Меры Джордана и Лебега - Лукашов (1187970), страница 4
Текст из файла (страница 4)
. , fm(x0 ))T .âåêòîð-3. Òåîðåìà î äèôôåðåíöèðîâàíèè ñëîæíîé ôóíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ ìîæåòáûòü òåïåðü ïåðåïèñàíà òàê:Åñëè ôóíêöèÿf äèôôåðåíöèðóåìà â ~y0 , à îòîáðàæåíèå ~y = ~g (~x) äèôôåðåíöèðóåìî â ~x0 , ~y0 = ~g (~x0 ), òî ôóíêöèÿ h = f ◦ ~g äèôôåðåíöèðóåìà â ~x0 , ïðè÷åì0h (~x0 ) = grad f (~y0 ) · ~g 0 (~x0 ).Îáîçíà÷èì|f~0 (~x0 )| = maxi=1,...,m |gradfi (~x0 )|.(Òåîðåìà Ëàãðàíæà äëÿ îòîáðàæåíèé). Åñëè îòîáðàæåíèå f~ : D → Rmíåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìî íà îáëàñòè Ω ⊃ D̄, è D ⊂ Rn - âûïóêëî, òî äëÿ ëþáûõ~x ∈ D, ~y ∈ D ñïðàâåäëèâà îöåíêà√|f~(~x) − f~(~y )| ≤ max |f~0 (t)| m|~x − ~y |.Ëåììà 6.~t∈D̄20Äîêàçàòåëüñòâî.
Èç íåïðåðûâíîé äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèé fi , i = 1, . . . , m,â îáëàñòè Ω ïî ôîðìóëå Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìå Ëàãðàíæà ñëåäóåòðàâåíñòâî fi (~x) − fi (~y ) = dfi (ξ~i ), ãäå ξ~i ëåæèò íà îòðåçêå, ñîåäèíÿþùåì ~x è ~y , è dxjâ äèôôåðåíöèàëå dfi çàìåíÿþòñÿ íà xj − yj , j = 1, . . . , n. Îòñþäà|fi (~x) − fi (~y )| ≤ |(gradfi (ξi ), ~x − ~y )| ≤ |gradfi (ξi )| · |~x − ~y | ≤ max |gradfi (~t)| · |~x − ~y |.~t∈D̄Ïîñêîëüêó ýòî íåðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî ïðè âñåõi = 1, .
. . , m, èìååì îöåíêóvu muX√|f~(~x) − f~(~y )| = t (fi (~x) − fi (~y ))2 ≤ max |f~0 (t)| m|~x − ~y |.~t∈D̄i=1(Îáðàç êóáà ìåíüøåé ðàçìåðíîñòè). Ïóñòü îòîáðàæåíèå f~ : Ω → Rmíåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìî íà îáëàñòè Ω ⊃ KI , ãäå KI ⊂ Rn , n < m, - åäèíè÷íûéêóá. Òîãäà~µJ f (KI ) = 0.Òåîðåìà 14.Äîêàçàòåëüñòâî. Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå N ∈ N. Ðàçîáüåì êóá KIn{Kδ,l }Nl=1 ñî ñòîðîíîþ δ = 1/N. Ïî ïðåäûäóùåé ëåììå√√max |f~(~x) − f~(~y )| ≤ M m max |~x − ~y | ≤ M mnδ,~x,~y ∈Kδ,líàNnêóáîâ~x,~y ∈Kδ,lM = max~t∈KI |f~0 (t)|. Çíà÷èò, êàæäûé èç îáðàçîâ f~(Kδ,l ), l = 1, . . . , N n ,√áûòü ïîêðûò m-ìåðíûì êóáîì ñî ñòîðîíîé 2M mnδ .
