Меры Джордана и Лебега - Лукашов (1187970), страница 3
Текст из файла (страница 3)
óäîâëåòâîðÿåòÎáîçíà÷èìBm = ∪+∞k=m Ak .Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòüB1 ⊃ B2 ⊃óñëîâèÿì ïðåäûäóùåé ëåììû, è ïîýòîìó åå ïðåäåë (ïî îïðåäå-ëåíèþ ñîâïàäàþùèé ñ âåðõíèì ïðåäåëîì èñõîäíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè) èçìåðèì,ïðè÷åìµlim Bm = lim µ(Bm ).m→∞m→∞14Íîµ(Bm ) = µ(∪+∞k=m Ak ) ≥ µ(Am )m ∈ N, îòêóäà ïî ñâîéñòâàìlimm→∞ µ(Bm ) ≥ limm→∞ µ(Am ).äëÿ ëþáîãîïðåäåëà ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåéâåðõíåãîÄëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èçìåðèìûõ ïî Ëåáåãó ïîäìíîæåñòâA1 , A2 , . . . , êóáà KI åå íèæíèé ïðåäåë èçìåðèì, è ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâîËåììà 5.µ (limm→∞ Am ) ≤ limm→∞ µ(Am ).Äîêàçàòåëüñòâî.. . .
óäîâëåòâîðÿåòÎáîçíà÷èìBm = ∩+∞k=m Ak .Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòüB1 ⊂ B2 ⊂óñëîâèÿì ïåðâîé ëåììû, è ïîýòîìó åå ïðåäåë (ïî îïðåäåëåíèþñîâïàäàþùèé ñ íèæíèì ïðåäåëîì èñõîäíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè) èçìåðèì, ïðè÷åìµÍîlim Bm = lim µ(Bm ).m→∞µ(Bm ) = µ(∩+∞k=m Ak ) ≤ µ(Am )m→∞m ∈ N, îòêóäà ïî ñâîéñòâàìlimm→∞ µ(Bm ) ≤ limm→∞ µ(Am ).äëÿ ëþáîãîïðåäåëà ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåéíèæíåãîÄëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû îñòàåòñÿ çàïèñàòü öåïî÷êó íåðàâåíñòâ,èñïîëüçóþùóþ äâå ïîñëåäíèå ëåììû è íàëè÷èå ïðåäåëà ó ïîñëåäîâàòåëüíîñòèA1 , A2 , . .
.:limm→∞ µ(Am ) ≤ µ limm→∞ Am = µ lim Am =m→∞= µ (limm→∞ Am ) ≤ limm→∞ µ(Am ),è çàìåòèòü, ÷òî ïî ñâîéñòâó íèæíåãî è âåðõíåãî ïðåäåëîâ ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòèlimm→∞ µ(Am ) ≤ limm→∞ µ(Am ), îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî â ýòîé öåïî÷êå íåðàâåíñòââìåñòî âñåõ íåðàâåíñòâ èìååò ìåñòî çíàê ðàâåíñòâà.QKI ìîæíî âçÿòü ÿ÷åéêó I = ni=1 [0, 1) èëè åå= I + m,~ m~ = (m1 , .
