Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем (3-е изд., 2001) (1186218), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Однако в практике моделирования объектов в области системотехники и системного анализа напервоначальных этапах исследования системы рациональнее использовать типовые математические схемы: дифференциальные уравнения, конечные и вероятностные автоматы, системы массового обслуживания, сети Петри и т. д.Не обладая такой степенью общности, как рассмотренные модели, типовые математические схемы имеют преимущества простотыи наглядности, но при существенном сужении возможностей применения. В качестве детерминированных моделей, когда при исследовании случайные факторы не учитываются, для представления систем, функционирующих в непрерывном времени, используютсядифференциальные, интегральные, интегродифференциальныеи другие уравнения, а для представления систем, функционирующихв дискретном времени,— конечные автоматы и конечно-разностныесхемы.
В качестве стохастических моделей (при учете случайныхфакторов) для представления систем с дискретным временем используются вероятностные автоматы, а для представления системыс непрерывным временем — системы массового обслуживанияи т. д.Перечисленные типовые математические схемы, естественно, немогут претендовать на возможность описания на их базе всехпроцессов, происходящих в больших информационно-управляющихсистемах. Для таких систем в ряде случаев более перспективнымявляется применение агрегативных моделей [4, 37]. Агрегативныемодели (системы) позволяют описать широкий круг объектов исследования с отображением системного характера этих объектов.Именно при агрегативном описании сложный объект (система)расчленяется на конечное число частей (подсистем), сохраняя приэтом связи, обеспечивающие взаимодействие частей.Таким образом, при построении математических моделей процессов функционирования систем можно выделить следующие основные подходы: непрерывно-детерминированный (например, дифференциальные уравнения); дискретно-детерминированный (ко49нечные автоматы); дискретно-стохастический (вероятностные автоматы); непрерывно-стохастический (системы массового обслуживания); обобщенный, или универсальный (агрегативные системы).Математические схемы, рассматриваемые в последующих параграфах данной главы, должны помочь оперировать различнымиподходами в практической работе при моделировании конкретныхсистем.2.2.
НЕПРЕРЫВНО-ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ(Л-СХЕМЫ)Рассмотрим особенности непрерывно-детерминированного подхода на примере использования в качестве математических моделейдифференциальных уравнений. Дифференциальными уравненияминазываются такие уравнения, в которых неизвестными будут функции одной или нескольких переменных, причем в уравнение входятне только функции, но и их производные различных порядков. Еслинеизвестные — функции многих переменных, то уравнения называются уравнениями в частных производных, в противном случаепри рассмотрении функции только одной независимой переменнойуравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями.Основные соотношения. Обычно в таких математических моделях в качестве независимой переменной, от которой зависят неизвестные искомые функции, служит время t.
Тогда математическоесоотношение для детерминированных систем (2.6) в общем видебудетy'=7(y,t);y{t0)=y0,(2.7)где y' = dyldt,^y=(yl, уг, ..., у„) v.f=ifi,f2,-,'fn) — n-мерныевекторы;/(j, t) — вектор-функция, которая определена на некотором (и+ 1)-мерном (у, t) множестве и является непрерывной.Так как математические схемы такого вида отражают динамикуизучаемой системы, т. е. ее поведение во времени, то они называются D-схемами (англ. dynamic) [4, 37].В простейшем случае обыкновенное дифференциальное уравнение имеет видУ'=/(У, i).(2.8)Наиболее важно для системотехники приложение D-схем в качестве математического аппарата в теории автоматического управления.
Для иллюстрации особенностей построения и применения Dсхем рассмотрим простейший пример формализации процесса функционирования двух элементарных систем различной физической50природы: механической S^ (колебания маят- а) .,,..., 5)ника, рис. 2.1, а) и электрической 5Ж (колеба. пательный контур, рис. 2.1, б).\мzПроцесс малых колебаний маятника *° иt t , {jC»\д\описывается обыкновенным дифференциЛальным уравнением—<Ь \m M /^[rf 2 0(O/^ 2 ]+ W M g/ M 0(O = O3p , , , ^ . элементарныесистемыгде Шн, /м — масса и длина подвеса маятника; g — ускорение свободного падения; в (/) — угол отклонениямаятника в момент времени t.Из этого уравнения свободного колебания маятника можнонайти оценки интересующих характеристик.
Например, период колебания маятникаTM=2ny/lJg.Аналогично, процессы в электрическом колебательном контуреописываются обыкновенным дифференциальным уравнениемLjA(')Afc2]+[<z(')/cj=o,где Z,, Сх — индуктивность и емкость конденсатора; q (t) — зарядконденсатора в момент времени /.Из этого уравнения можно получить различные оценки характеристик процесса в колебательном контуре.
