Меры Джордана и Лебега - Лукашов (1187970)
Текст из файла
À. Ë. ËóêàøîâÌåðû Æîðäàíà è Ëåáåãà (ëåêöèè äëÿ ÔÈÂÒ).Çäåñü èçëîæåíû òåìû êóðñà ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, âêëþ÷åííûå â ïðîãðàììó3-ãî ñåìåñòðà ÔÈÂÒ. ×àñòü ìàòåðèàëà áûëà ïðî÷èòàíà âî 2-ì ñåìåñòðå, íî ëèøüâîïðîñû, îòíîñÿùèåñÿ ê ìåðå Æîðäàíà, áûëè âêëþ÷åíû â ýêçàìåíàöèîííóþ ïðîãðàììó.  3-ì ñåìåñòðå ñòóäåíòû ÔÈÂÒ ñëóøàþò êóðñ îñíîâ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé èòåîðèè ìåðû, ïîýòîìó ïðåäñòàâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì âåñòè ïîñòðîåíèå êðàòíîãî èíòåãðàëà ñðàçó êàê èíòåãðàëà Ëåáåãà. Êîíå÷íî, ìåðà Ëåáåãà ïðè ýòîì äîëæíà áûòüèçó÷åíà ñòóäåíòàìè ïåðåä èíòåãðàëîì Ëåáåãà.1. Ýëåìåíòàðíûå ìíîæåñòâà èn-ìåðíûéîáúåì äëÿ íèõ.ha, bi îáîçíà÷àåò îäèí èç êîíå÷íûõ (âîçìîæíî âûðîæäåííûõ) ïðîìåæóòêîâ [a, b], (a, b), [a, b), (a, b], a ≤ b. Áðóñîì â Rn íàçîâåì ìíîæåñòâî P âèäà P =QnQnha,bi,åãîn-ìåðíûìîáúåìîìåñòåñòâåííîñ÷èòàòü÷èñëî|P|=jjj=1 (bj −j=1aj ), |∅| = 0.ÏóñòüÈç ãåîìåòðè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé íåòðóäíî âûâåñòè ñëåäóþùèå ñâîéñòâà îáúåìà:1) Åñëè áðóñáðóñüåâ2) ÅñëèP ïðåäñòàâëåí â âèäå êîíå÷íîãî îáúåäèíåíèÿPNPj , ò.å.
P = tNj=1 Pj , òî |P | =j=1 |Pj |;áðóñ Q âêëþ÷àåò áðóñ P, P ⊂ Q, òî |P | ≤ |Q|.íåïåðåñåêàþùèõñÿÌíîæåñòâî M íàçûâàåòñÿ ýëåìåíòàðíûì, åñëè åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå êîíå÷íîãî ÷èñëà íåïåðåñåêàþùèõñÿ áðóñüåâ, ò.å. M = tNj=1 Pj .Îïðåäåëåíèå 1.Îáúåäèíåíèå, ïåðåñå÷åíèå, ðàçíîñòü è ñèììåòðè÷åñêàÿ ðàçíîñòü ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâ ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàðíûìè ìíîæåñòâàìè.Ëåììà 1.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî ïåðåñå÷åíèå äâóõ áðóñüåâ ÿâëÿåòñÿáðóñîì, òàê êàê ïåðåñå÷åíèå äâóõ ïðîìåæóòêîâ ÿâëÿåòñÿ ïðîìåæóòêîì. Òîãäà èçïðåäñòàâëåíèé12M = tnj=1Mj , N = tnk=1Nk ,ñëåäóåòM ∩ N = tj,k Mj ∩ Nk ,÷òî äîêà-çûâàåò ÷àñòü íàøåãî óòâåðæäåíèÿ, îòíîñÿùóþñÿ ê ïåðåñå÷åíèþ.Äàëåå çàìåòèì, ÷òî äîïîëíåíèå áðóñàP c ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì êîíå÷íîãî ÷èñëàíåïåðåñåêàþùèõñÿ (âîçìîæíî, áåñêîíå÷íûõ, ò.å.
