Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем (3-е изд., 2001) (1186218), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Пусть задан У-детерминированный Р-автоматО 0,50 0Л> =00,500 001,00 00 00,7500,250 00,4000,600001,00 0Z'У\г00*i02*о63На рис. 2.5 показан граф переходов этого автомата. Требуется оценить суммарные финальные вероятности пребывания этого Р-автомата в состояниях z2 в z,.При использовании аналитического подхода можно записать известные соотношения из теории марковских цепей и получить систему уравнений для определенияфинальных вероятностей. При этом начальное состояние г0 можно не учитывать, таккак начальное распределение не оказывает влияния на значения финальных вероятностей. Тогда имеемС=СО000,75 00,2500,40 00,601,00 01,00 00С — (c R ) = (Cj, с 2 , с3> с*)>0где с* — финальная вероятность пребывания Р-автомата в состоянии zk.Получаем систему уравненийс2=0,75с2+0,40с3,с4-=0,25с2-|-0,60сз.Добавим к этим уравнениям условие нормировки с1+с2 + с3+с4 = \.
Тогда,решая систему уравнений, получим С! = 5/23, с2=8/23, с3 = 5/23, с4 = 5/23. Такимобразом , с 2 +с э = 13/23=0,5652. Другими словами, при бесконечной работе заданного в этом примере У-детерминированного Раетомата на его выходе формируется двоичнаяпоследовательность с вероятностью появленияединицы, равной 0,5652.Рис. 2.5. Граф вероятностного автоматаПодобные Р-автоматы могут использоваться как генераторы марковскихпоследовательностей, которые необходимы при построении и реализации процессов функционирования систем S иливоздействий внешней среды Е.Для оценки различных характеристик исследуемых систем, представляемых в виде Р-схем, кроме рассмотренного случая аналитических моделей можно применять и имитационные модели, реализуемые, например, методомстатистического моделирования.2.5.
НЕПРЕРЫВНО-СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ(2-СХЕМЫ)Особенности непрерывно-стохастического подхода рассмотримна примере использования в качестве типовых математических схемсистем массового обслуживания (англ. queueing system), которые64будем называть Q-схемами. Системы массового обслуживанияпредставляют собой класс математических схем, разработанныхв теории массового обслуживания и различных приложениях дляформализации процессов функционирования систем, которые посвоей сути являются процессами обслуживания [6, 13, 33, 37, 51].Основные соотношения. В качестве процесса обслуживания могутбыть представлены различные по своей физической природе процессы функционирования экономических, производственных, технических и других систем, например потоки поставок продукции некоторому предприятию, потоки деталей и комплектующих изделий насборочном конвейере цеха, заявки на обработку информации ЭВМот удаленных терминалов и т.
д. При этом характерным для работытаких объектов является случайное появление заявок (требований)на обслуживание и завершение обслуживания в случайные моментывремени, т. е. стохастический характер процесса их функционирования. Остановимся на основных понятиях массового обслуживания,необходимых для использования Q-схем, как при аналитическом,так и при имитационном.В любом элементарном акте обслуживания можно выделить двеосновные составляющие: ожидание обслуживания заявкой и собственно обслуживание заявки. Это можно изобразить в виде некоторого /-го прибора обслуживания Д (рис.
2.6), состоящего изнакопителя заявок Н,, в котором может одновременно находиться/,=0, L(H заявок, где L,B — емкость i-го накопителя, и канала обслуживания заявок (или просто канала) К/. На каждый элементприбора обслуживания Д поступают потоки событий: в накопительHi — поток заявок w,, на канал Kt — поток обслуживании и,.Потоком событий называется последовательность событий,происходящих одно за другим в какие-то случайные моментывремени. Различают потоки однородных и неоднородных событий. Поток событий называется однородным, если он характеризуется только моментами поступления этих событий (вызывающимимоментами)изадаетсяпоследовательностью{r„} = {0<f 1 </ 2 ...</«<•••}, где tn— момент наступления и-го события — неотрицательное вещественное число.
Однородный потоксобытий также может быть задан в виде последовательности промежутков времени между л-м и (и—1)-м событиями {т„}, котораяоднозначно связана с последовательностью вызывающих моментов {*„}, гдеr„ = tn-t„-t„..l,n^l,tQ= 0,T.e.Tl= t1.<•_'Потоком неоднородных событий называется последовательность \t„, /„), где .t„ — вызывающие моменты; /„ — наборпризнаков события. Например, применительно к процессу обслуживания для неоднородного потока заявок могут быть"Рис 2 6 П р и б о р обслужи .вания заявок65заданы принадлежность к тому или иному источнику заявок, наличие приоритета, возможность обслуживания тем или иным типомканала и т. п.Рассмотрим поток, в котором события разделены интервалами времени xlt i2>—.... которые вообще являются случайными величинами.
