Меры Джордана и Лебега - Лукашов (1187970), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ýëåìåíòàðíîå ìíîæåñòâî Mε èçïðåäïîëîæåíèÿ òåîðåìû òàêîå, ÷òî Mε ⊂ KI (â ïðîòèâíîì ñëó÷àå áåðåì âìåñòî Mεýëåìåíòàðíîå ìíîæåñòâî Mε ∩ KI ). Èç ñâîéñòâ îáúåìà ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâ è åãîñîâïàäåíèÿ ñ (âíåøíèìè è âíóòðåííèìè) ìåðàìè1 = µ∗(J) (KI ) = µ∗(J) (Mε ) + µ∗(J) (Mε0 ).Èç âêëþ÷åíèéA0 ⊂ Mε0 ∪ (A0 4 Mε0 )A ⊂ Mε ∪ (A 4 Mε ),7(4)ñëåäóþò íåðàâåíñòâàµ∗(J) (A0 ) ≤ µ∗(J) (Mε0 ) + µ∗(J) (A0 4 Mε0 ).µ∗(J) (A) ≤ µ∗(J) (Mε ) + µ∗(J) (A 4 Mε ),Ñêëàäûâàÿ äâà ïîñëåäíèõ íåðàâåíñòâà, ïîëó÷èì, ñ ó÷åòîì (3), (4) è ïðåäïîëîæåíèÿòåîðåìû1 ≤ µ∗(J) (A) + µ∗(J) (A0 ) ≤ µ∗(J) (Mε ) + µ∗(J) (Mε0 ) + 2µ∗(J) (A 4 Mε ) < 1 + 2ε.Òàê êàêε>0ïðîèçâîëüíî, ýòî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî äîñòàòî÷íîñòè.Íåîáõîäèìîñòü.ÏóñòüAèçìåðèìî ïî Ëåáåãó (Æîðäàíó), ò.å.µ∗(J) (A) + µ∗(J) (A0 ) = 1.Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîåε > 0.(5)Ïî îïðåäåëåíèþ âíåøíèõ ìåð íàéäóòñÿ òà-êèå ñ÷åòíûå (êîíå÷íûå) ïîêðûòèÿ ìíîæåñòâAèA0ýëåìåíòàðíûìè ìíîæåñòâàìèPl , l = 1, 2, .
. . , (r); Ql , l = 1, 2, . . . , (s) ñîîòâåòñòâåííîìîæíî ñ÷èòàòü ïîäìíîæåñòâàìè KI ), ÷òî(ïðè÷åì âñå ýòè ìíîæåñòâà+∞(r)X|Pl | ≤ µ∗(J) (A) + ε,(6)|Ql | ≤ µ∗(J) (A0 ) + ε.(7)l=1+∞(s)Xl=1Äëÿ ìåðû Ëåáåãà çàìåòèì òàêæå, ÷òî èç íåðàâåíñòâ (6),(7) ñëåäóåò ñõîäèìîñòü ðÿäîââ èõ ëåâûõ ÷àñòÿõ, îòêóäà ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå íàòóðàëüíàõ ÷èñåë+∞X|Pl | ≤ ε,l=r+1Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ+∞X|Ql | ≤ ε.r, sòàêèõ, ÷òî(8)l=s+1Pε = ∪rl=1 Pl , Qε = ∪sl=1 Ql .Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà òåî-ðåìû äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü íåðàâåíñòâîµ∗(J) (A 4 Pε ) < 6ε.(9)Ïðåæäå âñåãî îòìåòèì, ÷òî èç îïðåäåëåíèÿ ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè è ñâîéñòââíåøíèõ ìåð ñëåäóåò íåðàâåíñòâîµ∗(J) (A 4 Pε ) ≤ µ∗(J) (A \ Pε ) + µ∗(J) (Pε \ A) .8(10)Äàëåå èç âêëþ÷åíèÿA \ Pε ⊂ ∪+∞l=r+1 Pl(äëÿ ìåðû ÆîðäàíàA \ Pε = ∅)ñ ó÷åòîì (8)ïîëó÷àåìµ∗(J) (A \ Pε ) < ε.(11)Àíàëîãè÷íîµ∗(J) (A0 \ Qε ) < ε.(12)S 0Èç âêëþ÷åíèÿ Pε \ A ⊂ (Pε ∩ Qε )(Qε \ A) è (5),(6),(7) è (12) ñëåäóåò öåïî÷êà íåðàâåíñòâµ∗(J) (Pε \ A) ≤ µ∗(J) (Pε ∩ Qε ) + µ∗(J) (Q0ε \ A) = |Pε ∩ Qε | + µ∗(J) (A0 \ Qε ) =+∞(r)= |Pε | + |Qε | − |Pε ∪ Qε | +µ∗(J)0(A \ Qε ) <X+∞(s)|Pl | +l=1X|Ql | − |Pε ∪ Qε | + ε ≤l=1≤ 1 + 3ε − |Pε ∪ Qε |.Òåïåðü äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà (9) (ñì.