ñ äîïóùåíèåì â îïðåäåëåíèè áðóñà áåñêîíå÷íûõ ïðîìåæóòêîâ) áðóñüåâ, ÷òî â ñî÷åòàíèè ñ óæå äîêàçàííîé ÷àñòüþóòâåðæäåíèÿ (âîçìîæíàÿ áåñêîíå÷íîñòü áðóñüåâ íè÷åãî â äîêàçàòåëüñòâå íå ìåíÿåò) âëå÷åò åãî ñïðàâåäëèâîñòü äëÿ ðàçíîñòè â ñèëóM \N = M \ (∪i Qi ) = M ∩ (∩i Qci ) .1ÐàâåíñòâîP ∪ Q = (P \Q) t Qâ ñî÷åòàíèè ñ óæå äîêàçàííîé ÷àñòüþ âëå÷åòýëåìåíòàðíîñòü îáúåäèíåíèÿ äâóõ áðóñüåâ, îòêóäà ñëåäóåò íàøå óòâåðæäåíèå îáîáúåäèíåíèè ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâ.Ïîñëåäíÿÿ ÷àñòü óòâåðæäåíèÿ ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè:M 4 N = (M \ N ) ∪ (N \ M ) .Äîêàçàííàÿ ëåììà îçíà÷àåò (ïî îïðåäåëåíèþ), ÷òî ñîâîêóïíîñòü ýëåìåíòàðíûõìíîæåñòâ âRnÿâëÿåòñÿ êîëüöîì ìíîæåñòâ. Åñëè æå ðàññìàòðèâàòü ëèøü ýëåìåí-òàðíûå ïîäìíîæåñòâà íåêîòîðîãî ôèêñèðîâàííîãî ýëåìåíòàðíîãî ìíîæåñòâà (íàïðèìåð, ÿ÷åéêèI =Qni=1 [0, 1) èëè êóáàQni=1 [−1/2, 1/2]), òî îíè îáðàçóþòKI =àëãåáðó ìíîæåñòâ (ò.å.
êîëüöî ìíîæåñòâ ñ åäèíèöåé).ÎïðåäåëåíèåPri=12.Îáúåì ýëåìåíòàðíîãî ìíîæåñòâà M = tri=1 Pi ðàâåí |M | =|Pi |.Òåîðåìà 1.(Îñíîâíûå ñâîéñòâà îáúåìà íà êîëüöå ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâ).1. Îïðåäåëåíèå îáúåìà êîððåêòíî.2. Äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâ M, N|M ∪ N | + |M ∩ N | = |M | + |N |.3. Äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâ M, NM ⊂ N ⇒ |M | ≤ |N |.4. (Êîíå÷íàÿ àääèòèâíîñòü) Äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâ Mi , i =1, . . . r,rrG XM=|Mi |.ii=1Äîêàçàòåëüñòâî.i=1Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïåðâîãî ñâîéñòâà ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñïðàâåä-ëèâû äâà ïðåäñòàâëåíèÿ ýëåìåíòàðíîãî ìíîæåñòâàêàþùèõñÿ áðóñüåâM=rGPi =i=1qGj=12MQj .â âèäå îáúåäèíåíèé íåïåðåñå-Òîãäà îáðàçóåì òðåòüå ïðåäñòàâëåíèå, áåðÿ âñåâîçìîæíûå ïåðåñå÷åíèÿPi,j = Pi ∩Qj ,è çàìåòèì, ÷òî âñå ñóììûrX|Pi | =qX|Qj | =j=1i=1X|Pi,j |i,jðàâíû ïî ïåðâîìó ñâîéñòâó îáúåìà áðóñüåâ.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ÷åòâåðòîãî ñâîéñòâà ïðåæäå âñåãî äîêàæåì, ÷òî èç âêëþ÷åíèÿ ýëåìåíòàðíîãî ìíîæåñòâàùèõñÿ) ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâ|M | ≤Pri=1|Mi |.M â îáúåäèíåíèå (íå îáÿçàòåëüíî íåïåðåñåêàþMi , i = 1, .