Например, периодхарактеристических колебанийОчевидно,что, введя z обозначения h0=mMl2ii = LI) hl = 0,тЬ2~ мёЬ=УСх> 9(0—4(Q= (0> получим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее поведение этойзамкнутой системы:h0[dzz{t)dt2} + h, [dz(t)/dt]+z2z(t) = 0,(2.9)Где h0, A1, h2 — параметры системы; z(t) — состояние системыв момент времени t.Таким образом, поведение этих двух объектов может бытьисследовано на основе общей математической модели (2.9). Крометого, необходимо отметить, что поведение одной из систем можетбыть проанализировано с помощью другой. Например, поведениемаятника (системы 5М) может быть изучено с помощью электрического колебательного контура (системы St).Если изучаемая система S, т. е.
маятник или контур, взаимодействует с внешней средой Е, то появляется входное воздействие x(t)(внешняя сила для маятника и источник энергии для контура)51и непрерывно-детерминированная модель такой системы будетиметь видh0 [d2z (О/Л 2 ]+К № (0*1 + h2z (0 = х (г).С точки зрения общей схемы математической модели (см. § 2.1)x(t) является входным (управляющим) воздействием, а состояниесистемы 5 в данном случае можно рассматривать как выходнуюхарактеристику, т. е. полагать, что выходная переменная совпадаетс состоянием системы в данный момент времени y=z.Возможные приложения.
При решении задач системотехникиважное значение имеют проблемы управления большими системами. Следует обратить внимание на системы автоматическогоуправления — частный случай динамических систем, описываемых D-схемами и выделенных в отдельный класс моделей в силу ихпрактической специфики [24, 43].Описывая процессы автоматического управления, придерживаются обычно представления реального объекта в виде двух систем:управляющей и управляемой (объекта управления).
Структура многомерной системы автоматического управления общего вида представлена на рис. 2.2, где обозначены эндогенные переменные:х (0 — вектор входных (задающих) воздействий; v (t) — вектор возмущающих воздействий; А '(0 — вектор сигналов ошибки; h" (/) —вектор управляющих воздействий; экзогенные переменные: z (/) — вектор состояний системы S; у (0 — вектор выходныхпеременных, обычно у (t)=z (t).Современная управляющая система — это совокупность программно-технических средств, обеспечивающих достижение объектом управления определенной цели. Насколько точно объект управления достигает заданной цели, можно судить для одномернойсистемы по координате состояния y(t).
Разность между заданнымJW(0 и действительным y(t) законами изменения управляемойвеличины есть ошибка управления h'(t)=y3aa(t)—y(t). Если предписанный закон изменения управляемой величиvzны соответствует закону изменения входногоЛ;(задающего)воздейстОбъект гг Ъ вия, т. е. x(t)=y3Ul(t), топ2_ Иправлр управ ющая<&h'(t) = x(t)-y(t).ленияXnJсистемаСистемы, для котоhnрых ошибки управленияA'(f)=0 во все моментывремени, называются идеальными.
На практике реРис 2 2. Структура системы автоматическогоализация идеальных сиуправленияч<$,Ш52стем невозможна. Таким образом, опшбка h'(t) — необходимыйсубстрат автоматического управления, основанного на принципеотрицательной обратной связи, так как для приведения в соответствие выходной переменной у (г) ее заданному значению используетсяинформация об отклонении между ними. Задачей системы автоматического управления является изменение переменной у (t) согласнозаданному закону с определенной точностью (с допустимой ошибкой).
При проектировании и эксплуатации систем автоматическогоуправления необходимо выбрать такие параметры системы S, которые обеспечили бы требуемую точность управления, а также устойчивость системы в переходном процессе.Если система устойчива, то представляют практический интересповедение системы во времени, максимальное отклонение регулируемой переменной y(t) в переходном процессе, время переходногопроцесса и т. п.
Выводы о свойствах систем автоматического управления различных классов можно сделать по виду дифференциальных уравнений, приближенно описывающих процессы в системах.Порядок дифференциального уравнения и значения его коэффициентов полностью определяются статическими и динамическими параметрами системы S.Пример 2.1. Рассмотрим одноканальную систему автоматического управленияSA, которая описывается D-схемой общего вида•••. У, хП, хт~\Fiy, /~\т....
*)=0,(2.10)пгде х и у — производные по времени /я-го и л-го порядков от функций х и у соответственно. Пусть система SA, описываемая уравнением (2.10), работает в некоторомрежиме, характеризуемом функциями х0 (() и у0 (/). Обозначим малые отклонениях ( 0 от х0(г) через Ax(t), a y(t) от y0(t) через Ay(t), т. е.x(t)=x0(t)+Ax(t),У(?)=Уо(1) + ЬуО)„ „_,Тогда уравнение (2.10) можно линеаризовать, разложив функцию F(y , у,...,тт— 1у, х , х, ..., х) в ряд Тейлора и ограничившись его линейными членами относительно приращений Ах и Ау, т. е.8F77„Д>> +°*3F77Л„_,Ау°*8F+ +- 'я"&У+ЬУ=дУ°(2.11)8F т3F„_,dF=-—Ддг -fАх+... + - • Ддг + Дд:.Sxl&£"'дх0Так как полученное уравнение (2.11) приближенно описывает рассматриваемыйпроцесс, то производные вычисляют при некоторых фиксированных значениях входящих в него переменных, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
