Лекция №11-12. Конспекты к слайдам (1186396), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

индекс «п» при знаке математического ожидания формулы (54) соответствует наличию одной помехи Y(t) = N(t).

Совокупность функций (54) образует комплексную матрицу помеховых взаимных корреляционных функций (комплексную корреляционную матрицу помехи)

, (55)

которая иначе определяется соотношением:

. (56)

Здесь Y(t)=||N_i(t)||=N(t) – вектор-столбец комплексных амплитуд помеховых напряжений; – сопряженная и транспонированная по отношению к нему вектор-строка.

Согласно правилу перемножения матриц (вектор-столбца и вектор-строки в частности) определения взаимных корреляционных матриц (54-55) и (56) равносильны.

Знак транспонирования здесь, в отличие от некоторых других работ, не предполагает сам по себе комплексного сопряжения.

Слайд 58

Вещественная корреляционная матрица помехи φ(t, s)=||φ_ik(t, s)|| в силу (52) однозначно выражается через комплексную Ф(t, s).

Комплексная корреляционная матрица помехи Ф(t, s) при s=t оказывается эрмитовой:

, . (57)

При s≠t справедлива лишь обобщенная эрмитовость комплексной корреляционной матрицы помехи.

Матрица перейдет в комплексносопряженную, если наряду с взаимной заменой номеров строк и столбцов взаимно заменяются аргументы функций:

, . (58)

Слайд 59

2.3.5 Комплексная запись основных соотношений теории обнаружения непрерывных сигналов с известными параметрами

Комплексная запись основных соотношений непосредственно следует из вещественной.

Весовая интегральная сумма при переходе к комплексной скалярной записи согласно (49) принимает вид

. (59)

Здесь Z – комплексный весовой интеграл

, (60)

в свою очередь, R(t)=||R_i(t)|| – комплексный весовой вектор.

Интегрально-матричное уравнение комплексного весового вектора R(t) следует из уравнения (38) вещественного весового вектора r(t). Заменяя в (52) комплексные числа под знаком реальной части на сопряженные, получаем

. (61)

Считая выражение в квадратных скобках (61) комплексной амплитудой при и используя (50) и (61), преобразуем левую часть уравнения (38)

. (62)

Слайд 60

Поскольку правая часть (38)

совпадает с (62) при произвольных значениях комплексных множителей , придем к искомому интегрально-матричному уравнению

. (63)

Выражение параметра обнаружения:

(64)

соответствует замене Y(t) на X(t) в правой части равенства (60).

Знак реальной части (64) можно опустить, поскольку интеграл

(65)

выражается вещественным числом Н = H^*. Заменяя вектор X(t) в (65) интегральным выражением (62), действительно имеем:

. (66)

Слайд 61

В силу (63) и обобщенной эрмитовости комплексной корреляционной матрицы Ф^т(t, s)=Ф^*(s, t) одинарный интеграл по t в (66) сведем к вектору X^*(s), а весь двойной интеграл преобразуем в новый одинарный:

.

Скалярное произведение в подынтегральном выражении c точностью до обозначения переменной интегрирования комплексно-сопряжено подынтегральному выражению (65). Таким образом, Н=H^*, что свидетельствует о вещественном характере числа H. Следовательно,

. (67)

Слайд 62

Алгоритмическая структурная схема обработки (59) комплексных амплитуд при обнаружении сигнала с известными параметрами приведена на рисунке 18, а.

На вход порогового устройства ПУ поступает значение ζ=Re Z.

Этим учитывается принятая пока неслучайность начальной фазы ожидаемых колебаний как признака полезного сигнала.

Учет ее случайного характера будет проводиться в следующей лекции.

Операция Re Z (фазового детектирования при перемножении на разных несущих) заменится при этом операцией амплитудного детектирования |Z|.

Алгоритмическая операция вычисления Re Z на рисунке 18 опущена, поскольку она связана лишь с переходом от вещественных величин к комплексным амплитудам и при аналоговой обработке практически не используется. Пропуск операции отмечен штриховой линией.

Рисунок 18 – Алгоритмическая структурная схема обработки комплексных амплитуд при обнаружении сигнала с известными параметрами

На рисунке 18, б предусмотрен переход к нормированному весовому Вектору R_H(t) = R(t)/q и к порогу ζ_0н, определяемому условной вероятностью ложной тревоги F.

В обобщающую таблицу 1 сведены рассмотренные варианты задач и алгоритмов обработки при описании сигналов и помех с помощью:

– дискретных выборок;

– непрерывных вещественных функций времени;

– временных зависимостей для комплексных амплитуд.

Слайд 63

Таблица 5.1 – Варианты постановки задач и алгоритмы обработки при многоканальном обнаружении сигналов с известными параметрами на фоне гауссовских коррелированных помех

Слайд 64

2.3.6 Модель белого шума при узкополосном описаний высокочастотных колебаний

В соответствии с гипотезой узкополосности полосу частот шумовой помехи считаем существенно меньше несущей f₀, хотя и заметно превышающей полосу частот сигнала П_c.

Одновременное выполнение условий П_с<<П_п<f₀ (рисунок 18, а) реализуется при достаточно большой величине отношения f₀/П_с.

Рисунок 18 – Пояснение модели белого шума при узкополосном описании высокочастотных колебаний

Вещественная корреляционная функция стационарной помехи с равномерно распределенной в полосе П_п спектральной плотностью мощности N₀ соответствует выражению

, (68)

в котором .

Она выражается в силу (52) через комплексную корреляционную функцию

. (69)

Сопоставляя (68), (69), находим выражение:

,

справедливое при фиксированной полосе частот помехи П_п.

С увеличением полосы функция ∆(τ) сосредоточивается в окрестности τ = 0, причем:

.

Слайд 65

При операциях с комплексными амплитудами и при выполнении условия П_п > П₀ это позволяет заменить функцию ∆(τ) дельта-функцией, т. Е. считать, что

. (70)

Выражение (69) не следует подставлять в (68), так как предельный переход в этом случае неоправдан, поскольку П_п < f₀.

По существу введена новая (вторая) модель белого шума, с отличающимися от первой характером и физическим смыслом предельного перехода. Отличие предельного перехода для первой и второй моделей поясняется рисунками 18, б и а. С этим отлитием связано отсутствие в (69) коэффициента 1/2, характерного лишь для первой модели белого шума.

Слайд 66

2.3.7 Примеры синтеза многоканальных обнаружителей с использованием комплексной записи высокочастотных колебаний

Пример 1. На антенную решетку поступают колебания ожидаемого сигнала с комплексной амплитудой

, (71)

являющейся произведением скалярной функции времени t и независящего от времени вектор-столбца X(α). Произведение полосы частот сигнала П_с = П на наибольшую возможную разность временных запаздываний (соответствующую крайним точкам раскрыва) считается много меньшим единицы. Поэтому запаздывание комплексных амплитуд сигнала в пределах раскрыва антенны не учитывается. Одна и та же скалярная функция X(t) описывает закон модуляции ожидаемых колебаний во всех элементах решетки. Произведение же несущей частоты f₀ на разность запаздываний может быть достаточно велико. Колебания полезного сигнала в различных элементах решетки отличаются сдвигами фаз, так что

. (72)

Слайд 67

Входящий в (72) вектор  характеризует сдвиги фаз _i (i=1, 2, ..., М), зависящие от угловых координат источника сигнала.

Комплексная корреляционная матрица помехи определяется как матричный аналог (70).

Она соответствует помехе:

1) некоррелированной (дельта-коррелированной) по времени;

2) некоррелированной по элементам раскрыва;

Характеристики

Список файлов лекций