. . r, M ⊂ ∪ri=1 Mi ñëåäóåò íåðàâåíñòâî ñàìîì äåëå, èç òðåòüåãî ñâîéñòâà, ÿâëÿþùåãîñÿ íåìåäëåííûìñëåäñòâèåì ãåîìåòðè÷åñêè î÷åâèäíîãî âòîðîãî, ñëåäóåò íåðàâåíñòâîÄëÿ|M | ≤ |∪ri=1 Mi | .r = 2 îòñþäà íåìåäëåííî ñëåäóåò òðåáóåìîå, â îáùåì æå ñëó÷àå ðàññóæäàåì ïîèíäóêöèè.Îïðåäåëåíèå 3.Ïóñòü 1 > ε > 0. ε− ðàñòÿæåíèåì áðóñà P =Qnj=1 haj , bj iíàçîâåìáðóñn Y√aj + b jb j − aj aj + b j √b j − ajnnP =− 1+ε,+ 1+ε.2222j=1Qε− ñæàòèåì áðóñà P = nj=1 haj , bj i íàçîâåì áðóñεP−εn Y√aj + b jb j − aj aj + b j √b j − ajnn=− 1−ε,+ 1−ε.2222j=1Î÷åâèäíî, ÷òîÒåîðåìà 2.|P ε | = (1 + ε)|P |,|P −ε | = (1 − ε)|P |.(Ñ÷åòíàÿ (σ−)àääèòèâíîñòü îáúåìà íà êîëüöå ýëåìåíòàðíûõ ìíî-æåñòâ).Åñëè ýëåìåíòàðíîå ìíîæåñòâî M ïðåäñòàâëåíî îáúåäèíåíèåì íåïåðåñåêàþùèõP+∞ñÿ ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâ Mi , i = 1, 2, .
. . , M = t+∞i=1 Mi , òî |M | =i=1 |Mi |.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåæäå âñåãî äîêàæåì, ÷òî èç âêëþ÷åíèÿ ýëåìåíòàðíîãî ìíîæåñòâà M â îáúåäèíåíèå (íå îáÿçàòåëüíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ) ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâMi , i = 1, 2, . . . , M ⊂ ∪+∞i=1 Mi ñëåäóåò íåðàâåíñòâî|M | ≤+∞Xi=13|Mi |(1)(ïðè÷åì çäåñü, â îòëè÷èå îò óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû, ñóììà ðÿäà ìîæåò áûòü áåñêîíå÷íîé). Äëÿ ýòîãî ïðåäñòàâèì êàæäîå èç ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâ â âèäå îáúåäèíåíèÿêîíå÷íîãî ÷èñëà íåïåðåñåêàþùèõñÿ áðóñüåâ:iMi = trk=1Pk,i , M = tri=1 Qi .Ýòî äàåò ïðåäñòàâëåíèå îáúåäèíåíèÿ ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâ â âèäå ñ÷åòíîãî îáúåäèíåíèÿ áðóñüåâri+∞+∞∪+∞i=1 Mi = ∪i=1 tk=1 Pk,i = ∪l=1 Pl ,ïðè÷åì äëÿ ñîäåðæàòåëüíîé÷àñòè äîêàçàòåëüñòâà âàæåí ëèøü ñëó÷àé, êîãäà âñå ýòè áðóñüÿ íåâûðîæäåííû.
Âûáåðåì ïðîèçâîëüíîå1 > ε > 0,è ïîëîæèìαl =ε,l2l |Pl |= 1, 2, . . ..Òîãäà âêëþ÷åíèå+∞ αltri=1 Q−εi ⊂ ∪l=1 Plîçíà÷àåò, ÷òîαl∪+∞l=1 Plîáðàçóåò îòêðûòîå ïîêðûòèå êîìïàêòíîãî ìíîæåñòâàtri=1 Q−εi .Âûáåðåì èç íåãî êîíå÷íîå ïîäïîêðûòèå: ñóùåñòâóåò òàêîé êîíå÷íûé íàáîð èíäåêñîâlj , j = 1, . . . , s,÷òîαljstri=1 Q−εi ⊂ ∪j=1 Plj .Òîãäà ïî ïðåäûäóùåé òåîðåìås rX −ε X αlj Q ≤P .iljj=1i=1Ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèå îáúåìîâ ðàñòÿæåíèé è ñæàòèé, îòñþäà ïîëó÷èì(1 − ε)|M | = (1 − ε)rXrX −ε Q ,|Qi | =i=1i=1is sss+∞+∞XXXXX1 αl j X|Plj |(1 + αlj ) =|Plj | + ε<|Pl | + ε =|Mi |.