òàêæå (10) è (11)) îñòàëîñü óñòàíî-|Pε ∪ Qε | ≥ 1 − 2ε. Ýòî íåðàâåíñòâî î÷åâèäíî äëÿ ìåðû Æîðäàíà,|Pε ∪ Qε | = 1, à äëÿ ìåðû Ëåáåãà äîêàçûâàåòñÿ öåïî÷êîé íåðàâåíñòââèòü íåðàâåíñòâîòàê êàê òîãäà∗1 = |KI | ≤ µ∗ (Pε ∪ Qε ) + µ∗ ∪+∞∪+∞l=r+1 Pl + µl=s+1 Ql < |Pε ∪ Qε | + 2εñ ó÷åòîì (8).Ñåìåéñòâî èçìåðèìûõ ïî Ëåáåãó (Æîðäàíó) ïîäìíîæåñòâ KI îáðàçóåò àëãåáðó ìíîæåñòâ.Òåîðåìà 6.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïðåæäå âñåãî äîêàæåì, ÷òî îáúåäèíåíèå äâóõ èçìåðèìûõ ïî Ëå-áåãó (Æîðäàíó) ìíîæåñòâA, Bòàêæå èçìåðèìî ïî Ëåáåãó (Æîðäàíó).
Äëÿ ýòîãîâîñïîëüçóåìñÿ òîëüêî ÷òî äîêàçàííûì êðèòåòèåì èçìåðèìîñòè. Äëÿ ëþáîãîñóùåñòâóþò ýëåìåíòàðíûå ìíîæåñòâàMε , Nεµ∗(J) (A 4 Mε ) < ε,ε>0òàêèå, ÷òîµ∗(J) (B 4 Nε ) < ε.Pε = Mε ∪ Nε . Òîãäà èç âêëþ÷åíèÿ (A ∪ B) 4 Pε ⊂ (A 4 Mε ) ∪ (B 4 Nε )ñëåäóåò íåðàâåíñòâî µ∗(J) ((A ∪ B) 4 Pε ) < 2ε , äîêàçûâàþùåå òðåáóåìîå.Èçìåðèìîñòü äîïîëíåíèÿ A0 ïðîèçâîëüíîãî èçìåðèìîãî ìíîæåñòâà A äî êóáà KIÏîëîæèìñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ, à òîãäà èçìåðèìîñòü ïåðåñå÷åíèÿ, ðàçíîñòè9è ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè äâóõ èçìåðèìûõ ïî Ëåáåãó (Æîðäàíó) ìíîæåñòâ ñëåäóåòèç ðàâåíñòâ0A ∩ B = (A0 ∪ B 0 ) ,A\B = A ∩ B 0 ,A 4 B = (A \ B) ∪ (B \ A) .(Êîíå÷íàÿ àääèòèâíîñòü ìåð Ëåáåãà è Æîðäàíà).
