Меры Джордана и Лебега - Лукашов (1187970), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Ðàçîáüåì [0, +∞) íà ïîëóèíòåðâàëû [l/2m , (l + 1)/2m ), l = 0, 1, . . . .Ìíîæåñòâà El,m = {x ∈ E : f (x) ∈ [l/2m , (l + 1)/2m )} ïðåäñòàâèìû êàê El,m =E(l+1)/2m \ El/2m (f ), à ïîýòîìó èçìåðèìû ïî Ëåáåãó ïðè ëþáûõ l = 0, 1, . . . ; m =1, 2, . . . .

Ïîëîæèì gm (x) = l/2m , ïðè x ∈ El,m , l = 0, 1, . . . ; òîãäà ôóíêöèè gm (x)ÿâëÿþòñÿ ñòóïåí÷àòûìè íà E ïðè êàæäîì m = 1, 2, . . ., è èç î÷åâèäíîãî íåðàâåíñòâà 0 ≤ f (x) − gm (x) ≤ 1/2m , x ∈ E, m = 1, 2, . . . , ñëåäóåò ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòüïîñëåäîâàòåëüíîñòè {gm }∞m=1 íà E ê f .

Íåðàâåíñòâî gm (x) ≤ gm+1 (x), x ∈ E, m =1, 2, . . . , î÷åâèäíî ïî ïîñòðîåíèþ. Àíàëîãè÷íî ñòðîèòñÿ íåâîçðàñòàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.Ââåäåì åùå îäíî ïîíÿòèå ñõîäèìîñòè.Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èçìåðèìûõ íà èçìåðèìîììíîæåñòâå E ôóíêöèé fm ñõîäèòñÿ ïî ìåðå ê f íà E , åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 ìåðàÎïðåäåëåíèå 14.25ìíîæåñòâà Em òåõ òî÷åê x ∈ E , äëÿ êîòîðûõ |fm (x) − f (x)| ≥ ε, ñòðåìèòñÿ êíóëþ ïðè m → ∞ :lim µ ({x ∈ E : |fm (x) − f (x)| ≥ ε}) = 0.m→∞Çàìåòèì, ÷òî áåñêîíå÷íûå çíà÷åíèÿ ôóíêöèé â ýòîì îïðåäåëåíèè íå èñêëþ÷àþòñÿ, åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî ïðè ýòîì ñîîòâåòñòâóþùàÿ ðàçíîñòü íå îïðåäåëåíà è òàêèåx∈Eíå ïîïàäàþò âî ìíîæåñòâîEm .(Ñâÿçü ñõîäèìîñòè ïî ìåðå è ñõîäèìîñòè ïî÷òè âñþäó).

Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èçìåðèìûõ ïî÷òè âñþäó êîíå÷íûõ íà èçìåðèìîì ìíîæåñòâåE êîíå÷íîé ìåðû ôóíêöèé fm ñõîäèòñÿ ê êîíå÷íîé ïî÷òè âñþäó íà E ôóíêöèè fïî÷òè âñþäó íà E , òî fm ñõîäèòñÿ ê f ïî ìåðå íà E .Òåîðåìà 20.Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì ÷åðåç E0 ìíîæåñòâî òåõ x ∈ E , äëÿ êîòîðûõ êàêàÿ-òîèç ôóíêöèé fm èëè f ïðèíèìàåò áåñêîíå÷íîå çíà÷åíèå èëè fm (x) íå ñõîäèòñÿ ê f (x).Èç ïðåäïîëîæåíèé òåîðåìû è σ -àääèòèâíîñòè ìåðû Ëåáåãà ñëåäóåò, ÷òî µ(E0 ) = 0.Äîêàæåì, ÷òîlimm→∞ Em ⊂ E0 .Ïóñòüx0 ∈/ E0 .(20)Òîãäàïîñëåäîâàòåëüíîñòèlimm→∞ fm (x0 ) = f (x0 ), è ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà ÷èñëîâîéëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ íîìåð m0 òàêîé, ÷òî ïðè âñåõ m > m0x0 ∈/ Em , îòêóäà ïî îïðåäåëåíèþ âåðõíåãî ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìíîæåñòâx0 ∈/ limm→∞ Em . Òàêèì îáðàçîì, (20) äîêàçàíî, îòêóäà ïî ëåììå 3 èç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 6 Ÿ3 (ñ ó÷åòîì îòìå÷åííîé òàì æå âîçìîæíîñòè çàìåíû êóáà KI íàìíîæåñòâî E êîíå÷íîé ìåðû)limm→∞ µ(Em ) ≤ µ limm→∞ Em ≤ µ(E0 ) = 0.Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íåâåðíî, êàê ïîêàçûâàåò ñëåäóþùèé ïðèìåðÔ.Ðèññà: ïðåäñòàâèâ êàæäîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî m åäèíñòâåííûì îáðàçîì â âèäåm = 2k + j, 0 ≤ j < 2k , ïîëîæèì fm (x) = χ[ j , j+1 ] (x).

Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fm2k 2kñõîäèòñÿ ïî ìåðå ê ôóíêöèè f (x), òîæäåñòâåííî ðàâíîé íóëþ íà E = [0, 1], òàêêàê µ(Em ) = 21k → 0 ïðè m → ∞; â òî æå âðåìÿ äëÿ ëþáûõ x ∈ [0, 1] è k ∈ Níàéäóòñÿ öåëûå ÷èñëà j1 , j2 ∈ [0, 2k ) òàêèå, ÷òî f2k +j1 (x) = 0, f2k +j2 (x) = 1.Çàìå÷àíèå 2.Äëÿ ìíîæåñòâ áåñêîíå÷íîé ìåðû òåîðåìà, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâåðíà,êàê ïîêàçûâàåò ïðèìåð ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fm (x) = χ[−m,m] (x), x ∈ E = R.Çàìå÷àíèå 3.26.

Характеристики

Список файлов книги