Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем (3-е изд., 2001) (1186218), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Эффективным средством для нахождения взаимопонимания между этими группами специалистов является язык математических схем, позволяющий во главу угла поставить вопрос об адекватностиперехода от содержательного описания системы к ее математической схеме,а лишь затем решать вопрос о конкретном методе получения результатов с использованием ЭВМ: аналитическом или имитационном, а возможно, и комбинированном, т. е. аналитико-имитационном. Применительно к конкретномуобъекту моделирования, т. е.
к сложной системе, разработчику модели должныпомочь конкретные, уже прошедшие апробацию для данного класса системматематические схемы, показавшие свою эффективность в прикладных исследованиях на ЭВМ и получившие название типовых математических схем.2.1. ОСНОВНЫЕ ПОДХОДЫ К ПОСТРОЕНИЮМАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМИсходной информацией при построении математических моделей процессов функционирования систем служат данные о назначении и условиях работы исследуемой (проектируемой) системы S.Эта информация определяет основную цель моделирования системы S и позволяет сформулировать требования к разрабатываемойматематической модели М. Причем уровень абстрагирования зависит от круга тех вопросов, на которые исследователь системы хочетполучить ответ с помощью модели, и в какой-то степени определяетвыбор математической схемы [4, 13, 29, 37, 42, 48].Математические схемы.
Введение понятия «математическая схема» позволяет рассматривать математику не как метод расчета,а как метод мышления, как средство формулирования понятий, чтоявляется наиболее важным при переходе от словесного описаниясистемы к формальному представлению процесса ее функционирования в виде некоторой математической модели (аналитической илиимитационной). При пользовании математической схемой исследователя системы 5 в первую очередь должен интересовать вопрос обадекватности отображения в виде конкретных схем реальных про45цессов в исследуемой системе, а не возможность получения ответа(результата решения) на конкретный вопрос исследования.
Например, представление процесса функционирования информационновычислительной системы коллективного пользования в виде сетисхем массового обслуживания дает возможность хорошо описатьпроцессы, происходящие в системе, но при сложных законах распределения входящих потоков и потоков обслуживания не даетвозможности получения результатов в явном виде [13, 21, 30, 33, 37,41].Математическую схему можно определить как звено при переходе от содержательного к формальному описанию процесса функционирования системы с учетом воздействия внешней среды, т. е.имеет место цепочка «описательная модель — математическая схема — математическая [аналитическая или (и) имитационная] модель».Каждая конкретная система S характеризуется набором свойств,под которыми понимаются величины, отражающие поведение моделируемого объекта (реальной системы) и учитывающие условияее функционирования во взаимодействии с внешней средой (системой) Е. При построении математической модели системы необходимо решить вопрос об ее полноте.
Полнота модели регулируется в основном выбором границы «система S — среда Е». Такжедолжна быть решена задача упрощения модели, которая помогаетвыделить основные свойства системы, отбросив второстепенные.Причем отнесение свойств системы к основным или второстепенным существенно зависит от цели моделирования системы (например, анализ вероятностно-временных характеристик процесса функционирования системы, синтез структуры системы и т.
д.). .Формальная модель объекта. Модель объекта моделирования,т. е. системы S, можно представить в виде множества величин,описывающих процесс функционирования реальной системы и образующих в общем случае следующие подмножества:совокупность входных воздействий на системух,еХ, i = l , пх;совокупность воздействий внешней средыv,sV,l=\,nv;совокупность внутренних (собственных) параметров системыhkeH, k=\, nB;совокупность выходных характеристик системыyJeYJ=Tn'Y.При этом в перечисленных подмножествах можно выделитьуправляемые и неуправляемые переменные. В общем случае х„ vh hk,46yj являются элементами непересекающихся подмножеств и содержат как детерминированные, так и стохастические составляющие.При моделировании системы S входные воздействия, воздействия внешней среды Е и внутренние параметры системы являютсянезависимыми (экзогенными) переменными, которые в векторнойформе имеют соответственно вид x(t) = (x1(t), x2(t), ..., *„*(/));v (0 = (»i (О, «2 (0, - , »„н(0; * (0=(*i (О, К (О, •», Кн (0), а выходныехарактеристики системы являются зависимыми (эндогенными) переменными и в векторной форме имеют вид у (0=04 (0» УгСО» •••>Процесс функционирования системы S описывается во времениоператором Fs, который в общем случае преобразует экзогенныепеременные в эндогенные в соответствии с соотношениями видаHt)=Fs$,v,h,t).(2.1)Совокупность зависимостей выходных характеристик системыот времени y}(f) для всех видов j= 1, nY называется выходной траекторией у (0- Зависимость (2.1) называется законом функционирования системы S и обозначается Fs.
