательности и признака Вейерштрасса равномерной сходимости ряда:- исследуем на равномерную сходимость последовательность (Д.У.) — проверяем, чтомажоранта является бесконечно малой последовательностью.- исследуем на равномерную сходимость ряд (признак Вейерштрасса) — проверяем, чтополученный упрощающими оценками числовой ряд сходится.Теорема 2.4.

(Признак Дирихле).+∞Xun (x)vn (x) сходится равномерно на множестве E, если выполнены следующиеРядn=1условия:1) последовательность частичных сумм ряда+∞Xvn (x) равномерно ограничена наn=1множестве E:∃C > 0 ∀N ∈ N ∀x ∈ ENX7→ vn (x) 6 C; n=12) последовательность {un (x)} монотонно убывает при каждом фиксированном x ∈ E:∀x ∈ E ∀n ∈ N 7→ un+1 (x) 6 un (x);3) последовательность {un (x)} равномерно сходится к нулю на множестве E:Eun ⇒ 0.Замечание.

(Идеи для запоминания формулировки, не являются математическимиутверждениями!) Признак Дирихле равномерной сходимости ряда можно припомнить на основепризнака Дирихле схомимости числового ряда, используя «мнемоническое правило» «все, чтоможет быть «равномерным», формулируем равномерным», а именно,– в формулировке ограниченности последовательности частичных сумм можно потребовать, чтобыограничивающая констанста не зависила от x ∈ E, значит требуем равномерной ограниченности+∞Xпоследовательности частичных сумм рядаvn (x);n=1– последовательность может равномерно сходится к нулю, следовательно, включаем требованиеEравномерной сходимости последовательности un ⇒ 0;– в формулировке требования монотонного убывания нет кванторов существования, поэтомуравномерность, как независимость какого-либо параметра от x, сформулировать нельзя.

Требуеммонотонность при каждом x ∈ E.При проверке условий признаков Дирихле поточечной и равномерной сходимостифункционального ряда используются формулы:NXsinsin nα =n=1(N +1)α2sinsinαNα2;2NXcoscos nα =(N +1)α2sinn=1Рекомендуется вычислить значенияPNn=1sin nα иPNn=1sinαNα2;α 6= 2πm, m ∈ Z.2cos nα при α = 2πm, m ∈ Z.Важно! При доказательстве равномерной сходимости последовательности и ряда нельзяиспользовать замену на эквивалентную последовательность ни для функций –членов последовательности, ни для функций – членов ряда.

Почему?Для полноты изложения приведем теоремы, которые могут использоваться длядоказательства равномерной сходимости функциональных рядов, а именно, признак Абеля,критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности, критерийКоши равномерной сходимости функционального ряда. Кроме того, сформулируем вкачестве следствия критерия Коши равномерной сходимости функционального ряданеобходимое условие равномерной сходимости ряда.Предварительно заметим, что применению признака Абеля и критерия Коширавномерной сходимости последовательности далее внимание уделено не будет.

КритерийКоши и необходимое условие равномерной сходимости ряда будут использоваться впособии только для доказательства отсутствия равномерной сходимости. Соответствующиеформулировки отрицания условия Коши и отрицания необходимого условия равномернойсходимости ряда будут приведены ниже.Теорема 2.5. (Признак Абеля равномерной сходимости функциональных рядов.)+∞Xun (x)vn (x) сходится равномерно на множестве E, если выполнены следующиеРядn=1условия:1) ряд+∞Xvn (x) сходится равномерно на множестве E;n=12) последовательность {un (x)} монотонно убывает при каждом фиксированном x ∈ E;3) последовательность {un (x)} равномерно ограничена на множестве E.Замечание.

Для запоминания признака Абеля равномерной сходимости функциональныхрядов на основе признака Абеля сходимости числовых рядов можно использоватьмнемоническое правило аналогичное рассмотренному при формулировке признака Дирихле.Теорема2.6.(КритерийКоширавномернойсходимостифункциональнойпоследовательности.)EПоследовательность fn (x) ⇒ f (x) тогда и только тогда, когда выполнено условие Коширавномерной сходимости функциональной последовательности:∀ε > 0 ∃Nε ∈ N ∀n > Nε ∀p ∈ N ∀x ∈ E7→ |fn+p (x) − fn (x)| < ε.Теорема 2.7. (Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда.)+∞XEРядun (x) ⇒ тогда и только тогда, когда выполнено условие Коши равномернойn=1сходимости функционального ряда:∀ε > 0 ∃Nε ∈ N ∀n > Nε ∀p ∈ N ∀x ∈ E n+p X7→ uk (x) < ε.k=n+1Следствие теоремы 2.7.

