Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем (3-е изд., 2001) (1186218), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

е. получается система с постоянными коэффициентами.Кроме того, уравнения получаются линейными относительно Ах, Ау и их произ­водных. Это весьма существенно, так как методы решения и исследования линей­ных систем значительно проще, чем систем общего вида, и более детально раз­работаныТаким образом, для линейных систем автоматического управления, т. е длясистем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями, можно запи­сатьsidуd уdxd x<*o — +«i+ ...+d„y=b0+Z>!+ ...+b„x.(2.12),n,n-l,mjffi-1dtdtdtdtВ уравнении (2.12) для простоты предполагается, что точки приложения воз­мущающих воздействий совпадают с входом системы. Для решения (2.12) можновоспользоваться, например, операторным методом, заменяя дифференциальное ура­внение алгебраическим.Таким образом, использование D-схем позволяет формализо­вать процесс функционирования непрерывно-детерминированныхсистем S и оценить их основные характеристики, применяя анали­тический или имитационный подход, реализованный в виде соответ­ствующего языка для моделирования непрерывных систем или ис­пользующий аналоговые и гибридные средства вычислительнойтехники.2.3.

ДИСКРЕТНО-ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ»(f-СХЕМЫ)Особенности дискретно-детерминированного подхода на этапеформализации процесса функционирования систем рассмотрим напримере использования в качестве математического аппарата те­ории автоматов. Теория автоматов — это раздел теоретическойкибернетики, в котором изучаются математические модели — авто­маты. На основе этой теории система представляется в виде авто­мата, перерабатывающего дискретную информацию и меняющегосвои внутренние состояния лишь в допустимые моменты времени.Понятие «автомат» варьируется в зависимости от характера конк­ретно изучаемых систем, от принятого уровня абстракции й целесо­образной степени общности.Основные соотношения.

Автомат можно представить как некото­рое устройство (черный ящик), на которое подаются входные сиг­налы и снимаются выходные и которое может иметь некоторыевнутренние состояния. Конечным автоматом называется автомат,у которого множество внутренних состояний и входных сигналов (аследовательно, и множество выходных сигналов) являются конеч­ными множествами.Абстрактно конечный автомат (англ. finite automata) можнопредставить как математическую схему (F-схему), характеризующу­юся шестью элементами: конечным множеством X входных сиг­налов (входным алфавитом); конечным множеством Y выходныхсигналов (выходным алфавитом); конечным множеством Z внут­ренних состояний (внутренним алфавитом или алфавитом состоя­ний); начальным состоянием z0, z 0 eZ; функцией переходов cp(z, х);функцией выходов \j/(z, x).

Автомат, задаваемый F-схемой: F—^Z,X, Y, ср, ф, z0>,— функционирует в дискретном автоматном време­ни, моментами которого являются такты, т. е. примыкающие друг54к другу равные интервалы времени, каждому из которых соответ­ствуют постоянные значения входного и выходного сигналов и вну­тренние состояния. Обозначим состояние, а также ВХОДНОЕ и выход­ной сигналы, соответствующие f-му такту при t=0, 1, 2, ..., черезz(t), x(i), y(t).

При этом, по условию, z(0)=zo, a z(t)eZ,x(t)eX,y(t)<=Y.Абстрактный конечный автомат имеет один входной и одинвыходной каналы. В каждый момент t=0, 1, 2, ... дискретноговремени .F-автомат находится в определенном состоянии z(t) измножества Z состояний автомата, причем в начальный моментвремени *=0 он всегда находится в начальном состоянии z(0)=z o .В момент t, будучи в состоянии z(j), автомат способен воспринятьна входном канале сигнал x(t)eX и выдать на выходном каналесигнал у(() = ф [z (/), х (*)], переходя в состояние z (t +1)=ср [z (/), х (t)],z(t)eZ, y(f)e Y.

Абстрактный конечный автомат реализует некото­рое отображение множества слов входного алфавита X на множест­во слов выходного алфавита Y. Другими словами, если на входконечного автомата, установленного в начальное состояние z0, по­давать в некоторой последовательности буквы входного алфавитах(0), JC(1), x(2),..., т.

е. входное слово, то на выходе автомата будутпоследовательно появляться буквы выходного алфавита у(0), У ОХу(2), ..., образуя выходное слово.Таким образом, работа конечного автомата происходит по сле­дующей схеме: в каждом f-м такте на вход автомата, находящегосяв состоянии z(t), подается некоторый сигнал x(t), на который онреагирует переходом в (/+1)-м такте в новое состояние z(t + l)и выдачей некоторого выходного сигнала. Сказанное выше можноописать следующими уравнениями: для F-автомата первого рода,называемого также автоматом Мили,z(t+l) = <p[z(t), х(/)], t = 0, 1, 2, ...;y{t) = rlf[z{t),x{i)l / = 0 , 1 , 2 , .