. . , mn ) ∈ Zn . Âñå ðàíåå äîêàçàííûåÇàìåòèì òåïåðü, ÷òî âìåñòî êóáàöåëî÷èñëåííûå ñäâèãèIm~ñâîéñòâà ìåð î÷åâèäíûì îáðàçîì ïåðåíîñÿòñÿ è íà ñëó÷àé ïîäìíîæåñòâ êàæäîé èçýòèõ ÿ÷ååê. Êðîìå òîãî,n ImRn = tm∈Z~~ , â ñâÿçè ñ ÷åì åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü ïðîèçâîëü-A ⊂ Rn èçìåðèìûì ïî Ëåáåãó (Æîðäàíó) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàËåáåãó (Æîðäàíó) âñå ìíîæåñòâà A ∩ Im~ ∈ Zn , ïðè ýòîì ïîä (âîç~, míîå ìíîæåñòâîèçìåðèìû ïîìîæíî, áåñêîíå÷íîé) ìåðîé Ëåáåãà (Æîðäàíà) ïîíèìàòü ñóììó ñîîòâåòñòâóþùèõìåð:µ(J) (A) =Pnm∈Z~µ(J) (A ∩ Im~ ).Çàìåòèì, ÷òî îòñóòñòâèå ñâîéñòâàσ -àääèòèâíîñòèäëÿ ìåðû Æîðäàíà ïðèâîäèòê òîìó, ÷òî ÷àùå âñåãî â îïðåäåëåíèè èçìåðèìîñòè è ìåðû Æîðäàíà äîïîëíèòåëüíîïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî ìíîæåñòâ èç15A ∩ Im~ ∈ Zn~, míåïóñòî.Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî äàííîå îïðåäåëåíèå ìåð ñîãëàñîâàíî ñ ðàíåå ââåäåííûì ïîíÿòèåì îáúåìà â ñëó÷àå ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâ. Êðîìå òîãî, âñå ðàíååïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ýòîãî ïàðàãðàôà ñïðàâåäëèâû è äëÿ ïîäìíîæåñòâ ïðîèçâîëüíîãî ôèêñèðîâàííîãî îãðàíè÷åííîãî èçìåðèìîãî ïî Ëåáåãó (Æîðäàíó).
Áîëåå òîãî, âñå ïðåäûäóùèå òåîðåìû (êðîìå êðèòåðèÿ èçìåðèìîñòè è íåïðåðûâíîñòè ìåðû) ñïðàâåäëèâû (äëÿ ñëó÷àÿ ìåðû Ëåáåãà) è äëÿ ïðîèçâîëüíûõ èçìåðèìûõRn . Ïðèìåð ìíîæåñòâ Am = [m, +∞) ⊂ R, µ(Am ) = ∞,µ(limm→∞ Am ) = µ(∅) = 0 =6 limm→∞ µ(Am ), ïîêàçûâàåò, ÷òî ñâîéñòâî íåïðåðûâïî Ëåáåãó ìíîæåñòâ âíîñòè äëÿ ìíîæåñòâ áåñêîíå÷íîé ìåðû ìîæåò íàðóøàòüñÿ.Îòìåòèì, ÷òî, ïîñêîëüêó îáúåì ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâ íå ìåíÿåòñÿ ïðè ñäâèãàõ,òî òåì æå ñâîéñòâîì îáëàäàåò è ìåðà Æîðäàíà (Ëåáåãà) äëÿ èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ:~x ∈ Rn .µ(J) (A + ~x) = µ(J) (A),Çàìåòèì òàêæå, ÷òî äëÿ îãðàíè÷åííûõ ìíîæåñòâ ìîæíî ââåñòè äðóãîå îïðåäåëåíèå âíóòðåííåé ìåðû Æîðäàíà, ÷òî âìåñòå ñ î÷åâèäíî ýêâèâàëåíòíûì ðàíåå ñäåëàííîìó îïðåäåëåíèþ (äëÿ ïîäìíîæåñòâ êóáàµ∗J (A) = inf |M |,KI )âíåøíåé ìåðû äàåò ðàâåíñòâàµJ∗ (A) = sup |M |.M ⊃AM ⊂A(Ñòðóêòóðà îòêðûòûõ ìíîæåñòâ â Rn ).Âñÿêîå îòêðûòîå ìíîæåñòâî G â Rn ïðåäñòàâèìî â âèäå ñ÷åòíîãî îáúåäèíåíèÿíåïåðåñåêàþùèõñÿ áðóñüåâ.Òåîðåìà 11.Äîêàçàòåëüñòâî.ÏðåäñòàâèìRnâ âèäå îáúåäèíåíèÿ íåïåðåñåêàþùèõñÿ ñäâèãîâóìåíüøàþùèõñÿ ÿ÷ååê:Rn = t~l∈Zn I~l = t~l∈ZnnY![lk , lk + 1) ,k=1nR = t~l∈Zn!n Ylk lk + 1,= t~l∈Zn P~l,m .2m 2mk=1Îáîçíà÷èìM0 = t~l:P~l,0⊂G P~l,0 ,Ms = t~l:P~l,sÏî ïîñòðîåíèþ î÷åâèäíî âêëþ÷åíèåt∞s=0 Ms ⊂ G,16s−1⊂G\∪k=0Mk P~l,s .ïðè÷åìt∞s=0 Msÿâëÿåòñÿ ñ÷åòíûì îáúåäèíåíèåì íåïåðåñåêàþùèõñÿ (âîçìîæíî âû-∈ G.