Ñëåäîâàòåëüíî,m√√ mµ∗J (f~(KI )) ≤ N n 2M mnδ = 2M mn N n−m .ãäåÓñòðåìëÿÿ â ïîëó÷åííîì íåðàâåíñòâåNê∞,ìîæåòïîëó÷èì òðåáóåìîå.Ïåðåíîñîì ìíîæåñòâà A ⊂ Rn âäîëü âåêòîðà ~y ∈ Rn íàçûâàåòñÿìíîæåñòâî T~y (A) = {~x : ~x = ~x0 + ~y , ~x0 ∈ A}.Îïðåäåëåíèå 9.Ñæàòèåì (ðàñòÿæåíèåì) ìíîæåñòâà A ⊂ Rn ñ êîýôôèöèåíòîì α ∈ (0, 1) (α ∈ (1, +∞)) îòíîñèòåëüíî ~y ∈ Rn íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîα~y (A) = {~x : ~x = ~y + α(~x0 − ~y ), ~x0 ∈ A}.Îïðåäåëåíèå 10.Èç òîãî, ÷òî äëÿ ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâαn |M |,ñëåäóåò,÷òî(Æîðäàíà):µ(J) (T~y (A))àíàëîãè÷íûåñâîéñòâàM ⊂ Rnñïðàâåäëèâûn= µ(J) (A), µ(J) (α~y (A)) = α µ(J) (A).21|T~y (M )| = |M |, |α~y (M )| =èäëÿìåðËåáåãàÎáîáùåíèåì îïåðàöèè ñæàòèÿ (ðàñòÿæåíèÿ) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå ñäèàãîíàëüíîé ìàòðèöåédet~y = U~x,ãäåU=diag(α1 , .
. . , αn ), äëÿ êîòîðîãîµ(J) (U A) = |U |µ(J) (A).Îòìåòèì, ÷òî ìåðà Ëåáåãà (Æîðäàíà) òàêæå èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ïîâîðî-òîâ (ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèé âèäà~y = U~x,ãäå detU= 1).Ýòî ìîæíî äîêàçàòüíåïîñðåäñòâåííî, íî ïîçæå áóäåò ïîëó÷åíî êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé ôîðìóëû çàìåíûïåðåìåííîé â êðàòíîì èíòåãðàëå.(Äèôôåîìîðôíûé îáðàç èçìåðèìîãî ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâà). Åñëè f~ äèôôåîìîðôèçì íà ìíîæåñòâå Ω, ñîäåðæàùåì çàìûêàíèå îãðàíè÷åííîãî èçìåðèìîãî ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâà D, Ω ⊃ D̄, òî îáðàç f~(D) ìíîæåñòâà D èçìåðèì ïîËåáåãó.Òåîðåìà 15.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïðåæäå âñåãî äîêàæåì, ÷òî îáðàç êàæäîãî áðóñàïî Ëåáåãó.
 ñàìîì äåëå,f~(P ) = f~(intP ) ∪ f~(P ∩ ∂P ).Ïîñêîëüêóf~(P ) èçìåðèìP ∩ ∂P ñîñòî-èò èç êîíå÷íîãî ÷èñëà áðóñüåâ ìåíüøåé ðàçìåðíîñòè, à êàæäûé áðóñ ìîæåò áûòüïîëó÷åí èç åäèíè÷íîãî êóáà ñîîòâåòñòâóþùåé ðàçìåðíîñòè ñ ïîìîùüþ ïåðåíîñîâ èµ(f~(P ∩ ∂P )) = 0 ïî ïðåäûäóùåé òåîðåìå. Èç òåîðåìû îá îáðàòíîì îòîáðàæåíèè ñëåäóåò, ÷òî f~−1 íåïðåðûâíî,à, çíà÷èò, f~( int P ) - îòêðûòîå è, ñëåäîâàòåëüíî, èçìåðèìîå ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâî.Äàëåå îòìåòèì, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ïîäìíîæåñòâà E ⊂ D òåì æå ìåòîäîì,ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ñ äèàãîíàëüíîé ìàòðèöåé, òî÷òî è ïðåäûäóùàÿ òåîðåìà, äîêàçûâàåòñÿ íåðàâåíñòâîµ∗ (f~(E)) ≤ Lµ∗ (E),ãäå(17)n√0~L = 2 n max |f (~x)| .~x∈D̄Òàê êàê êàæäîå îòêðûòîå ìíîæåñòâî ïðåäñòàâèìî â âèäå îáúåäèíåíèÿ ñ÷åòíîãî÷èñëà íåïåðåñåêàþùèõñÿ áðóñüåâ, òî ïî ñâîéñòâóP∞σ -àääèòèâíîñòè ìåðû Ëåáåãà f~( int~P ) = t∞k=1 Qk , µ(f ( int P )) =k=1 |Qk |.