Пусть интервалы т„ т2, ...независимы между собой. Тогда поток событий называется потоком с ограниченнымпоследействием.Пример потока событий приведен на рис. 2.7, где обозначено Т, — интервалмежду событиями (случайная величина); Тя — время наблюдения, Тс — моментсовершения события.Интенсивность потока можно рассчитать экспериментально по формулег;где N—число событий, произошедших за время наблюдения Тж. Если 7)««const илиопределено какой-либо формулой 7/»»/(2)_i), то поток называется детерминированным. Иначе поток называется случайным.Случайные потоки бывают:— ординарными, когда вероятность одновременного появления 2-х и болеесобытий равна нулю;— стационарными, когда частота появления событий постоянная;— без последействия, .когда вероятность не зависит от момента совершенияпредыдущих событий.Поток событий называется ординарным, если вероятность того, что на малыйинтервал времени At, примыкающий к моменту времени I, попадает больше одногособытия Р>, (I, Л/), пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью того, чтона этот же интервал времени Лг попадает ровно одно событие Ру ft АО.
т. е. PY ftД/)й>Р>1 (/, Лг)- Вели для любого интервала Дг событиеР 0 ft ДО+Р, ft Д0+*>1 ft ЛО-1fкак сумма вероятностей событий, образующих полную группу и несовместных, тодля ординарного потока событийР0 ft Д О + Л ft ДО* 1. Ki ft АО-0 (ДО,где О (ДО — величина, порядок малости которой выше, чем Д/, т.
е.lim [О (Д0/А»1=0.Стационарным потоком событий называется поток, для которого вероятностьпоявления того или иного числа событий на интервале времени т зависит лишь отдлины этого участка и не зависит от того, где на оси времени Or взят этот участок.Рассмотрим на оси времени О/ ординарный поток событий и найдем среднеечисло событий, наступающих на интервале времени Д/, примыкающем к моментувремени t.
Получим0 Р о (г, ДО+1 Pj ft Д О - ? ! ft ДО-Рис. 2.7. Графическое изображениеN-схемы66Тогда среднее число событий, наступающих на участке времени Лг в единицувремени, составит [Pl ft Д01/Д'. Рассмотрим предел этого выражения при Дг-»0.Бели этот предел существует, то она называется интенсивностью (плотностью) ординарного потока событий lim [Pl fti<—оAt)/At]—X(t). Интенсивность потока может быть любой неотрицательной функциейвремени, имеющей размерность, обратную размерностн времени. Для стационарного потока его интенсивность не зависит от времени в представляет собой постоянное значение, равное среднему числу событий, наступающих в единицу времениЯ(()=Я=const.Возможные приложения. Обычно в приложениях при моделировании различных систем применительно к элементарному каналуобслуживания К-, можно считать, что поток заявок w,e W, т.
е.интервалы времени между моментами появления заявок (вызывающие моменты) на входе Kh образует подмножество неуправляемых переменных, а поток обслуживания uteU, т. е. интервалывремени между началом и окончанием обслуживания заявки, образует подмножество управляемых переменных.Заявки, обслуженные каналом К{, и заявки, покинувшие приборД по различным причинам необслуженными (например, из-запереполнения накопителя Щ, образуют выходной поток yte Y,т. е. интервалы времени между моментами выхода заявок образуютподмножество выходных переменных.Процесс функционирования прибора обслуживания П, можнопредставить как процесс изменения состояний его элементов вовремени z, (/).
Переход в новое состояние для П, означает изменениеколичества заявок, которые в нем находятся (в канале А!, и в накопителеЩ. Такимобразом, вектор состоянийBдля Д имеет вид z i=(zB,KHz, B), где zt — состояние накопителя Я, (z =0 —Bнакопитель пуст,z, =l —в накопителе имеетсяодна заявка, .... z =L? — накопитель полностью заполнен); LB — емкость накопителя Hh измеряемая числом заявок, которые в нем могут поместиться; z* — состояние канала Kt(ziK=Q — канал свободен, z*=l—каналзаняти т. д.).В практике моделирования систем, имеющих более сложныеструктурные связи и алгоритмы поведения, для формализации используются не отдельные приборы обслуживания, а Q-схемы, образуемые композицией многих элементарных приборов обслуживания Д (сети массового обслуживания).
Если каналы IQ различныхприборов обслуживания соединены параллельно, то имеет местомногоканальное обслуживание (многоканальная Q-схема), а еслиприборы Д и их параллельные композиции соединены последовательно, то имеет место многофазное обслуживание (многофазнаяQ-схема). Таким образом, для задания Q-схемы необходимо использовать оператор сопряжения R, отражающий взаимосвязь элементов структуры (каналов и накопителей) между собой.Связи между элементами Q-схемы изображают в виде стрелок(линий потока, отражающих направление движения заявок). Различают разомкнутые и замкнутые Q-схемы. В разомкнутой Q-схемевыходной поток обслуженных заявок не может снова поступить накакой-либо элемент, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