. . ;(2.13)(2.14)для ^-автомата второго родаz(t+l) = <p[z(t), x(0], * = 0, 1, 2, ...;y(t) = rj,[z(t), x(t-1)], *= 1, 2, 3, ...(2.15)(2.16)Автомат второго рода, для которогоy(t) = t[z(t)],t=0,l,2,...,(2.17)т. е. функция выходов не зависит от входной переменной x(t),называется автоматом Мура.Таким образом, уравнения (2.13) — (2.17), полностью задающие^-автомат, являются частным случаем уравнений (2.3) и (2.4), когдасистема S детерминированная и на ее единственный вход поступаетдискретный сигнал X.По числу состояний различают конечные автоматы с п а м я т ь юи без памяти. Автоматы с памятью имеют более одного состоя­ния, а автоматы без памяти (комбинационные или логические схе­мы) обладают лишь одним состоянием. При этом, согласно (2.14),работа комбинационной схемы заключается в том, что она ставитв соответствие каждому входному сигналу x(t) определенный вы­ходной сигнал y(t), т.

е. реализует логическую функцию видаy(t) = xl/[x(t)],t=0,l,2Эта функция называется булевой, если алфавиты X и Y, кото­рым принадлежат значения сигналов х и у, состоят из двух букв.По характеру отсчета дискретного времени конечные автоматыделятся на синхронные и асинхронные. В синхронных F-aemoматах моменты времени, в которые автомат «считывает» входныесигналы, определяются принудительно синхронизирующими сигна­лами.

После очередного синхронизирующего сигнала с учетом «счи­танного» и в соответствии с уравнениями (2.13) — (2.17) происходитпереход в новое состояние и выдача сигнала на выходе, после чегоавтомат может воспринимать следующее значение входного сиг­нала. Таким образом, реакция автомата на каждое значение вход­ного сигнала заканчивается за один такт, длительность которогоопределяется интервалом между соседними синхронизирующимисигналами.

Асинхронный F-автомат считывает входной сигналнепрерывно, и поэтому, реагируя на достаточно длинный входнойсигнал постоянной величины х, он может, как следует из (2.13) —(2.17), несколько раз изменять состояние, выдавая соответствующеечисло выходных сигналов, пока не перейдет в устойчивое, -котороеуже не может быть изменено данным входным сигналом.Возможные приложения.

Чтобы задать конечный F-автомат,необходимо описать все элементы множества F = <Z, X, Y, q>, ф, z0>,т. е. входной, внутренний и выходной алфавиты, а также функциипереходов и выходов, причем среди множества состояний необ­ходимо выделить состояние z0, в котором автомат находился в мо­мент времени / = 0 .

Существует несколько способов задания работыF-автоматов, но наиболее часто используются табличный, графи­ческий и матричный.Простейший табличный способ задания конечного автоматаоснован на использовании таблиц переходов и выходов, строкикоторых соответствуют входным сигналам автомата, а столбцы —его состояниям. При этом обычно первый слева столбец соответ­ствует начальному состоянию z0. На пересечении /-й строки и к-гостолбца таблицы переходов помещается соответствующее значе­ние ср (zk, х,) функции переходов, а в таблице выходов —соответствующее значение ф(гк,х^функции выходов. ДляF-автомата Мура обе таблицы можно совместить, получив такназываемую отмеченную таблицу переходов, в которой над каждым56состоянием zk автомата, обозначающим столбец таблицы, стоитсоответствующий этому состоянию, согласно (2.17), выходной сиг­нал ф(г).Описание работы F-автомата Мили таблицами переходов<р и выходов ф иллюстрируется табл.

2.1, а описание F-автоматаМура — таблицей переходов (табл. 2.2).Таблица 2.1zkЧ*кПереходы<Р(г0. * i )<Р(г0. х2)S»(*i> х2)<Р(г0. */)<?(*!> * f )<p(zL,x2)<t>(zK,x,)ВыходыФ (г0. *i)Ф (г0. х2)Ф(21,Х2)Ф(гк, х2)Ф(*к.,х,)Ф(г0, хг)Таблица 2.2XjФЫ*0х,*t<P(?1, Xi)Xlх2ФЫФЫЧ>\4> х2)<г>(г0, х,)Ф(*к)^кР(г«. * i )(p(zg;,x2)ф(*»х2)<?{Zz,xt)Vki.Xj)Примеры табличного способа задания F-автомата Мили F1с тремя состояниями, двумя входными и двумя выходными сиг­налами приведены в табл.

2.3, а для F-автомата Мура F2 — в табл.2.4.При другом способе задания конечного автомата используетсяпонятие направленного графа. Граф автомата представляет собойнабор вершин, соответствующих различным состояниям автоматаи соединяющих вершины дуг графа, соответствующих тем илииным переходам автомата. Если входной сигнал хк вызывает пере­ход из состояния z, в состояние z}, то на графе автомата дуга,соединяющая вершину z, с вершиной z,, обозначается хк. Для тогочтобы задать функцию выходов, дуги графа необходимо отметитьсоответствующими выходными сигналами. Для автоматов Милиэта разметка производится так: если входной сигнал хк действует насостояние z„ то, согласно сказанному, получается дуга, исходящая57из z, и помеченная хк; эту дугу дополнительно отмечают выходнымсигналом у=ф(г,, хк).

Характеристики

Список файлов книги