Лекция №11-12. Конспекты к слайдам (1186396), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Помеха в общем случае считается нестационарной: различные элементы выборки помехи могут иметь различные дисперсии σ_i.

Различные элементы выборки n_i и n_k могут быть взаимозависимы, так что их центрированный корреляционный момент, называемый также ковариацией,

в общем случае не равен нулю.

Слайд 12

Степень взаимной корреляции характеризуют обычно коэффициентом корреляции элементов помеховой выборки

. (14)

Величина ρ_ik изменяется от +1 до —1.

Значения ρ_ik равны ±1, когда величины n_i и n_k пропорциональны (очень жесткая связь, так что произведение n_i·n_k всегда сохраняет знак).

Знак плюс соответствует при этом положительному, а знак минус — отрицательному коэффициенту пропорциональности.

Если же значения n_i и n_k некоррелированы, то положительные и отрицательные знаки произведений n_i·n_k встречаются одинаково часто.

Математические ожидания таких произведений, а следовательно, значения коэффициента корреляции ρ_ik обращаются в нуль.

Слайд 13

Совокупность корреляционных моментов (ковариаций) элементов помеховой выборки образует прямоугольную таблицу, называемую корреляционной (ковариационной) матрицей:

. (15)

Диагональными элементами корреляционной матрицы оказываются дисперсии элементов выборки: .

Важной характеристикой корреляционной матрицы φ является хорошо известный из курса математики ее определитель (детерминант), обозначаемый |φ|. При отличном от нуля его значении существует обратная матрица φ^-1. Последняя определяется так, что произведение матриц сводится к единичной матрице I.

Так называют матрицу, имеющую единичные диагональные и нулевые недиагональные элементы.

Зная определитель |φ| и матрицу φ^-1, обратную корреляционной (обратную корреляционную матрицу), можно найти плотность вероятности гауссовского (нормального) закона распределения помехового вектор-столбца n, т. е. совместного закона распределения всех его элементов:

,

или

(16)

Индекс «n» в (16) соответствует наличию одной помехи.

Слайд 14

Пояснение матричной записи для выражений плотности вероятности проведем на примерах.

Пример 1.

Из общего соотношения (16) получим плотности вероятности w_п и w_сп для случаев, когда выборка состоит всего из одного дискрета: m = 1.

Корреляционная матрица (15) вырождается: она содержит всего один элемент дисперсии σ².

Определитель |φ| = σ².

Обратная матрица φ^-1 также сводится к одному элементу 1/σ², а произведение в – к одноэлементной единичной матрице (к скаляру единица). При наличии одной помехи из общего соотношения (16) приводим, таким образом, к выражению w_п и w_сп, совпадающему с приведенными выше (рисунок 4) – Слайд 8.

Слайд 15

Пример 2.

Из общего соотношения (16) получим плотности вероятности w_п(y) и w_сп(y) для случая, когда выборка состоит из двух дискрет.

Корреляционная матрица φ в данном случае имеет вид:

.

Ее определитель .

Обращая матрицу по описанному выше правилу, получим

. (17)

Слайд 16

Двумерные распределения и приобретают вид

,

,

что соответствует записи .

Приведенные формулы известны из элементарных курсов теории вероятностей.

Полученные распределения показаны с помощью линий уровня на рисунке 5 а, б, в для случаев коэффициента корреляции и при дисперсии .

Нанесенные дополнительно линии поясняются далее.

Слайд 17

Рисунок 5 – Иллюстрация к определению плотностей вероятности для выборки из 2-х дискрет

Слайд 18

2.1.2 Алгоритмы оптимального многоканального обнаружения дискретизированного по времени сигнала с известными параметрами

В соответствии с результатами предыдущих лекций оптимальные алгоритмы двухальтернативного обнаружения сводятся к сравнению с порогом логарифма отношения правдоподобия:

, (18)

являющегося некоторой монотонно нарастающей функцией самого отношения правдоподобия .

Как и ранее, можно считать

. (19)

Подставляя (16) и (19) в (18), получаем:

.

Поскольку , то .

Окончательно получаем:

, (20)

где , (21)

. (22)

, (23)

. (24)

Слайд 19

Поскольку величины , , связаны монотонно нарастающими зависимостями с отношением правдоподобия l, то каждая из этих величин может быть использована для сравнения с соответствующим порогом при двухальтернативном обнаружении.

Для двухальтернативного обнаружения, в частности, множества точек (линии рисунка 5) разбивают пространство (плоскость) у на области принятия решений А = 0 и А = 1.

