Теория игр. Оуэн (1971) (1186151), страница 30
Текст из файла (страница 30)
(Конечно, необходимо дать определение ситуаций равновесия для таких игр; ситуации равновесия определяются очевидным образом.) ЧП3.1. Теорема. Любая биматричная игра имеет по крайней мере одну ситуацию равновесия в стратегиях угроз (х,у). Однако цели двух игроков при выборе своих стратегий угроз прямо противоположны.
Поэтому нетрудно также доказать следующую теорему. ЧП.3.2. Теорема. Если (х',у') и (х",у") — ситуации равновесия в стратегиях угроз, то ситуации (х', у") и (х", у') также являются равновесными. Кроме того, арбитражный вьсигрыш Нэша один и тот же как для ситуации (х',у'), так и для ситуации (х", у"). Мы не будем приводить здесь доказательств теорем ЧП.З.! и 'ЧП.3.2, которые оставляются в качестве задач; заметим только, что теорема ЧП.З.! является модификацией теоремы ЧП.1.2, а теорема ЧП.3.2 очень мало отличается от теоремы П.!.2. Мы видим, что ввиду теоремы ЧП.3.2 мы действительно можем говорить об оптимальных стратегиях угроз (а не просто о ситуациях равновесия).
Интересной задачей является задача нахождения оптимальных стратегий угроз. Вообще говоря, эта задача может оказаться сложной, так как арбитражное значение, соответствующее паре стратегий угроз, зависит не только от чисел хАут и хВут, но также и от вида оптимальной по Парето границы множества Я. Так как от 5 требуется только выпуклость, очевидных методов не существует, Однако в некоторых случаях эта задача может оказаться простой. Если, в частности, полезность линейно трансферабельна между двумя игроками, то задача становится чрезвычайно простой. Действительно, в этом случае мы можем выбрать шкалы полезностей так, чю полезности будут передаваться в отношении 1:!.
Очевидное применение изложенной выше теории показывает нам, что если х и у — стратегии угроз, то арбитражное значение будет хАВ~-хВу +х хВу — хлу~+Ь 2 Ф 2 где й — максимальная полезность, которую могут получить совместно два игрока. Но это означает, что игрок 1 будет пытаться максимизировать величину х(А — В)ут, а игрок П будет пытаться минимизировать ту же самую величину. Таким образом, оптимальные стратегии угроз в биматричной игре (А, В) совпадают с оптн- Гх у!!. Игра двух хии с ироиввохьиой суммой 160 мальными стратегиями в матричной игре А — В (т.
е. в игре с нулевой суммой), а мы уже знаем, как решать эту игру УН.З.З. П р и м ер. Рассмотрим биматричную игру (А, В), заданную матрицей (1, 4) ( — 4/г, — 4) ( — 3, — 1) (4, 1) Если предположить, что трансферабельного товара не существует, то множество 5 будет выпуклой оболочкой четырех точек р и с. ЧП. 3.2. (ась бич), которая показана на рис.
ЧП.3.2. Видно, что максимальные гарантированные уровни равны О для обоих игроков и обеспечиваются соответственно смешанными стратегиями (г/а '/4) и ('/,, '/э). Так как 5 почти симметрично, значение по первой схеме Нэша должно быть равно (в/в в/э). С другой стороны, эта схема не принимает в расчет возможностей угрозы со стороны игрока П; действительно, мы видим, что если игрок П применяет свою первую чистую стратегию, то игрок 1 фактически мало что может сделать против него. Таким образом, мы должны рассмотреть возможность угроз. Мы видим, что на оптимальной по Парето границе Я полезность Задачи трансферабельна (путем рандомизации) в отношении 1:1. Следовательно, мы можем рассмотреть игру А — В: А — В-( Эта игра имеет седловую точку на элементе — 2.
Так как максимальная общая полезность для двух игроков равна 5, мы получаем «арбитражное решение угроз» (з/ш '/з). Это решение, конечно, принимает в расчет более сильную возможность угрозы со стороны игрока 11. Задачи !. Мы рассматриваем сделку как некооперативную игру, в которой «стратегия» каждого игрока состоит в выдвижении некоторого требования. Если эти два требования (и, о) совместны (т.
е. принадлежит 3), то требования игроков удовлетворяются; в противном случае игроки получают минпмаксные значения (и*, о*) (нли значения угроз). а) Каждая точка оптимальной по Парето границы множества 8 является ситуацией равновесия. б) Предположим, что и* = о* = О, а и — характеристическая функция множества 3 (т, е.
