Функциональные и последовательные ряды (1187983)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Функциональные последовательности и рядыВ пособии рассматриваются понятия функциональной последовательности ифункционального ряда. Приведены основные определения и теоретические фактысвязанные с поточечной, равномерной и неравномерной сходимостью функциональныхпоследовательностей и рядов, разобраны типовые задачи и методы их решения.В пособии использованы задачи из сборника задач [1] и методических разработоккафедры высшей математики МФТИ.Для студентов первого курса университетов и технических вузов с расширеннойпрограммой по математике.Составитель Иванова С.В, старший преподаватель кафедры высшей математики МФТИ.Основные обозначение:E ⊂ R - промежуток числовой прямой.B(E) - множество функций, ограниченных на множестве E.C(E) - множество функций, непрерывных на множестве E.R(E) - множество функций, интегрируемых по Риману на множестве E.D(E) - множество функций, дифференцируемых на множестве E.Нижний индекс (индексы) у переменной обозначают зависимость индексированнойпеременной от переменных-индексов, например, Nx,ε - N зависит от x и от ε.11.1Поточечная, равномерная и неравномерная сходимостьфункциональных последовательностей и рядовОсновные определенияПусть числовые функции fn (x) и un (x), n ∈ N, определены на множестве E ⊂ R.Последовательность{fn (x), x ∈ E}+∞будемназыватьфункциональнойn=1последовательностью.+∞XРядun (x), x ∈ E будем называть функциональным рядом.n=1Заметим, что при любом фиксированном x0 ∈ E для числовой последовательности+∞X+∞{fn (x0 )}n=1 и числового рядаun (x0 ) применимы ранее изученные определения, свойстваn=1и приемы исследования.Определение 1.1.

Функциональная последовательность {fn (x), x ∈ E}+∞n=1 называетсяпоточечно сходящейся на множестве E, если она сходится как числовая последовательностьпри каждом x0 ∈ E. Если функциональная последовательность поточечно сходится намножестве E, то она определяет новую функцию f (x) на множестве E: ∀x ∈ E f (x) =lim fn (x), называемую поточечным пределом последовательности {fn (x)}. Обозначение:n→∞Efn →f при n → ∞.Задание 1.1.1.Записать в кванторной форме определение поточечной сходимости функциональнойпоследовательности {fn (x)} на множестве E.2. Записать в кванторной форме: последовательность {fn (x)}+∞n=1 поточечно сходится кфункции f (x) на множестве E.В изучаемой теме внимание акцентируется на различении понятий «функциональнаяпоследовательность сходится равномерно» и «функцинальная последовательностьсходится неравномерно».

Подчеркнем, что в обоих случаях поточечная сходимость имеетместо, поэтому в качестве основной формулировки, связаной с поточечной сходимостью,Eудобно выбрать поточечную сходимость к известной функции, а именно, fn (x) → f (x):∀x ∈ E ∀ε > 0 ∃Nx,ε ∈ N ∀n > N 7→ |fn (x) − f (x)| < ε.В определении поточечной сходимости последовательности {fn (x)} на множестве Eчисло Nx,ε зависит от точки x и от эпсилон.

Равномерность сходимости функциональнойпоследовательности понимается как независимость N от точки x ∈ E. То есть переменная xв определении равномерной сходимости определяется после переменной N :Определение 1.2. Функциональная последовательность {fn (x)} сходится равномерно намножестве E к функции f (x), если∀ε > 0 ∃Nε ∈ N ∀x ∈ E ∀n > N 7→ |fn (x) − f (x)| < ε.Условие ∀x ∈ E |fn (x) − f (x)| < ε можно сформулировать иначе:Определение 1.2s. Функциональная последовательность {fn (x)} сходится равномерно намножестве E к функции f (x), если∀ε > 0 ∃Nε ∈ N ∀n > N 7→ sup |fn (x) − f (x)| < ε.x∈EЗадание 1.2. Докажите эквивалентность приведенных определений равномернойсходимости.EОбозначение: fn (x) ⇒ f (x).Последовательность {fn (x)} называют равномерно сходящейся на множестве E, еслисуществует функция f (x), к которой эта последовательность сходится равномерно.Задание 1.3.

Доказать, что из равномерной сходимости последовательности на множествеE следует поточечная сходимость.Задание 1.4. Сформулировать отрицание кванторного определения равномернойсходимости и выбрать термин, который определяется полученной кванторнойформулировкой:- последовательность не сходится равномерно;- последовательность сходится неравномерно.Определение 1.3. Последовательность {fn (x)} сходится неравномерно на множестве E,если выполнены два условия:E1) fn → f (последовательность сходится поточечно на E);2)∃ε > 0 ∀N ∈ N ∃n > N ∃x ∈ E : |fn (x) − f (x)| > ε (последовательность не сходитсяравномерно на множестве E).Заметим, что в отрицании условия равномерной сходимости переменные n и x могутследовать в любом порядке. Почему?Приведенные ниже примеры показывают, что выделение новых понятий равномернойсходимости и неравномерной сходимости содержательно.