Åñëè íåïåðåñåêàþùèåñÿ ìíîæåñòâà A1 , . . . , Am èçìåðèìû ïî Ëåáåãó (Æîðäàíó), òî!mmGXµ∗(J)Al =µ∗(J) (Al ) .Òåîðåìà 7.l=1Äîêàçàòåëüñòâî.Äîêàçàòåëüñòâî äîñòàòî÷íî ïðîâåñòè äëÿðèþ èçìåðèìîñòè äëÿ ëþáîãî1, 2,l=1ε>0m = 2.Ñîãëàñíî êðèòå-ñóùåñòâóþò ýëåìåíòàðíûå ìíîæåñòâàMi,ε , i =òàêèå, ÷òî (ïðåäûäóùàÿ òåîðåìà ïîçâîëÿåò íå ïèñàòü çâåçäî÷êè, ïîñêîëüêó âñåâíåøíèå ìåðû ñîâïàäàþò ñ ìåðàìè)µ(J) (Ai 4 Mi,ε ) < ε,i = 1, 2.Âêëþ÷åíèÿMi,ε ⊂ Ai ∪ (Ai 4 Mi,ε ) ,Ai ⊂ Mi,ε ∪ (Ai 4 Mi,ε ) ,i = 1, 2âëåêóò ñîîòíîøåíèÿM1,ε ∪ M2,ε ⊂ (A1 ∪ A2 ) ∪ (A1 4 M1,ε ) ∪ (A2 4 M2,ε ) ,A1 ∪ A2 ⊂ (M1,ε ∪ M2,ε ) ∪ (A1 4 M1,ε ) ∪ (A2 4 M2,ε ) .Âñå ýòè âêëþ÷åíèÿ âìåñòå äàþò, ïî ñâîéñòâó âíåøíèõ ìåð, íåðàâåíñòâàµ(J) (Mi,ε ) < µ(J) (Ai ) + ε,µ(J) (Ai ) < µ(J) (Mi,ε ) + ε,i = 1, 2,µ(J) (M1,ε ∪ M2,ε ) < µ(J) (A1 ∪ A2 ) + 2ε,µ(J) (A1 ∪ A2 ) < µ(J) (M1,ε ∪ M2,ε ) + 2ε.Ïîëó÷åííûå íåðàâåíñòâà ìîæíî ïåðåïèñàòü â ñëåäóþùåì âèäå:µ(J) (Ai ) − µ(J) (Mi,ε ) < ε,i = 1, 2,µ(J) (A1 ∪ A2 ) − µ(J) (M1,ε ∪ M2,ε ) < 2ε.10(13)(14)Äàëåå âêëþ÷åíèåM1,ε ∩ M2,ε ⊂ (A1 ∪ (A1 4 M1,ε ))\(A2 ∪ (A2 4 M2,ε )) =[\= (A1 ∪ (A1 4 M1,ε )) (A2 4 M2,ε )((A1 4 M1,ε ) ∩ A2 ) ⊂[⊂ (A1 4 M1,ε ) (A2 4 M2,ε )äîêàçûâàåò íåðàâåíñòâî|M1,ε ∩ M2,ε | < 2ε.Òåïåðü ïóíêò 2 òåîðåìû 1 1 äàåò íåðàâåíñòâî||M1,ε ∪ M2,ε | − |M1,ε | − |M2,ε || < 2ε.Îòñþäà ñ ó÷åòîì (13) è (14) è ïðåäøåñòâóþùèì èì íåðàâåíñòâ ïîëó÷àåìµ(J) (A1 ∪ A2 ) = µ∗(J) (A1 ∪ A2 ) ≤ µ∗(J) (A1 ) + µ∗(J) (A2 ) = µ(J) (A1 ) + µ(J) (A2 ) << µ(J) (M1,ε ) + µ(J) (M2,ε ) + 2ε = |M1,ε | + |M2,ε | + 2ε < |M1,ε ∪ M2,ε | + 4ε == µ(J) (M1,ε ∪ M2,ε ) + 4ε < µ(J) (A1 ∪ A2 ) + 6ε.Èñïîëüçîâàíèå ïðîèçâîëüíîñòèε>0çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî.Åñëè ìíîæåñòâà A1 , A2 , .
. . , èçìåðèìû ïî Ëåáåãó, òî èõ îáúåäèíåíèåòàêæå èçìåðèìî ïî Ëåáåãó.Òåîðåìà 8.A=∪+∞l=1 AlÄîêàçàòåëüñòâî. Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì ñëó÷àé íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâA1 , A2 , . . .. Ïîñêîëüêó ïðè ëþáîì íàòóðàëüíîì L èçìåðèìîå ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâîPtLl=1 Al ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì A, ïî ñâîéñòâó âíåøíåé ìåðû Ll=1 µ(Al ) ≤ µ∗ (A).P+∞∗Îòñþäà â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè L ïîëó÷àåìl=1 µ(Al ) ≤ µ (A).