Òàê êàê G îòêðûòî, íàéäåòñÿ ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ε òàêîå, ÷òî êàæäîå ~x, |~x −~x0 | < ε ïðèíàäëåæèò G.√ −s0< ε. Òîãäà íàéäåòñÿ ~l0 òàêîå, ÷òî ~x0 ∈ P~l0 ,s0 .Âûáåðåì s0 ∈ N ∪ {0} òàê, ÷òîáû n2ðîæäåííûõ) áðóñüåâ. Äîêàæåì îáðàòíîå âêëþ÷åíèå. Ïóñòü ~x0Ýëåìåíòàðíûå ãåîìåòðè÷åñêèå ñîîáðàæåíèÿ (òåîðåìà Ïèôàãîðà) ïîêàçûâàþò, ÷òî~x ∈ P~l0 ,s0ε, ~x ∈ G.êàæäàÿ òî÷êàñèëó âûáîðàÑëåäñòâèå 1.óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó|~x − ~x0 | < ε,à, ñëåäîâàòåëüíî, âÂñå îòêðûòûå è çàìêíóòûå ìíîæåñòâà â Rn èçìåðèìû ïî Ëåáåãó.Äëÿ ëþáîãî îòêðûòîãî îãðàíè÷åííîãî ìíîæåñòâà G â Rn µJ∗ (G) =µ(G). Äëÿ ëþáîãî çàìêíóòîãî îãðàíè÷åííîãî ìíîæåñòâà F â Rn µ∗J (F ) = µ(F ).Ñëåäñòâèå 2.Äîêàçàòåëüñòâî îñòàâëÿåì â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ.(Ñòðóêòóðà èçìåðèìûõ ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâ â Rn ).Ïóñòü A - èçìåðèìîå ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâî êîíå÷íîé ìåðû.
Òîãäà îíî ïðåäñòàâèìî â âèäå!∞ [∞\A=Ai,j \ A0 ,Òåîðåìà 12.i=1 j=1ãäå Ai,j , i = 1, 2, . . . ; j = 1, 2, . . . , - ýëåìåíòàðíûå îòêðûòûå ìíîæåñòâà, ïðè÷åìSAi,1 ⊂ Ai,2 ⊂ . . . , i = 1, 2, . . . ; à Bi = ∞j=1 Ai,j , i = 1, 2, . . . , òàêîâû, ÷òî B1 ⊃ B2 ⊃. . .
, µ(B1 ) < ∞, µ(A0 ) = 0.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïî îïðåäåëåíèþ âíåøíåé ìåðû Ëåáåãà (îáúåäèíÿÿ ñîîòâåòñòâóþ-ùèå ýëåìåíòàðíûå ìíîæåñòâà äëÿ âñåõ ñäâèãîâ ÿ÷ååê) äëÿ ëþáîãîìíîæåñòâîòàêîå, ÷òîi∈NíàéäåòñÿCi , ïðåäñòàâèìîå â âèäå ñ÷åòíîãî îáúåäèíåíèÿ ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâ,Ci ⊃ A è µ(Ci \ A) < 1/i. Ñ÷åòíîå îáúåäèíåíèå ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâÿâëÿåòñÿ è ñ÷åòíûì îáúåäèíåíèåì áðóñüåâ, ïðè÷åì, áåðÿ ïðè íåîáõîäèìîñòè ïîäõîäÿùèåε-ðàñøèðåíèÿCi = ∪∞j=1 Di,j , ãäå âñå Di,j ïîñòðîåíèþ Bi = ∪∞j=1 Ei,j , ãäåýòèõ áðóñüåâ, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òîBi = ∩ir=1 Cr .