В примерах также показаныобразцы доказательства по определению равномерной и неравномерной сходимости.Пример 1.1.1, x ∈ R.nx2. Пусть gn (x) = , x ∈ [0; 1].nx3. Пусть hn (x) = , x ∈ [0; +∞).n1, x ∈ (0; 1].4. Пусть pn (x) =xn.1 Решение любой задачи на исследование равномерной сходимости функциональнойпоследовательности необходимо начать с нахождения поточечного предела, так какпоточечный предел используется в анализируемых далее выражениях: поточечный пределf (x) = 0.1. Пусть fn (x) =RЗапишем кванторное определение fn ⇒ 0:1∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀x ∈ R ∀n > N 7→ − 0 < ε.nПолученное заключительное неравенство легко решить и найти какое-то натуральное N ,начиная с которого неравенство выполнено всегда. Таким образом, выбирая в кванторном определении, например, N = 1ε + 1, завершаемдоказательство по определению для первого примера.

/1[0;1].2 gn (x) → 0.RЗапишем кванторное определение gn ⇒ 0:x∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀x ∈ R ∀n > N 7→ − 0 < ε.nНужно получить зависимость N только от ε, исключаяxзависимость от x. Выполним − 0 6 1 < ε.упрощающую неравенство оценку. Так как x ∈ [0; 1],тоn nВыбирая в кванторном определении N = 1ε + 1, завершаем доказательство поопределению для второго примера. /2Напомним, что прием упрощающих оценок использовался при проверке кванторныхопределений предела числовых последовательностей, предела функции в точке,непрерывности функции в точке.В случае доказательства по определению равномерной сходимости функциональнойпоследовательности цель упрощающих оценок - получить оценку выражением, независящимот x.Так как показанный прием упрощающих оценок будет часто использоваться при решениизадач его целесообразно обобщить ( См. достаточное условие равномерной сходимостифункциональных последовательностей (теорема 2.1.)).[0;+∞).3 hn (x) → 0 = h(x).Для выражения |hn (x) − h(x)| = nx при x ∈ [0; +∞) нет возможности получить оценку,независящую от x.Запишем формальное отрицание определения равномерной сходимости без указаниязначений переменных под кванторами существования:∃ε =∀N ∈ N ∃nN =∃xN = : |hnN (xN ) − 0| =.

∗. .> ε.Для доказательства неравномерной сходимости нужно для каждого натурального Nподобрать номер функции n > N и точку xN такую, что выражение |hnN (xN ) − h(xN )|принимает значения, отделенные от нуля. Символ . ∗. . обозначает упрощающие оценки,направленные на полученние константы, отделяющей значения выражения от нуля.

Этаконстанта может быть выбрана в качестве ε.В частности, если существует последовательность {xN } ⊂ E, такая, что выражение|hN (xN ) − h(xN )| принимает значения, отделенные от нуля, то мы сможем доказатьвыполнение формального отрицания определения равномерной сходимости.Подберем значения всех переменных под кванторами существования дляпоследовательности hn (x). Часто можно выбрать nN = N . Такой выбор будем использоватьпри предварительном анализе.

(При необходимости, например, как в примере 3.3., дляупрощения оценок снизу выражения вида |hnN (xN ) − h(xN )| будем подбирать другиезависимости.)N=Выражение |hn (x) − h(x)| = nx . При nN = N и xN = N имеем |hnN (xN ) − h(xN )| = N1 = ε.Вопрос: почему при таком выборе ε можно считать не зависящим от остальныхпеременных при использовании в определении отсутсвия равномерной сходимости?Итак, утверждение∃ε = 1 ∀N ∈ N ∃nN = N ∃xN = N : |hn (xN ) − 0| =N=1=εNдоказывает, что последовательность не сходится равномерно.Поточечная сходимость указана выше.

Значит, последовательность сходитсянеравномерно. /3Подчеркнем, во-первых, при доказательстве неравномерной сходимости доказываетсяпоточечная сходимость и условие неравномерной сходимости.Во-вторых, в литературе можно найти образцы решения задач, где неравномернаясходимость доказывается предъявлением последовательности xn таких что значениявыражения |hn (xn ) − h(xn )| отделены от нуля.

Это утверждение требует доказательства! И,главное, использование аналогичного приема в доказательстве неравномерной сходимостифункциональных рядов часто приводит к ошибкам. Соответствующий пример будетрассмотрен ниже (см. Контр-пример 2.2.).Рассмотрим четвертый пример, не приводя эмпирических (очевидных) соображений попоиску xN .(0;1].4 pn (x) → 0 = p(x).Утверждение∃ε = 1 ∀N ∈ N ∃nN = N ∃xN =11: |pN (xN ) − 0| ==1=εN(1/N ) Nдоказывает, что последовательность не сходится равномерно.Поточечная сходимость указана выше. Значит, последовательностьнеравномерно. /4сходитсяПодчеркнем, что в отрицании определения равномерной сходимости последовательностипеременные x и n под кванторами существования могут быть записаны в любом порядке (таккак в положительной формулировке это возможно и не влияет на смысл).

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги