Лекция №13-14. Конспекты к слайдам (1186397), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Однако задачей фильтрации является не точное воспроизведение формы сигнала, а наилучшее выделение его на фоне помехи.

Фазо-частотная характеристика оптимального фильтра

. (20)

складывается из аргумента спектра ожидаемого сигнала, взятого с обратным знаком, и аргумента задержки — .

Слайд 15

Чтобы убедиться в целесообразности такого выбора фазо-частотной характеристики, найдем сигнальную составляющую напряжения на выходе фильтра, зная спектральные плотности сигнала u(t—а) на входе и на выходе

.

По принципу суперпозиции напряжение полезного сигнала на выходе фильтра в произвольный момент времени с учетом временного множителя будет

.

Подставляя выражение (4) для , приходим к соотношению

, (21)

которое является спектральным аналогом предшествующего выражения (7) при y(s)=u(s—а).

Слайд 16

Используя формулу Эйлера и учитывая нечетность функции , окончательно находим

. (22)

Как видим, напряжение на выходе оптимального фильтра, являясь наложением гармонических составляющих разных частот, определяется амплитудно-частотным спектром сигнала. Оно не зависит от фазо-частотного спектра, так как последний компенсируется фазо-частотной характеристикой фильтра. Поэтому все гармонические составляющие одновременно достигают амплитудных значений в момент времени и эти значения налагаются друг на друга (рис. 5).

Слайд 17

В этот момент времени имеет место максимум напряжения выходного полезного сигнала

. (23)

В силу теоремы Парсеваля

. (24)

этот максимум определяется величиной энергии входного сигнала

. (25)

Рисунок 5 – Наложение максимумов гармонических составляющих полезного сигнала на выходе фильтра при оптимальной ФЧХ.

При отступлении от оптимальной ФЧХ, последняя не компенсирует фазовых сдвигов, максимумы гармонических составляющих (рис. 5) раздвигаются, а пик суммарного колебания полезного сигнала начнет рассыпаться, что ухудшает условия обнаружения сигнала на фоне шумов.

Слайд 18

Отношение максимального значения сигнала к эффективному (среднеквадратичному) значению помехи называется отношением сигнал/помеха по напряжению.

При спектральной плотности мощности на входе фильтра средний квадрат напряжения помехи на выходе будет иметь вид

или для белого шума с учетом (19)

.

Поскольку спектральная плотность вещественной функции времени , то , а ее интеграл имеет вид

,

Тогда среднеквадратическое напряжение помехи на выходе будет иметь вид

. (26)

Слайд 19

Отношение сигнал/помеха на выходе оптимального фильтра по напряжению

(27)

зависит только от энергии полезного сигнала и спектральной плотности помехи N₀ и не зависит от формы сигнала.

То же справедливо и для отношения сигнал/помеха по мощности

. (28)

Ни один из линейных фильтров не может дать отношение сигнал/помеха большее, чем оптимальный фильтр.

В противном случае, заменив им оптимальный фильтр, можно получить большую вероятность правильного обнаружения D при заданной вероятности ложной тревоги F.

Но именно оптимальный приемник дает наивысшую вероятность D при заданной вероятности F.

Значит, и оптимальный фильтр этого приемника при заданных условиях дает отношение сигнал/помеха, наивысшее по сравнению с другими линейными фильтрами.

Слайд 20

Ввиду важности ряда полученных соотношений, приведем еще одну форму записи для случая, когда используется комплексная амплитуда U(t) высокочастотного напряжения .

Заменяя

, (29)

и подставляя (29) в (15), получим ФЧ спектр

, (30)

где — спектральная плотность комплексной огибающей

. (31)

На рис. 6 для сравнения показаны амплитудно-частотный спектр радиоимпульса и спектр его огибающей .

Слайд 21

Здесь видно, что для соответствующего этому рисунку случая достаточно большой несущей f₀ спектральная плотность

(32)

Рисунок 6 – Амплитудно-частотные спектры радиоимпульса и его огибающей

Учитывая (32), вернемся к соотношению (20).

Разобьем интервал интегрирования в этом соотношении на два, от — до 0 и от 0 до , выражая одновременно через согласно (32).

Заменяя первом интеграле и во втором и учитывая ограниченную протяженность функции ,обозначим

. (33)

Выражение (30) можно свести тогда к виду

(34)

В соотношении (34) — огибающая напряжения на выходе оптимального фильтра; считаем, что . Это справедливо, если амплитудно-частотный спектр |G(f)| симметричен, т. е. . В соответствии с формулой Эйлера из (33) получим

. (35)

Слайд 22

Соотношение (35) позволяет оценить форму вершины огибающей на выходе фильтра. Для большинства важных случаев можно воспользоваться приближенным разложением в окрестности максимума

,

Откуда

, (36)

где

. (37)

Приведенные соотношения справедливы, если убывает с ростом быстрее чем , и интегралы сходятся (что не соблюдается, например, для прямоугольного радиоимпульса).

В тех случаях, когда приведенные соотношения справедливы, вершина импульса на выходе оптимального фильтра (рис. 6) имеет в силу (36) параболическую форму и тем уже, чем больше величина .

Слайд 23

Величина имеет размерность частоты, она тем больше, чем шире спектр сигнала, и может быть названа поэтому эффективной шириной спектра сигнала.

Как показывают формулы (26), (27), чем больше , тем острее вершина огибающей сигнала на выходе оптимального фильтра.

Дифференцируя сопряженный с (31) интеграл

,

получим

,

что дает возможность трактовать выражение в числителе (37) как модуль спектральной плотности U'(t).

Тогда по теореме Парсеваля получим уравнение

. (38)

Величину не следует отождествлять с полосой на каком- то общепринятом уровне (0,7; 0,5; 0,46 и т. д.). Для колокольного радиоимпульса полоса , где — полоса на уровне 0,46; она соответствует уровню . Для другой формы импульса этот уровень может быть иным.

Слайд 24

1.3 Оптимальная фильтрация как операция обнаружения на фоне стационарного небелого шума.

Небелым назовем стационарный шум с неравномерной спектральной плотностью мощности для f > 0. Его корреляционная (автокорреляционная) функция определяется по теореме Хинчина

. (39)

В последней записи доопределены значения .

Весовая функция линейной обработки при одноканальном обнаружении сигнала определяется из интегрального уравнения

. (40)

Уравнение (40) в силу стационарности помехи удовлетворяется решением , где — решение уравнения

. (41)

Слайд 25

Весовой интеграл

(42)

оказывается интегралом типа свертки. Он сводится к выходному напряжению w(t₀+)=ζ() оптимального фильтра с импульсной характеристикой

. (43)

Оптимальная частотная характеристика фильтра

(44)

по аналогии с (15) выражается через комплексно-сопряженное значение спектральной плотности весовой функции :

. (45)

Значение (45) найдем из интегрального уравнения (41). Подставляя (39) и выражая через , находим

. (46)

Слайд 26

Используя (45) и сопоставляя подынтегральные выражения (46), получаем

. (47)

Из (44) и (47) найдем оптимальную частотную характеристику

, (48)

которой подавляются спектральные составляющие, наиболее забитые шумом (рис. 7).

Рисунок 7

Слайд 27

Импульсная характеристика фильтра согласована с весовой функцией , а не с ожидаемым сигналом.

Аналогично (22) сигнальная составляющая выходного напряжения

в момент времени t-t₀+ образует пик. Мгновенное значение этого пика соответствует параметру обнаружения

где — удельная энергия сигнала на единицу ширины спектра частот.

Слайд 28

2 Особенности многоканального обнаружения когерентных сигналов со случайными неинформативными параметрами.

2.1 Методика учета неинформативных параметров сигнала и ее приложение к обнаружению на фоне гауссовских помех.

К числу случайных нефиксируемых при обнаружении неинформативных параметров принадлежат случайные начальные фазы и случайные амплитуды.

Считается, что высокочастотный сигнал, характеризуемый только одной случайной начальной фазой и одним случайным амплитудным множителем, в основном еще сохраняет свою структуру.

Его называют когерентным.

Структура сигнала, характеризуемого более чем одной случайной начальной фазой и более чем одним случайным амплитудным множителем, явно нежесткая.

Такой сигнал не может считаться когерентным.

Характеристики

Список файлов лекций