(Необходимое условие равномерной сходимости функционального+∞XEряда). Если рядun (x) ⇒ , то выбирая в условии Коши p = 1, получаем необходимоеn=1условие равномерной сходимости ряда:∀ε > 0 ∃Nε ∈ N ∀n > Nε ∀x ∈ E7→ |un (x)| < ε.Необходимое условие равномерной сходимости ряда можно сформулировать в терминахEравномерной сходимости последовательности членов ряда: un (x) ⇒ 0, n → +∞.Теорема 2.8. (Критерий равномерной сходимости функционального ряда в терминахостатка ряда.)+∞XEEРядun (x) ⇒ тогда и только тогда, когда sup |rn (x)| → 0, n → +∞.x∈En=1Замечание.ВформулировкахкритериевКоширавномернойсходимостипоследовательности и ряда переменные под кванторами «любой» n, p, x могут бытьзаписаны в любом порядке, поэтому при построении отрицаний условий Коши будем считатьэти переменные независящими друг от друга, а зависящими только от предшествующихпеременных N, ε.n+pXЗамечание.

Так какuk (x) = Sn+p (x) − Sn (x), то формулировку критерия Кошиk=n+1равномерной сходимости ряда можно восстановить используя формулировку критерия Коширавномерной сходимости последовательности для последовательности частичных сумм ряда.Задание 2.2. Доказать критерий Коши, используя критерий Коши равномернойсходимости последовательности для последовательности частичных сумм ряда.3.Доказательствонеравномернойсходимостифункциональныхпоследовательностей и рядов.Напомним, что доказательство неравномерной сходимости последовательностей и рядоввключает доказательсво поточечной сходимости и отсутствия равномерной сходимости.Для доказательства отсутствия равномерной сходимости последовательностейиспользуется доказательство выполнения кванторной формулировки определения(отрицаниекванторнойформулировкиопределенияравномернойсходимостипоследовательности):∃ε > 0 ∀N ∈ N ∃xN ∈ E ∃nN > N :|fnN (xN ) − f (xN )| > ε.В примерах 1.1 (3,4) было показано, что– переменные n и x не зависят друг от друга;– как правило, удобно выбрать nN = N , иногда, для упрощения оценок осуществляетсядругой выбор;– для выбора xN удобно использовать вспомогательную последовательность, такую чтовыражение fN (xN ) − f (xN ) отделено от нуля.Использование отрицания условия Коши равномерной сходимости последовательности,как правило, приводит к громоздким формулам и затрудняет решение практических задач.Для доказательства отсутствия равномерной сходимости рядов используются:– кванторная формулировка отрицания необходимого условия равномерной сходимости ряда;– отрицание условия Коши равномерной сходимости ряда (в более сложных случаях).Также могут использоваться методы доказательства отсутствия равномерной сходимостик последовательности частичных сумм ряда (например, пример 3.14).+∞XСформулируем отрицание необходимого условия равномерной сходимости рядаun (x):n=1∃ε > 0 ∀N ∈ N ∃xN ∈ E ∃nN > N :|unN (xN )| > ε.Применение отрицания необходимого условия равномерной сходимости ряда аналогичноприменению отрицания определения равномерной сходимости последовательности:– переменные n и x не зависят друг от друга;– как правило, удобно выбрать nN = N ;– для выбора xN удобно использовать вспомогательную последовательность, такуючто выражение uN (xN ) отделено от нуля.

(Построение такой последовательности нерекомендуется в качестве самостоятельного приема доказательства отсутствия равномернойсходимости ряда и требует доказательства.)+∞XСформулируем отрицание условия Коши равномерной сходимости рядаun (x):n=1 n +p NXN∃ε > 0 ∀N ∈ N ∃xN ∈ E ∃nN > N ∃pN ∈ N : uk (xN ) > ε.k=nN +1При применении отрицания условия Коши равномерной сходимости ряда следуетучитывать:– переменные n, p и x не зависят друг от друга, но каждая из них зависит от N ;– если удается подобрать вспомогательную последовательность xN такую, что uN (XN )отделено от нуля, целесообразно доказательство отрицания необходимого условияравномерной сходимости ряда;– применение отрицания условия Коши равномерной сходимости ряда целесообразно, еслиconstудается подобрать вспомогательную последовательность xN такую, что uN (XN ) ∼ N1 (иличлену другого расходящегося числового ряда, для которого в отрицании условия Кошичисловых рядов рассматривается отрезок ряда, а не член ряда (см.

пример 3.10.);const– в случае выбора последовательности xN такой, что uN (XN ) ∼ N1α , где 0 < α 6 1, то есть+∞X1как правило, удобно выбрать nN = N, pN = N .числовой рядαnn=1– члены рассматриваемого в отрицании условия Коши отрезка ряда зависят от двухпеременных — индекса суммирования k и переменной N , через которую выражается xN .Запись члена отрезка ряда через одну переменную K является ошибкой (см. контр-пример2.1.).+∞X– выбор последовательности xn , такой, что рядun (xn ) - расходится является ошибкойn=1(см. контр-пример 2.1.).+∞Xun (x), x ∈ [1; +∞), где ∀n ∈ NКонтр-пример 2.1. Рассмотрим функциональный рядn=1 1, x ∈ [n; n + 1);nun (x) =¯ [n; n + 1).0, x∈.

Характеристики

Список файлов книги