й = ! на 3 и и = 0 на дополнении З). Тогда, если требования игроков равны (и,о), то их выигрыши будут равны (ий(и,о), ой(и,о)). в) Пусть й(и, о) — произвольная неотрицательная функция; допустим, что если выдвинуты требования (и, в), то выигрыш равен (ий, ой). Покааать, что если (и», б») максимизирует функцию иод, то (йы б») — ситуация равновесия.
г) Пусть йь ЬВ, ... — последовательность неотрицательных непрерывных функций, сходящаяся к и. Тогда, если (й, о) — решение Нэша (арбитражное значение) игры, то существует последовательность точек (ил й)), каждая из которых является равновесной в сделке с выигрышем (ийиойз), причем эта последовательность сходится и (й, б).
2. Доказать существование «оптимальных» стратегий угроз в модифицированной модели сделки Нэша (теоремы НП.З.! и Н!!.3.2). 3). а) Рассмотрим «сверхигру», состоящую нз !00 повторений «дилеммы заключенного». В этой сверхигре каждый игрок имеет очень большое число чистых стратегий, каждая из которых определяет, что нужно делать в я.й партии игры в зависимости от «историн» сверхигры (т. е, в зависимости от того, что произошло в первых и — ! партиях), Показать, что если две стратегии образуют ситуацию равновесна, то использование этих двух стратегий заставит обоих игроков применять стратегию «предательства» (вторую стратеги1о) в каждой партии игры.
б) Показать, однако, что для я ) 2 стратегия о„ в сверхигре, состоящая в том, чтобы «выбирать первую (кооперативную) стратегию в первых л партиях до тех пор, пока мой противник действует так же, а в последних )00 — я партиях выбирать стратегию предательства», лучше в том смысле, что против оптимального ответа противника оиа дает больший выигрыш. в) Показать, что если сверхигра состоит из Х партий, где Х вЂ” случайная величина с экспоненциальным распределением Р(я) = »е «В, то существует ситуация равновесия, при которой используется кооперативная первая стратегия в каждой партии игры.
162 Гд гйй Вары дврл лил е произвольной срлмод 4. В задаче Н.й было указано, что игры двух лиц с постоянной суммой можно решать методом «фиктивного разыгрывания». Рассматривая игру (А,В), где А 1 2 О, В 2 1 О показать, что этот метод ие может быть использован для нахождения ситуаций равновесия в биматричных играх. а) Предположим, что игроки начинают с выбора ситуации (1,1). За ходом (1, 1) последует код (1, 3), затем ходы (3, 3), (3, 2), (2, 2), (1, !) н т.
д. циклически. б) Каждый цикл по крайней мере вдвое длиннее предыдущего. в) Такие эмпирические стратегии не сходятся вообще, но никлически повторяются. Ни один нз двух циклов не проходит через точку ('(з, '(з, Я, которая является единственной ситуацией равновесна. Глава тгхП иггы и ЛИЦ РНЕ Е БЕСКОАЛИЦИОВНЫЕ ИГРЫ При рассмотрении игр я лиц (где я ~ 3) обнаруживаются те же две возможности, с которыми мы уже встречались прн изучении игр двух игроков с ненулевой суммой.
Именно, правила игры могут либо запрещать, либо разрешать объединение игроков в коалиции. Рассмотрим сначала первый, т. е. бескоалиционный случай. В этом случае основным вопросом является существование ситуаций равновесия. На него отвечает следующая теорема. УП1.1.1. Теорема. Любая конечная бескоалиционная игра и лиц имеет хотя бы одну ситуацию равновесия в смешанных стратегиях. Здесь мы не приводим доказательства теоремы У1П.!.1. Однако, как легко видеть, распространение доказательства теоремы УП.1.2 на этот случай не представляет труда. Хотя теорема У!11.1.1 и является весьма ценным результатом, нужно отметить, что все затруднения, связанные с ситуациями равновесия в случае биматричных игр, наличествуют и здесь.
Кроме того, нахождение этих ситуаций в играх я лиц (где я ~ 3) несравненно сложнее, чем их нахождение в биматричных играх, Вообще же, существенной разницы между теорией бескоалиционных игр я лиц и теорией биматричных игр нет. вне 2. КООпЕРАтиВныЕ иГРы Рассмотрим теперь случай, когда кооперация разрешена. Как мы только что отметили, в бескоалиционном варианте различие между играми двух и л лиц невелико. В этом случае игры я лиц представляют собой лишь обобщение игр двух лиц. В кооперативных же играх мы сталкиваемся с новой идеей — идеей коалиции, В случае двух лиц существует только одна возможная коалиция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