 ÷àñòíîñòè, ïîñëåäíèé ðÿä ñõîäèòñÿ, çíà÷èò,P∞äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ K ∈ N òàêîå, ÷òîk=K+1 |Qk | < ε. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ~ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ ýëåìåíòàðíîå ìíîæåñòâî Mε = tKk=1 Qk ⊂ f (P ) òàêîå, ÷òîµ(f~(P ) − |Mε | < ε.Èç èçìåðèìîñòè ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâà D è êðèòåðèÿ èçìåðèìîñòè ñëåäóåò, ÷òîäëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ ýëåìåíòàðíîå ìíîæåñòâî Nε òàêîå, ÷òî µ∗ (D 4 Nε ) < ε.22Èç (17) ñëåäóåò îöåíêàµ∗ f~(D) 4 f~(Nε ) = µ∗ (f~(D 4 Nε ) ≤ Lµ∗ (D 4 Nε ) < Lε.ÌíîæåñòâîNε(18)ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì êîíå÷íîãî ÷èñëà áðóñüåâ, à òîãäà ïî ðàíååäîêàçàííîìó äëÿ ëþáîãîδ > 0 íàéäåòñÿ ýëåìåíòàðíîå ìíîæåñòâî Mδ ⊂ f~(Nε ) òàêîå,÷òîµ(f~(Nε )) − |Mδ | < δ.(19)Âêëþ÷åíèÿMδ \ f~(D) ⊂ f~(Nε ) \ f~(D),f~(D) \ Mδ ⊂ f~(D) \ f~(Nε ) ∪ f~(D) ∩ (f~(Nε ) \ Mδ )ïîçâîëÿþò óòâåðæäàòü, ÷òîMδ 4 f~(D) ⊂ (f~(Nε ) 4 f~(D)) ∪ (f~(Nε ) \ Mδ ).Îòñþäà ïîñâîéñòâàìâíåøíåéìåðû ñ èñïîëüçîâàíèåì îöåíîê (18),(19) ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâîµ∗ f~(D) 4 Mδ< Lε + δ,÷òî â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòèδ ,εè êðèòåðèÿ èçìåðèìîñòèçàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî.5.
Èçìåðèìûå ôóíêöèè.Ëåáåãîâûì ìíîæåñòâîì ôóíêöèè f : E → R, çàäàííîé íà ìíîæåñòâå E ⊂ Rn , íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âèäà {x ∈ E : f (x) < a} = Ea (f ).Îïðåäåëåíèå 11.Ôóíêöèÿ f : E → R, çàäàííàÿ íà èçìåðèìîì ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâå E ⊂ Rn , íàçûâàåòñÿ èçìåðèìîé, åñëè äëÿ êàæäîãî a ∈ R ñîîòâåòñòâóþùååëåáåãîâî ìíîæåñòâî Ea (f ) èçìåðèìî ïî Ëåáåãó.Îïðåäåëåíèå 12.(Âîçìîæíîñòü äðóãîãî îïðåäåëåíèÿ èçìåðèìîé ôóíêöèè).