Ïîjâñå Ei,j - îòêðûòûå áðóñüÿ. Íî òîãäà Ai,j = ∪l=1 Ei,l - ýëåìåíòàðíûå îòêðûòûå ìíîæåñòâà, ïðè÷åì µ(B1 ) = µ(C1 ) < µ(A) + 1 < ∞ è äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ìíîæåñòâAi,j , i = 1, 2, . . . ; j = 1, 2, . . . , è Bi , i = 1, 2, . . . âûïîëíåíû âñå òðåáóåìûå âêëþ÷åíèÿ.îòêðûòûå áðóñüÿ. Ïîëîæèì òåïåðü17Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà îñòàëîñü ïðîâåðèòü, ÷òî ìíîæåñòâîA0 = ∩∞i=1 Bi \ Aèìååò íóëåâóþ ìåðó Ëåáåãà:µ∞\!Bi \ Ai=1= lim (µ(Bi ) − µ(A)) ≤ limi→∞ (µ(Ci ) − µ(A)) = limi→∞ µ(Ci \ A) = 0.i→∞Êàæäîå èçìåðèìîå ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâî A ïðåäñòàâèìî â ëþáîìèç ñëåäóþùèõ âèäîâ:∞∞\[A=Gi \ P1 , A =F j ∪ P2 ,Ñëåäñòâèå 3.i=1j=1G1 ⊃ G2 ⊃ .
. . - îòêðûòûå, F1 ⊂ F2 ⊂ . . . - çàìêíóòûå, µ(P1 ) = µ(P2 ) = 0.Äîêàçàòåëüñòâî.Äëÿ ìíîæåñòâ êîíå÷íîé ìåðû ïåðâàÿ ÷àñòü óæå äîêàçàíà.  îá-ùåì ñëó÷àå âîñïîëüçóåìñÿ óæå äîêàçàííîé ÷àñòüþ äëÿ ïåðåñå÷åíèéA ∩ Im~ ∈ Zn ,~ ,mè îáúåäèíèì ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû. Äëÿ äàêàçàòåëüñòâà âòîðîé ÷àñòè òåïåðü äîñòàòî÷íî ïåðåéòè ê äîïîëíåíèÿì äî âñåãî ïðîñòðàíñòâàRn .Îòìåòèì, ÷òî äâå ïîñëåäíèå òåîðåìû ïîçâîëÿþò ñòðîèòü ìåðó Ëåáåãà äðóãèì ñïîñîáîì.
Òî÷íåå, ïîëüçóÿñü òåîðåìîé î ñòðóêòóðå îòêðûòûõ ìíîæåñòâ, ìîæíî îïðåäåëèòü ìåðó Ëåáåãà ëþáîãî îòêðûòîãî ìíîæåñòâà êàê (âîçìîæíî, áåñêîíå÷íóþ) ñóììóîáúåìîâ ñîñòàâëÿþùèõ åãî ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâ. Äàëåå ÷åðåç äîïîëíåíèå äî ïîäõîäÿùåãî êóáà îïðåäåëÿåòñÿ ìåðà ëþáîãî êîìïàêòíîãî ìíîæåñòâà, ïîñëå ÷åãî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü è êàê îïðåäåëåíèå âíåøíåé è âíóòðåííåéìåð Ëåáåãà.Çàìå÷àíèå 1.Äëÿ ëþáîãî îãðàíè÷åííîãî ìíîæåñòâà A ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâàµ∗ (A) = inf µ(G),µ∗ (A) = sup µ(F ),G⊃AF ⊂Aãäå èíôèìóì è ñóïðåìóì áåðóòñÿ ïî âñåì îòêðûòûì G ⊃ A è çàìêíóòûì F ⊂ Aìíîæåñòâàì ñîîòâåòñòâåííî.(Êðèòåðèé èçìåðèìîñòè ïî Æîðäàíó).Îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî A èçìåðèìî ïî Æîðäàíó òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàìåðà Æîðäàíà åãî ãðàíèöû ðàâíà íóëþ: µJ (∂A) = 0.Òåîðåìà 13.Äîêàçàòåëüñòâî.Íåîáõîäèìîñòü.18 ñèëó îòìå÷åííîé ðàíåå âîçìîæíîñòè äðóãîãî îïðåäåëåíèÿ ìåðû Æîðäàíà äëÿëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãîε íàéäóòñÿ ýëåìåíòàðíûå ìíîæåñòâà E1 , E2òàêèå, ÷òîE1 ⊂A ⊂ E2 è |E2 \ E1 | < ε.