В общем случае закон функционирования системы Fs может быт задан в виде функции, функционала, логических условий, в алгоритмической и табличной формахили в виде словесного правила соответствия.Весьма важным для описания и исследования системы S является понятие алгоритма функционирования As, под которым понимается метод получения выходных характеристик с учетом входныхвоздействий х (0, воздействий внешней среды v (0 и собственных—•параметров системы Л (0- Очевидно, что один и тот же законфункционирования Fs системы S может быть реализован различными способами, т.
е. с помощью множества различных алгоритмов функционирования As.Соотношения (2.1) являются математическим описанием поведения объекта (системы) моделирования во времени /, т. е. отражаютего динамические свойства. Поэтому математические модели такого вида принято называть динамическими моделями (системами)[4,11,43,44].Для статических моделей математическая модель (2.1) представляет собой отображение между двумя подмножествами свойствмоделируемого объекта Y и {X, V, Н), что в векторной формеможет быть записано какy=f(x,v,h).(2.2)Соотношения (2.1) и (2.2) могут быть заданы различными способами: аналитически (с помощью формул), графически, табличнои т. д.
Такие соотношения в ряде случаев могут быть получены47через свойства системы S в конкретные моменты времени, называемые состояниями. Состояние системы 5 характеризуется векторамиz'=(z[,z'2, ...,z'k) и z" = (z l,z2,.. .,*;),гдеz[=z L (n, г2=г2(0, ..., г'к=гк(?) в момент /"е(/ 0 , T);z'l=z^t"),z'{=z2(t"), .... zk=zk(t") в момент t"e(t0, Т) и т. д., fc=l, «z.Если рассматривать процесс функционирования системы S какпоследовательную смену состояний zl{t), z2(t), ..., zk(t), то онимогут быть интерпретированы как координаты точки в fe-мерномфазовом пространстве, причем каждой реализации процесса будетсоответствовать некоторая фазовая траектория. Совокупность всехвозможных значений состояний {г} называется пространством состояний объекта моделирования Z, причем zkeZ.Состояния системы S в момент времени f0 < г* < Г полностьюопределяются начальными условиями z° = (z°1,.
z2°, ..., z°k) [гдеz°1 = z1(t0), z°2=z2(t0), ..., z°k=zk(t0)], входными воздействиямиx (/), внутренними параметрами h (/) и воздействиями внешней среды v (/), которые имели место за промежуток времени /* — /0,с помощью двух векторных уравнений2(0=Ф(г°,3?,;,А, 0;y(t)=F(z,t).(2.3)(2.4)Первое уравнение по начальному состоянию z° и экзогеннымпеременным х, Z, h определяет вектор-функцию ~z(t), а второе пополученному значению состояний z (0 — эндогенные переменныена выходе системы у {t).
Таким образом, цепочка уравнений объекта«вход — состояния — выход» позволяет определить характеристики системыy(t)=F^(z°,x,v,h,t)].(2.5)В общем случае время в модели системы S может рассматриваться на интервале моделирования (0, Т) как непрерывное, таки дискретное, т. е. квантованное на отрезки длиной At временныхединиц каждый, когда T=mAt, где m=l, mT — число интерваловдискретизации.Таким образом, под математической моделью объекта (реальной системы) понимают конечное подмножество переменных {х (t),v (t), h (/)} вместе с математическими связями между ними и характеристиками у (t) [4, 9, 10, 35].Если математическое описание объекта моделирования не содержит элементов случайности или они не учитываются, т.
е. если48можно считать, что в этом случае стохастические воздействия внешней среды v (t) и стохастические внутренние параметры h (t) отсутствуют, то модель называется детерминированной в том смысле, чтохарактеристики однозначно определяются детерминированнымивходными воздействиямиy{t)=f{x,t).(2.6)Очевидно, что детерминированная модель является частнымслучаем стохастической модели.Типовые схемы. Приведенные математические соотношенияпредставляют собой математические схемы общего вида и позволяют описать широкий класс систем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