Pl j =2ljj=1j=1j=1j=1i=1l=1Ïîñëåäíèå òðè íåðàâåíñòâà âìåñòå ñ ïðîèçâîëüíîñòüþε>0äîêàçûâàþò (1).Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïðîòèâîïîëîæíîãî íåðàâåíñòâà çàìåòèì, ÷òî âêëþ÷åíèåt+∞Mi ⊂ M âëå÷åò tmi=1 MiPi=1mi=1 |Mi | ≤ |M | äëÿ ëþáîãî⊂ M äëÿ ëþáîãî m ∈ N. ÏîñëåäíååPm ∈ N. Îòñþäà +∞i=1 |Mi | ≤ |M |.äàåò íåðàâåíñòâî2. Âíåøíÿÿ è âíóòðåííÿÿ ìåðû Æîðäàíà è Ëåáåãà.ÂýòîìïàðàãðàôåìûðàññìàòðèâàåìQni=1 [−1/2, 1/2].4òîëüêîïîäìíîæåñòâàêóáàKI=Âíåøíåé ìåðîé Æîðäàíà ìíîæåñòâà A íàçûâàåòñÿ òî÷íàÿíèæíÿÿ ãðàíü ñóìì ìåð êîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâ Mi , îáðàçóþùèõ ïîêðûòèå A:rX∗µJ (A) = inf|Mi |.rÎïðåäåëåíèå4.A⊂∪i=1 Mii=1Âíåøíåé ìåðîé Ëåáåãà ìíîæåñòâà A íàçûâàåòñÿ òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü ñóìì ìåðñ÷åòíîãî ÷èñëà ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâ Mi , îáðàçóþùèõ ïîêðûòèå A:µ∗ (A) =+∞Xinf+∞A⊂∪i=1 MiÍàïðèìåð, äëÿÒåîðåìà 3n = 1, A = Q ∩ KIèìååì|Mi |.i=1µ∗J (A) = 1,µ∗ (A) = 0.1.
Åñëè M - ýëåìåíòàðíîå, òî µ∗J (M ) =(Ñâîéñòâà âíåøíèõ ìåð).µ∗ (M ) = |M |.2. Åñëè A ⊂ ∪ri=1 Ai , òî µ∗J (A) ≤Pri=1µ∗J (Ai ), µ∗ (A) ≤Pri=1µ∗ (Ai ),3. Äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà A ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî µ∗ (A) ≤ µ∗J (A).P+∞ ∗∗4. Åñëè A ⊂ ∪+∞i=1 Ai , òî µ (A) ≤i=1 µ (Ai ).Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïåðâîãî óòâåðæäåíèÿ ïðåæäå âñåãî çàìåòèì,÷òî âêëþ÷åíèå M ⊂ M íåìåäëåííî âëå÷åò íåðàâåíñòâà µ∗J (M ) ≤ |M |, µ∗ (M ) ≤ |M |(äëÿ ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà íóæíî ó÷åñòü, ÷òî êàæäîå ïîêðûòèå êîíå÷íûì ÷èñëîìýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü è êàê ïîêðûòèå áåñêîíå÷íûì ÷èñëîì,äîáàâèâ áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ïóñòûõ ìíîæåñòâ).Ïðîòèâîïîëîæíûå íåðàâåíñòâà íåìåäëåííî ñëåäóþò èç íåðàâåíñòâà (1) èç ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôà.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà 2) âûáåðåì äëÿ ëþáîãî εMj,i , j = 1, .
. . , ri ; i = 1, . . . , r,íåðàâåíñòâàòàê, ÷òîáû> 0 íàáîðû ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâriâûïîëíÿëèñü âêëþ÷åíèÿ Ai ⊂ ∪j=1Mj,i èriXε|Mj,i | ≤ µ∗J (Ai ) + .rj=1ÒîãäàiA ⊂ ∪ri=1 ∪rj=1Mj,i ,îòêóäàµ∗J (A) ≤rir XX|Mj,i | ≤i=1 j=1rXi=15µ∗J (Ai ) + ε,(2)è ïðîèçâîëüíîñòüε>0äîêàçûâàåò 2) äëÿ ìåðû Æîðäàíà. Äëÿ ìåðû Ëåáåãà äîêà-çàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî.Óòâåðæäåíèå 3) î÷åâèäíûì îáðàçîì ñëåäóåò èç âîçìîæíîãî äîáàâëåíèÿ ïóñòûõìíîæåñòâ, êàê â äîêàçàòåëüñòâå 1).Äîêàçàòåëüñòâî óòâåðæäåíèÿ 4) ïðîâîäèòñÿ àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó 2) ñ çàεεìåíîé â íåðàâåíñòâå (2) äðîáè r íà 2i . äàëüíåéøåì ñ öåëüþ èçáåæàòü ïîâòîðåíèé, àíàëîãè÷íûõ äîêàçàòåëüñòâó óòâåðæäåíèÿ 2) â ýòîé òåîðåìå, ìû áóäåì óòâåðæäåíèÿ, ñïðàâåäëèâûå è äëÿ ìåðû Æîðäàíà, è (ïðè ñîîòâåòñòâóþùåé ìîäèôèêàöèè) äëÿ ìåðû Ëåáåãà ôîðìóëèðîâàòü ñèñïîëüçîâàíèåì îáîçíà÷åíèÿµ∗(J)äëÿ âíåøíåé ìåðû Ëåáåãà (Æîðäàíà).
