Лекция №13-14. Конспекты к слайдам (1186397), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Как для когерентных сигналов со случайными параметрами, так и для некогерентных сигналов реализация принимаемых колебаний зависит в общем случае от вектора неинформативных случайных параметров сигнала β, который объединяет совокупность его начальных фаз, амплитудных множителей, а иногда и некоторых других неинформативных параметров, не фиксируемых при обнаружении.

Слайд 29

Плотности вероятности р_сп(у) дискретных реализаций принимаемых колебаний у в присутствии полезного сигнала можно выразить через условные плотности вероятности р_сп(у|β) при фиксированных значениях вектора β.

Воспользуемся формулой полной вероятности.

Она связывает безусловную вероятность Р(А) события А с его условными вероятностями Р(А|В_i), соответствующими условиям реализации некоторых других событий B_i (i=1, 2 ...) с вероятностями Р(В_i):

.

Реализацию непрерывно распределенного многомерного вектора сигнала и помех в пределах от у до у+dy примем за событие А с вероятностью Р(А)≈р(у)dy=p_сп(y)dy.

Пусть события В_i состоят в реализациях непрерывно распределенных значений вектора β на различающихся интервалах d_β. Тогда запишем вероятности

.

Слайд 30

Подставляя приведенные выражения в формулу полной вероятности и сокращая обе части равенства на dy, находим аналог этой формулы для непрерывно распределенных событий β:

. (49)

Реализация у возможна не только в присутствии полезного сигнала, как предполагалось при выводе (49), но и в его отсутствие.

Она характеризуется в этом случае плотностью вероятности р_п(у). Поделив на указанную плотность вероятности обе части равенства (49), найдем отношение правдоподобия

. (50)

Отношение правдоподобия (50) оказывается результатом усреднения частных отношений правдоподобия l(у|β)=р_сп(у|β)/р_п(у)=l(β), рассчитанных для фиксированных реализаций β, по всевозможным этим реализациям.

Оно является, иначе, математическим ожиданием частного отношения правдоподобия l(у|β)=l(β).

Слайд 31

Частное отношение правдоподобия соответствует сигналу х(β) с полностью известными параметрами. Применительно к обнаружению на фоне гауссовских помех такое отношение правдоподобия было найдено ранее. С учетом зависимостей l, ξ, q²от β, имеем .

Выражение (50) принимает вид

, (51)

где

, (52)

. (53)

Комплексный вектор весовых функций R(t,β) находится из уравнения

. (54)

Рассмотренный вариант учета вектора неинформативных параметров β имеет важное практическое значение, хотя и не является единственным.

Слайд 32

2.2 Отношение правдоподобия и алгоритм оптимального обнаружения сигнала со случайной начальной фазой.

Вектор β вырождается в данном случае в единственный скалярный параметр — начальную фазу β, а вектор-столбец комплексных амплитуд сигнала принимает вид

. (55)

Распределение случайной начальной фазы β задаем равномерным

. (56)

Решение уравнения (54) с правой частью (55) принимает вид

. (57)

Входящий в (57) комплексный весовой вектор R(t) определяется из несодержащего β интегрально-матричного уравнения

. (58)

Слайд 33

Весовой интеграл (52) после подстановки (57) принимает вид

, (59)

куда входит модуль комплексного весового интеграла

. (60)

Параметр обнаружения (53) от β не зависит:

, (61)

где

. (62)

Отношение правдоподобия (51) после подстановок принимает вид

. (63)

Интеграл (63) сводится к табличному

. (64)

Слайд 34

Функция I₀(u) — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка.

Модифицированной называют вещественную функцию I₀(u), получаемую из степенного ряда обычной функции Бесселя первого рода J₀(u) путем замены u на ju.

Степенной ряд функции J₀(u) не содержит, как известно, слагаемых с нечетными показателями степени.

Указанная замена при вещественных значениях независимой переменной u поэтому не выводит функцию J₀(ju) за пределы вещественной области.

График модифицированной функции Бесселя нулевого порядка n=0 представлен на рис. 6.1.

Выражения отношения правдоподобия и его логарифма для сигнала с равновероятной начальной фазой принимают вид:

, (65)

. (66)

Правило сравнения |Z| с порогом является удобным алгоритмом оптимального решения в силу монотонно-нарастающей зависимости ln l от |Z|.

Рисунок 8 – График модифицированной функции Бесселя нулевого порядка

Слайд 35

2.3 Отношение правдоподобия и алгоритм оптимального обнаружения сигналов со случайными амплитудой и начальной фазой.

Для произвольного сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой имеем β=(b,β), и

. (67)

где b — амплитудный множитель.

Пусть исходные значения Z и q² вычислены при b=1. Аналогичные значения при неравном единице, но фиксированном b определяются выражениями Z(b)=bZ, q²(b)=b²q². Частное отношение правдоподобия при фиксированном амплитудном множителе, но случайной начальной фазе β в силу (65) принимает вид

. (68)

Полученное выражение (68) следует усреднить согласно (50) по возможным значениям амплитудного множителя b для каждой принятой модели его распределения.

Распределения b в активной радиолокации связаны с распределением ЭПР цели .

Слайд 36

Математическое ожидание квадрата амплитудного множителя примем ниже равным единице.

Величина q² в выражении q²(b)=q²b² приобретает смысл параметра обнаружения, рассчитанного на среднее значение энергии сигнала.

Широкий класс реальных распределений амплитудного множителя b, в частности, для самолетов описывается моделью m-распределения Накагами:

. (69)

Здесь К_m=2m^m/Г(m) — нормирующий коэффициент; Г(m) — гамма-функция. Для целых m≥2 значение Г(m)=(m—1)!; Г(1)=1.

Соответствующие распределения σ_ц находятся по правилу трансформации законов распределения

. (70)

Таким образом,

, (71)

что соответствует гамма-распределению.

Слайд 37

При m=1 распределение Накагами переходит в релеевское , а гамма-распределение в экспоненциальное. Эта модель правильно описывает распределение амплитуд и мощностей сигналов, отраженных от целей с большим числом случайно расположенных, независимо отражающих и равноценных элементов (блестящих точек). Цель с доминирующим отражающим элементом лучше описывается вторым распределением Накагами и так называемым вторым распределением Сверлинга (рис. 9, 10). Подобная модель, приближаясь к более сложной и точной в указанном случае модели обобщенного закона Релея [46], удобна при проведении расчетов.

Слайд 38

Подставив (68) и (69) в (50), найдем выражение отношения правдоподобия для сигнала со случайными равновероятно распределенной начальной фазой и с амплитудным множителем b, удовлетворяющим распределению Накагами:

Рисунок 9 – Второе распределение Накагами

Рисунок 10 – Второе распределение Сверлинга

, (72)

где .

Слайд 39

Используя правила дифференцирования по параметру и сводя определенный интеграл к табличному, при целых т получим

.

Окончательно

. (73)

где ν=m+q²/2. Для m=1 и m=2, в частности, имеем

, (74)

. (75)

Функции ln l и l, определяемые (74), (75), являются монотонно нарастающими функциями аргументов |Z_н| и |Z|.

Их сравнение с порогом (порогами) сводится к сравнению со своими порогами нормированных |Z_н| или ненормированных |Z| модульных значений весовых интегралов.

Слайд 40

Указанный вывод относится не только к использованию распределений значений b типа Накагами, релеевского в частности.

Он справедлив для произвольной плотности вероятности р(b).

Последняя всегда выражается неотрицательной величиной.

Функция I₀(b|Z|) при любом b — монотонно нарастающая аргумента |Z|.

Интеграл (50) — также монотонно нарастающая функция этого аргумента.

Сравнение l с порогом (порогами) может быть заменено сравнением |Z| со своим порогом (порогами).

Последнее замечание существенно, поскольку наряду с распределением Накагами могут использоваться другие распределения b.

Показателем применимости распределений Накагами является отношение среднего значения эффективной поверхности реальной цели к ее медианному значению.

Медианным называют такое значение σ_ц, вероятности превышения и непревышения которого составляют 1/2.

Для закона m=1 (релеевского) значение k_ц=1,44; для закона m=2 значение k_ц=1,18.

Слайд 41

Встречаются между тем цели, для которых k_ц>10.

К ним относятся корабли и другие цели с клиновидными элементами, отражающими при некоторых углах падения почти зеркально.

Характеристики

Список файлов лекций