Ñëåäîâàòåëüíî,P+∞ðÿäl=1 µ(Al ) ñõîäèòñÿ, è, çíà÷èò, äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ òàêîå íàòóðàëüíîå÷èñëî r, ÷òî+∞Xµ(Al ) < ε/2.(15)l=r+1Ïðèìåíÿÿ êðèòåðèé èçìåðèìîñòè ê êàæäîìó èç ìíîæåñòâìåíòàðíûå ìíîæåñòâàMi,ε , i = 1, . . . , rA1 , . . . , Ar ,íàéäåì ýëå-òàêèå, ÷òîµ (Ai 4 Mi,ε ) < ε/(2r),11i = 1, . . . , r.(16)Îáîçíà÷èì ÷åðåçýëåìåíòàðíîå ìíîæåñòâîMεMε = ∪ri=1 Mi,ε .A 4 Mε = (A \ Mε ) ∪ (Mε \ A) ⊂ (∪ri=1 Ai \ Mε )⊂[∪+∞l=r+1 AlÖåïî÷êà âêëþ÷åíèé[(Mε \ ∪ri=1 Ai ) ⊂[ [ +∞r∪ (Ai \ Mi,ε )∪ Al∪ (Mi,ε \ Ai ) =ri=1i=1l=r+1 r [ +∞= ∪ (Ai 4 Mi,ε )∪ Ali=1l=r+1ïîçâîëÿåò âûâåñòè íåðàâåíñòâîrXµ∗ (A 4 Mε ) ≤µ∗ (Ai 4 Mi,ε ) +i=1+∞Xµ∗ (Al ) < ε,l=r+1êîòîðîå ïî êðèòåðèþ èçìåðèìîñòè ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâ (15), (16) è äîêàçûâàåòèçìåðèìîñòü ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâàA.×òîáû ñâåñòè îáùèé ñëó÷àé ê óæå ðàçîáðàííîìó, ïðåäñòàâèì ìíîæåñòâîA â âèäå+∞A = ∪l=1Al = t+∞l=1 Ãl ,ãäål−1Ãl = Al \ ∪i=1Ai .Äîêàçàííàÿ òåîðåìà îçíà÷àåò, ïî îïðåäåëåíèþ, ÷òî àëãåáðà èçìåðèìûõ ïî Ëåáåãóïîäìíîæåñòâ êóáàKIÿâëÿåòñÿσ -àëãåáðîé.(σ−àääèòèâíîñòü ìåðû Ëåáåãà).Åñëè íåïåðåñåêàþùèåñÿ ìíîæåñòâà A1 , A2 , .
. . , èçìåðèìû ïî Ëåáåãó, òîÒåîðåìà 9.µ(t+∞i=1 Ai )=+∞Xµ(Ai ).i=1Äîêàçàòåëüñòâî.Îáîçíà÷èì ÷åðåçAîáúåäèíåíèåA = t+∞l=1 Al .Ïî ïðåäûäóùåéòåîðåìå îíî èçìåðèìî ïî Ëåáåãó. Äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëàrèç âêëþ÷å-íèÿ trl=1 Al ⊂ A è êîíå÷íîé àääèòèâíîñòè ìåðû Ëåáåãà ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâîPrl=1 µ(Al ) ≤ µ(A). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïî ñâîéñòâó âíåøíåé ìåðû Ëåáåãà∗µ(A) = µ (A) ≤+∞X∗µ (Ai ) =i=112+∞Xi=1µ(Ai ).Îïðåäåëåíèå 7.Íàçîâåì ñóïðåìóìîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìíîæåñòâ èõ îáúåäè-íåíèåsup{Am } = ∪+∞m=1 Am ,mèíôèìóìîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìíîæåñòâ èõ ïåðåñå÷åíèåinf {Am } = ∩+∞m=1 Am .mÍàçîâåì ïðåäåëîì âîçðàñòàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìíîæåñòâ èõ ñóïðåìóì: åñëè A1 ⊂ A2 ⊂ .