Ñîâîêóïíîñòü èçìåðèìûõ íà çàäàííîì ìíîæåñòâå ôóíêöèé íå èçìåíèòñÿ, åñëè â îïðåäåëåíèè ëåáåãîâà ìíîæåñòâà çàìåíèòü çíàê íåðàâåíñòâà < íà ëþáîé èç çíàêîâ>, ≤, ≥ .Òåîðåìà 16.Äîêàçàòåëüñòâî.{x ∈ E : f (x) ≥ a} = E \ Ea (f ), è èç èçìåðèìîñòè ïîËåáåãó îäíîãî èç ìíîæåñòâ Ea (f ) è E \ Ea (f ) ñëåäóåò èçìåðèìîñòü ïî Ëåáåãó è âòîðîãî, è àíàëîãè÷íîå ðàññóæäåíèå ñâÿçûâàåò çíàêè >, ≤, òî äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü,÷òî èçìåðèìîñòü ôóíêöèè f : E → R ðàâíîñèëüíà èçìåðèìîñòè ïî Ëåáåãó âñåç ìíîæåñòâ {x ∈ E : f (x) ≤ a}. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðåäñòàâëåíèÿìè∞Ea (f ) = ∪∞j=1 {x ∈ E : f (x) ≤ a − 1/j}, {x ∈ E : f (x) ≤ a} = ∩j=1 Ea+1/j (f ).Òàê êàê23Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî èçìåðèìîñòü õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè ìíîæåñòâànχE (x) = 1, x ∈ E χE (x) = 0, x ∈/ E,ñòâà E .R,ðàâíîñèëüíà èçìåðèìîñòè ïî Ëåáåãó ìíîæå-Äàëåå, êàæäàÿ íåïðåðûâíàÿ íà èçìåðèìîì ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâåöèÿ èçìåðèìà, òàê êàê åå ëåáåãîâû ìíîæåñòâà îòêðûòû âîòêðûòûõ èíòåðâàëîâ(−∞, a)E⊂E,E ⊂ Rnôóíê-áóäó÷è ïðîîáðàçàìèïðè íåïðåðûâíîì îòîáðàæåíèè.(Àëãåáðàè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà ñîâîêóïíîñòè èçìåðèìûõ ôóíêöèé).
1.Åñëè f íåïðåðûâíà íà îòêðûòîì ìíîæåñòâå G, ñîäåðæàùåì ìíîæåñòâî çíà÷åíèéèçìåðèìîé ôóíêöèè g : E → R, òî ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ f ◦ g èçìåðèìà.2.Åñëè f, g èçìåðèìû íà E , òî èçìåðèìû ôóíêöèè f ± g, f · g, f /g (ïîñëåäíÿÿ,åñòåñòâåííî, ëèøü íà ñâîåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ).Òåîðåìà 17.Äîêàçàòåëüñòâî.Òàê êàêfíåïðåðûâíà íà îòêðûòîì ìíîæåñòâåG, åå ëåáåãîâûìíîæåñòâà îòêðûòû. Ïî òåîðåìå î ñòðóêòóðå îòêðûòûõ ìíîæåñòâ îíè ïðåäñòàâèìû â âèäå ñ÷åòíîãî îáúåäèíåíèÿ íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïðîìåæóòêîâ. À òîãäà ëåáåãîâûìíîæåñòâà ñëîæíîé ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ ñ÷åòíûì îáúåäèíåíèåì ïðîîáðàçîâ ïðîìåæóòêîâ ïðè îòîáðàæåíèè èçìåðèìîé ôóíêöèåé, à çíà÷èò, èçìåðèìû ïî Ëåáåãó.Èçìåðèìîñòü ñóììû äâóõ èçìåðèìûõ ôóíêöèé ñëåäóåò èç ðàâåíñòâEa (f + g) = ∪r∈Q {x ∈ E : f (x) < r < a − g(x)} = ∪r∈Q (Er (f ) ∩ Ea−r (g)) .Äëÿ îñòàëüíûõ àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé ìîæíî èñïîëüçîâàòü äîêàçàííóþ−t; t2 ; t/4; 1/t, è ðàâåíñòâà f −g = f +(−g); f ·g = ((f + g)2 − (f − g)2 )/4; f /g = f · (1/g).ïåðâóþ ÷àñòü, íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèé(Ïðåäåëüíûé ïåðåõîä è èçìåðèìîñòü ôóíêöèé).
Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èçìåðèìûõ íà ìíîæåñòâå E ⊂ Rn ôóíêöèé fm ñõîäèòñÿ ïîòî÷å÷íî íà E ,òî ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ èçìåðèìà.Òåîðåìà 18.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïðåæäå âñåãî äîêàæåì, ÷òîsupm fm èçìåðèìà. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî {x ∈ E : supm fm (x) ≤ a} = ∩∞m=1 {x ∈ E : fm (x) ≤ a}. Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ èçìåðèìîñòü inf m fm .
Äàëåå, limm→∞ fm (x) = limm→∞ supk≥m fk (x) =inf m supk≥m fk (x), îòêóäà ñëåäóåò èçìåðèìîñòü âåðõíåãî ïðåäåëà, ñîâïàäàþùåãî ñ èññëåäóåìîé ïðåäåëüíîé ôóíêöèåé.24Çàìåòèì, ÷òî âñå äîêàçàííûå ðàíåå â ýòîì ïàðàãðàôå ðåçóëüòàòû îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâûìè è â òîì ñëó÷àå, åñëè äîïóñòèòü, ÷òî ðàññìàòðèâàåìûå ôóíêöèè ìîãóòïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ+∞ è/èëè −∞ íà èçìåðèìûõ ïîäìíîæåñòâàõ E . Àðèôìåòè÷å-ñêèå îïåðàöèè ñ òàêèìè ôóíêöèÿìè îïðåäåëÿþòñÿ åñòåñòâåííûì îáðàçîì.Òàê êàê ìíîæåñòâà ìåðû íóëü (ò.å.
èìåþùèå ëåáåãîâó ìåðó íóëü) íå îêàçûâàþòñóùåñòâåííîãî âëèÿíèÿ íà ðåçóëüòàòû òåîðèè ìåðû è èíòåãðàëà Ëåáåãà, òî ïîíÿòíîñëåäóþùåå ñîãëàøåíèå: ãîâîðÿò, ÷òî íåêîòîðîå ñâîéñòâî âûïîëíåíî ïî÷òè âñþäóíàE,åñëè îíî ñïðàâåäëèâî âî âñåõ òî÷êàõE,êðîìå íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà ìåðûíóëü. Òàê, òåîðåìà 18 îáû÷íî ôîðìóëèðóåòñÿ äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ôóíêöèé,ñõîäÿùèõñÿ ïî÷òè âñþäó.Êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé èëè ñòóïåí÷àòîé íà èçìåðèìîì ïî Ëåáåãóìíîæåñòâå E ⊂ Rn ôóíêöèåé áóäåì íàçûâàòü èçìåðèìóþ ôóíêöèþ f : E → R,ìíîæåñòâî çíà÷åíèé êîòîðîé êîíå÷íî èëè ñ÷åòíî.Îïðåäåëåíèå 13.(Ïðåäñòàâëåíèå èçìåðèìûõ ôóíêöèé ïðåäåëàìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñòóïåí÷àòûõ).Êàæäàÿ èçìåðèìàÿ íà èçìåðèìîì ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâå E ⊂ Rn ôóíêöèÿf : E → [0, +∞) ïðåäñòàâèìà ïðåäåëîì ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåéñÿ íà E ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñòóïåí÷àòûõ ôóíêöèé {gm (x)}∞m=1 , ÿâëÿþùåéñÿ íåóáûâàþùåé (íåâîçðàñòàþùåé) ïðè êàæäîì x ∈ E.Òåîðåìà19.Äîêàçàòåëüñòâî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