Ïðè ýòîì, ïîñêîëüêó îáúåì âíóòðåííîñòè int E è çàìûêàíèÿĒ ýëåìåíòàðíîãî ìíîæåñòâà E ñîâïàäàþò ñ îáúåìîì ñàìîãî ýòîãî ìíîæåñòâà, ìûìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî E1 îòêðûòî, à E2 - çàìêíóòî. Íî òîãäà ∂A = Ā\ int A ⊂ E2 \ E1 ,îòêóäà µ∗J (∂A) < ε. Îòñþäà â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè ε > 0 ïîëó÷àåì µ∗J (∂A) = 0, ÷òîè òðåáîâàëîñü.Äîñòàòî÷íîñòü. ñèëó ñëåäñòâèÿ 2 ê òåîðåìå î ñòðóêòóðå îòêðûòûõ ìíîæåñòâµ(Ā) = µ(ìíîæåñòâî,µ∗J (A) ≤ µ∗J (Ā) =intA) + µ(∂A) = µ( int A). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî âíóòðåííîñòü∗Jîòñþäà èìååì µJ∗ (A) ≥ µ∗ ( int A) = µ( int A) ≥ µJ (A).- îòêðûòîåÏðèìåð. Ðàññìîòðèì îòðåçîêI0 = [0, 1]. Ðàçîáúåì åãî íà òðè ðàâíûõ îòðåçêàI1,1 = [0, 1/3], [1/3, 2/3], I1,2 = [2/3, 1] è óäàëèì âíóòðåííîñòü ñðåäíåãî îòðåçêà J1 =(1/3, 2/3).
Ïîëó÷èì ìíîæåñòâî I1 = I1,1 ∪ I1,2 , ñîñòîÿùåå èç äâóõ îòðåçêîâ. Ïîâòîðèìýòîò ïðîöåññ íà êàæäîì èç ýòèõ îòðåçêîâ. Ïîëó÷èì ìíîæåñòâî I2 = I2,1 ∪ I2,2 ∪ I2,3 ∪I2,4 , ñîñòîÿùåå èç ÷åòûðåõ îòðåçêîâ, ïîëó÷åííûõ èç I1 óäàëåíèåì äâóõ èíòåðâàëîâJ2 = J2,1 ∪ J2,2 , I2,1 ∪ I2,2 = I1,1 \ J2,1 , I2,3 ∪ I2,4 = I1,2 \ J2,2 . Ïðîäîëæèì ýòîò ïðîöåññáåñêîíå÷íî ìíîãî ðàç. Êàíòîðîâûì ìíîæåñòâîì íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî P = ∩∞i=0 Ii .Çàìåòèì, ÷òî |J1 | = 1/3, |J2 | = 2/9, |J3 | = 4/27, . . .