Äëÿ âíóò-ðåííåé ìåðû èíäåêñû ìåíÿþòñÿ ìåñòàìè.Îïðåäåëåíèå 5.(J)Âíóòðåííåé ìåðîé Ëåáåãà (Æîðäàíà) µ∗ìíîæåñòâà A íàçûâà-åòñÿ ÷èñëî∗µ(J)∗ (A) = 1 − µ(J) (KI \A).(Îñíîâíîå ñâîéñòâî âíóòðåííåé ìåðû). Äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà A åãîâíóòðåííÿÿ ìåðà Ëåáåãà (Æîðäàíà) íå ïðåâîñõîäèò åãî âíåøíåé ìåðû Ëåáåãà (Æîðäàíà):∗µ(J)∗ (A) ≤ µ(J) (A).Òåîðåìà 4.Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûåæåñòâ A è åãî äîïîëíåíèÿ KI \A:A ⊂ ∪i Mi ,ñ÷åòíûå (êîíå÷íûå) ïîêðûòèÿ ìíî-(KI \A) ⊂ ∪j Nj .Òîãäà(∪i Mi ) ∪ (∪j Nj ) ⊃ KI ,îòêóäà ïî íåðàâåíñòâó (1) èç ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôàPi|Mi | +ìåì â ýòîì íåðàâåíñòâå òî÷íûå íèæíèå ãðàíè ïî ïîêðûòèÿì.µ∗(J) (KI \A) ≥ 1,P|Nj | ≥ 1. ÂîçüÏîëó÷èì µ∗(J) (A) +j÷òî è äàåò òðåáóåìîå.3.
Èçìåðèìûå ìíîæåñòâà. Îñíîâíûå ñâîéñòâà ìåð Æîðäàíà è Ëåáåãà. íà÷àëå ýòîãî ïàðàãðàôà, êàê è â ïðåäûäóùåì, ðàññìàòðèâàåì òîëüêî ïîäìíîæåñòâà êóáàKI =Qni=1 [−1/2, 1/2].6Ìíîæåñòâî A íàçûâàåòñÿ èçìåðèìûì ïî Ëåáåãó (Æîðäàíó), åñëè åãî âíóòðåííÿÿ ìåðà Ëåáåãà (Æîðäàíà) ñîâïàäàåò ñ åãî âíåøíåé ìåðîé Ëåáåãà(Æîðäàíà). Îáùåå çíà÷åíèå ýòèõ ìåð òîãäà íàçûâàåòñÿ ìåðîé Ëåáåãà (Æîðäàíà)µ(J) (A):µ(J) (A) = µ∗(J) (A) = µ(J)∗ (A).Îïðåäåëåíèå 6.Îòìåòèì ñëåäóþùèå íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàþùèå èç îïðåäåëåíèé ñâîéñòâà.Ýëåìåíòàðíûå ìíîæåñòâàMèçìåðèìû ïî Ëåáåãó è Æîðäàíó, ïðè÷åì èõ ìåðàïî Ëåáåãó è ïî Æîðäàíó ñîâïàäàåò ñ îáúåìîì:µ(M ) = µJ (M ) = |M |.Èçìåðèìûå ïî Æîðäàíó ìíîæåñòâà èçìåðèìû è ïî Ëåáåãó, ïðè÷åì èõ ìåðû Æîðäàíà è Ëåáåãà ñîâïàäàþò:µJ∗ (A) = µ∗J (A)⇒µ(A) = µJ (A).(Êðèòåðèé èçìåðèìîñòè) Ìíîæåñòâî A èçìåðèìî ïî Ëåáåãó (Æîðäàíó) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò ýëåìåíòàðíîåìíîæåñòâî Mε òàêîå, ÷òîµ∗(J) (A 4 Mε ) < ε.Òåîðåìà 5.Äîêàçàòåëüñòâî.Äîñòàòî÷íîñòü.Çäåñü è íèæå îáîçíà÷èì ÷åðåçäî êóáà0KI : B = KI \B .B0äîïîëíåíèå ïðîèçâîëüíîãî ìíîæåñòâàB ⊂ KIÒîãäà1 = µ∗(J) (KI ) ≤ µ∗(J) (A) + µ∗(J) (A0 ).(3)Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîåε > 0.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