Отсюда приходим к ряду вариантов структурных схем оптимальных обнаружителей, представленных для двухальтернативного случая на рисунках 6-7.

Подача на элементы этих схем скалярных величин показывается с помощью одинарных, векторно-матричных величин — с помощью двойных стрелок.

Рисунок 6 – Структурная схема многоканального оптимального обнаружителя

Слайд 20

По структурной схеме, показанной на рисунке 6, проводятся два вида обработки -элементного вектор-столбца принимаемых колебаний . Первоначальная обработка сводится к его линейному преобразованию

, (25)

зависящему только от структуры -элементной корреляционной матрицы помехи.

Последующая обработка сводится к образованию скалярной весовой суммы элементов преобразованного вектор-столбца

с весовыми коэффициентами соответствующими составляющим полезного сигнала и не зависящими от корреляционной матрицы помехи.

Слайд 21

Стоит отметить, что линейное преобразование (25) декоррелирует преобразованный помеховый вектор-столбец по отношению к принимаемому, т. е. условное математическое ожидание матричного произведения при наличии одной помехи сводится к единичной матрице

Составляющие вектор-столбца нельзя, однако, считать взаимно декоррелированными, поскольку корреляционная матрица

не сводится в общем случае к единичной и обратна входной.

Слайд 22

Показанная на предыдущей структурной схеме (рисунок 6) обработка сильно осложняется из-за необходимости учесть -элементную матрицу .

Такая обработка может быть оправдана лишь в случае одновременного обнаружения большого числа разновидностей сигналов.

При этом может оказаться выгодным выполнить единожды сложную операцию матричной обработки , чтобы после нее проводить множество более простых операций весовой обработки:

с коэффициентами, не зависящими от характера помеховых, колебаний.

Слайд 23

В структурной схеме, показанной на рисунке 7 предусмотрена только операция -элементной весовой обработки

(26)

с коэффициентами r_i, являющимися составляющими весового вектора

Рисунок 7 – Структурная схема многоканального оптимального обнаружителя на основе весового вектора

Весовой вектор

(27)

зависит как от корреляционной матрицы помехи , так и от ожидаемого сигнала х, но содержит всего т элементов. Случайная величина весовой суммы в отсутствие сигнала имеет нулевое математическое ожидание и дисперсию .

Слайд 24

Подставляя в произведение взаимно эквивалентные выражения (21-22), получаем

.

Это означает, что выходной уровень помехи в схемах, показанных на рисунках 6 и 7, зависит как от входной корреляционной матрицы , так и от вектора сигнала x.

В соответствии с этим уровнем должен подбираться и уровень порога , обеспечивающий заданную условную вероятность ложной тревоги F.

От указанного недостатка свободна структурная схема обработки, показанная на рисунке 8, отличающаяся изменением уровня порога и весовых коэффициентов в q раз.

Слайд 25

Иначе, вместо весового вектора r используется нормированный весовой вектор . Последний не изменяется при увеличении интенсивности ожидаемого сигнала в произвольное число раз. Вместо весовой суммы получается при этом нормированная весовая сумма

,

которая в отсутствие сигнала имеет единичную дисперсию

.

Рисунок 8 – Структурная схема многоканального оптимального обнаружителя с нормированным порогом

Слайд 26

Проведенный в процессе теоретического рассмотрения переход к нормированному весовому вектору r_н учитывает реально используемую в радиолокационных приемниках автоматическую регулировку усиления по выходному уровню помехи.

Слайд 27

2.1.3 Параметр и показатели качества двухальтернативного обнаружения дискретизированной выборки сигнала

Параметром обнаружения (квадратичным, линейным) называют отношение сигнал-помеха на выходе линейного тракта обработки (по мощности, по напряжению).

Отношение сигнал-помеха по мощности находится при этом как отношение величины квадрата математического ожидания весовой суммы или при наличии сигнала и помехи к величине дисперсии этой же самой весовой суммы (она не изменяется в зависимости от наличия или отсутствия сигнала).

Параметры обнаружения оптимальных обнаружителей (рисунки 5-7) одинаковы при одинаковых условиях на входе.

Расчет проведем для схемы, приведенной на рисунке 5, при наличии сигнала , так что матожидание

Слайд 28

Учитывая единичное значение дисперсии помехи, имеем, что квадратичный параметр обнаружения равен , а линейный .

Характеристики

Список файлов лекций