, è, çíà÷èò,|Ii | = |I0 | −iX|Jk | = 1 − (1/2 + 2/9 + . . . + 2i−1 /3i−1 ) = 1 −k=11 1 − (2/3)i.3 1 − (2/3)µ(P ) = limi→∞ |Ii | = 0. Êàíòîðîâî ìíîæåñòâî ñîòî÷åê îòðåçêà [0, 1], êîòîðûå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåÏî íåïðåðûâíîñòè ìåðû Ëåáåãàñòîèò èç òåõ è òîëüêî òåõáåñêîíå÷íîé äðîáè â òðîè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ áåç èñïîëüçîâàíèÿ åäèíèö. Çíà÷èò, îíî ðàâíîìîùíî ìíîæåñòâó âñåâîçìîæíûõ áåñêîíå÷íûõ äâîè÷íûõ äðîáåé íàîòðåçêå[0, 1](äîñòàòî÷íî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå êàæäîé òðîè÷íîé äðîáè äâîè÷-íóþ, ïîëó÷àþùóþñÿ çàìåíîé ¾òðîè÷íîé 2¿ íà ¾äâîè÷íóþ 1¿), à ñëåäîâàòåëüíî èìååòìîùíîñòü êîíòèíóóìà.Êàíòîðîâî ìíîæåñòâî êîìïàêòíî, ñëåäîâàòåëüíî,µ∗J (P ) = µ(P ) = 0,ò.å. îíî èç-ìåðèìî è ïî Æîðäàíó.
Íåòðóäíî ìîäèôèöèðîâàòü åãî ïîñòðîåíèå, ÷òîáû ïîëó÷èòüíåèçìåðèìîå ïî Æîðäàíó êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ðàçáèâàòüíà êàæäîì øàãå îòðåçêè íà ïÿòü ðàâíûõ ÷àñòåé, è óäàëÿòü âíóòðåííîñòü ñðåäíåé19|J˜1 | = 1/5, |J˜2 | = 2/25, |J˜3 | = 4/125, . . . , è äëÿ ïîëó÷àþùåãîñÿ â ðåçóëüòàòå óäàëåíèÿ âñåõ J˜k ìíîæåñòâà P̃ èìååì µ∗J (P̃ ) = µ(P̃ ) = 2/3.  òî æå âðåìÿìíîæåñòâî P̃ íèãäå íå ïëîòíî (â ÷àñòíîñòè, íå ñîäåðæèò íè îäíîãî íåâûðîæäåí-÷àñòè. Òîãäàíîãî èíòåðâàëà, à çíà÷èò íå ñîäåðæèò íåïóñòûõ ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâ), ïîýòîìóµJ∗ (P̃ ) = 0.4. Îòîáðàæåíèÿ èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ.Îòîáðàæåíèå f~ : D → Rm , D ⊂ Rn íàçûâàåòñÿ (íåïðåðûâíî)äèôôåðåíöèðóåìûì âî âíóòðåííåé òî÷êå ~x0 ∈ D, åñëè f~ = (f1 , . .
. , fm ) è ôóíêöèèfi , i = 1, . . . , m, (íåïðåðûâíî) äèôôåðåíöèðóåìû â òî÷êå ~x0 . Ïðè ýòîì ïðîèçâîäíîéîòîáðàæåíèÿ f~ â òî÷êå ~x0 íàçûâàåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìàòðèöà ßêîáè !m,n∂fi.f~0 (~x0 ) =∂xj ~x0Îïðåäåëåíèå 8.i=1,j=1Îòîáðàæåíèå f~ : D → Rn , D ⊂ Rn , ÿâëÿþùååñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íûì, íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûì è íåîñîáûì (ò.å. äëÿ âñåõ ~x ∈ D detf~0 (~x) 6= 0), íàçûâàåòñÿ äèôôåîìîðôèçìîì.Ïðèìåðû.1.  ñëó÷àåm=1ïðîèçâîäíàÿ îòîáðàæåíèÿäèåíòîì ôóíêöèè2.  ñëó÷àåôóíêöèèf : f~0 (~x0 ) =gradf~ = fñîâïàäàåò ñ âåêòîðîì - ãðà-f (~x0 ).n = 1 ïðîèçâîäíàÿ îòîáðàæåíèÿ f~ ñîâïàäàåò ñ ïðîèçâîäíîé0f~, çàïèñàííîé â âèäå ñòîëáöà: f~0 (x0 ) = (f10 (x0 ), . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