. . , òî limm→∞ Am = supm {Am }, àíàëîãè÷íî äëÿ óáûâàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè: åñëè A1 ⊃ A2 ⊃ . . . , òî limm→∞ Am = inf m {Am }. Âåðõíèì ïðåäåëîìïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìíîæåñòâ íàçûâàåòñÿ, ïîäîáíî ñëó÷àþ ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, âûðàæåíèålimm→∞ Am = lim sup {Ak },m→∞ k≥màíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ íèæíèé ïðåäåë:limm→∞ Am = lim inf {Ak }.m→∞ k≥mÅñëè ìíîæåñòâà limm→∞ Am è limm→∞ Am (êîòîðûå ñóùåñòâóþò äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìíîæåñòâ A1 , A2 , .
. . ,) ðàâíû, òî ýòî ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìíîæåñòâ A1 , A2 , . . .:lim Am = limm→∞ Am = limm→∞ Am .m→∞Íàïðèìåð, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îòðåçêîâ{[1/m, 1 + 1/m]}∞m=1íå ÿâëÿåòñÿ íè âîç-ðàñòàþùåé, íè óáûâàþùåé, íî îíà èìååò ïðåäåë:sup {[1/k, 1 + 1/k]} = (0, 1 + 1/m];k≥minf {[1/k, 1 + 1/k]} = [1/m, 1],k≥m+∞lim [1/m, 1 + 1/m] = ∩+∞m=1 (0, 1 + 1/m] = ∪m=1 [1/m, 1] = (0, 1].m→∞(Íåïðåðûâíîñòü ìåðû Ëåáåãà). Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èçìåðèìûõïî Ëåáåãó ïîäìíîæåñòâ A1 , A2 , . . . , êóáà KI èìååò ïðåäåë A = limm→∞ Am , òî ýòîòïðåäåë èçìåðèì ïî Ëåáåãó, ïðè÷åìµ lim Am = lim µ(Am ).Òåîðåìà 10.m→∞m→∞13Äîêàçàòåëüñòâî.Äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû ïðåäïîøëåì íåñêîëüêî ëåìì.Äëÿ âîçðàñòàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èçìåðèìûõ ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâ B1 ⊂ B2 ⊂ . . . åå ïðåäåë limm→∞ Bm = supm {Bm } èçìåðèì ïî Ëåáåãó, ïðè÷åìµ lim Bm = lim µ(Bm ) = sup{µ(Bm )}.Ëåììà2.m→∞m→∞mÄîêàçàòåëüñòâî.
Ïîëîæèì B̃m = Bm \ Bm−1 , B0 = ∅. Òîãäà B̃m ∩ B̃k = ∅ ïðè k 6= m+∞+∞(äëÿ k > m B̃k ∩ Bk−1 = ∅, B̃m ⊂ Bm ⊂ Bk−1 ). Òàê êàê ∪m=1 Bm = tm=1 B̃m , òî èçσ -àääèòèâíîñòè ìåðû Ëåáåãà ïîëó÷àåìµ+∞ X+∞lim Bm = µ ∪+∞B=µtB̃=µ(B̃m ) =m=1 mm=1 mm→∞m=1=+∞X(µ(Bm ) − µ(Bm−1 )) = lim µ(Bm ).m→∞m=1Äëÿ óáûâàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èçìåðèìûõ ïî Ëåáåãó ïîäìíîæåñòâ B1 ⊃ B2 ⊃ . . . êóáà KI åå ïðåäåë limm→∞ Bm = inf m {Bm } èçìåðèì ïî Ëåáåãó,ïðè÷åìµ lim Bm = lim µ(Bm ) = inf {µ(Bm )}.Ëåììà3.m→∞m→∞mÄîêàçàòåëüñòâî. Ïîëîæèì B̃m = B1 \ Bm .
Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîæåñòâ{B̃m }+∞m=1 − âîçðàñòàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èçìåðèìûõ ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâ è ïî+∞+∞ïðåäûäóùåé ëåììå åå ïðåäåë ∪m=1 B̃m = B1 \ ∩m=1 Bm èçìåðèì, è ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà+∞µ ∪+∞B̃m=1 m = lim µ(B̃m ) = µ(B1 ) − lim µ(Bm ) = µ(B1 ) − µ ∩m=1 Bm .m→∞m→∞Äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èçìåðèìûõ ïî Ëåáåãó ïîäìíîæåñòâA1 , A2 , . . . , êóáà KI åå âåðõíèé ïðåäåë èçìåðèì, è ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâîµ limm→∞ Am ≥ limm→∞ µ(Am ).Ëåììà 4.Äîêàçàòåëüñòâî.. . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
