Теория игр. Оуэн (1971) (1186151), страница 31
Текст из файла (страница 31)
В случае я игроков возможных коалиций много и поэтому для того, чтобы одна из них образовалась и продолжала существовать в течение некоторого времени, члены этой коалиции должны оказаться в некотором равновесном или устойчивом состоянии. Именно эта идея устойчивости должна рассматриваться в любой осмысленной теории. 1б4 Гм У!п. Игры и лиц Важность понятия устойчивости легче всего оценить на примере.
Рассмотрим следующую игру трех лиц: игроки 1, 2 и 3 поставлены непосредственно перед проблемой образования коалиций. Если любые два из них объединятся, то третий обязан заплатить каждому из них по единице. Если же никакая двухчленная коалиция не сформируется, то никаких платежей не производится. Об этом простом примере можно сказать очень немного. Действительно, не предполагая ничего о личных взаимоотношениях между игроками, естественно заключить, что может возникнуть любая из трех возможных коалиций двух игроков, и нет способа выделить какую-либо из них. Следовательно, три платежа ( — 2, 1, 1), (1, — 2, 1) и (1, 1, — 2), соответствующие этим трем коалициям, представляются «естественным» результатом игры и, в некотором смысле, могут считаться ее «решением».
С другой стороны„платеж (О, О, 0), являющийся средним этих трех платежей, также может считаться некоторым решением игры. (Позже мы увидим, в каком смысле эти платежи являются решениями.) Предположим теперь, что игра слегка изменена, а именно, если образуется коалиция (2, 3), то игрок 1 обязан заплатить 1,1 единицы игроку 2 и 0,9 единицы игроку 3. Может показаться, что положение игрока 2 улучшилось, так как при том же образе действий он выигрывает больше. Однако более тонкий анализ показывает, что это не так.
В самом деле, коалиция (2, 3) теперь становится почти невозможной (если не существует каких-либо внешних препятствий для кооперирования игроков 1 и 3), ибо как игрок 1, так и игрок 3 оказываются в выигрыше, образовав коалицию (1,3). Следовательно, игрок 2 оказывается в худшем положении, чем прежде, ибо одна из коалиций, в которых он может участвовать, крайне неустойчива. Правда, он может исправить положение, заплатив О,1 единицы игроку 3 (полагая, что такой побочный платеж допустим).
Это сведет игру к предыдущей. Приведенный пример дает возможность проиллюстрировать, во-первых, важность побочных платежей и, во-вторых, необходимость некоторой устойчивости различных платежей в решении. Последний вопрос будет изучаться позднее; сначала же мы займемся побочными платежами.
Здесь снова возникает вопрос о существовании линейно трансферабельного товара. Предположим, что такой товар существует; теория, развитая при этом предположении, будет называться теорией игр с побочными платежами. Для теории, допускающей побочные платежи, функции полезности могут быть выбраны так, что для любых двух игроков полезности передаются в отношении 1: 1.
Как уже указывалось при рассмотрении случая двух игроков, это означает, что та полезность, которую в состоянии получить множество Я игроков (коалиция), может быть произвольным образом поделена между членами 5. 'тт!К 2. Кооперативные игра Поэтому нас будет интересовать только совокупная полезность, которую коалиция имеет возможность получить. ЧП12.1.
Определение. Для игры л лнц обозначим множество всех игроков через тЧ = (1,2,..., и). Любое непустое подмножество множества тЧ (включая само У н все его одноэлементные подмножества) называется коалицией. ЧП!.2.2. О п р е дел е н и е. Характеристической функцией игры и лиц мы назовем вещественнозначную функцию о, определенную на подмножествах множества У и ставящую в соответствие любому Яс: У максиминное значение (для Я) игры двух лиц„которую разыграли бы Я и ЛГ ~5, если бы этц две коалиции действительно возникли. Таким образом, о(Я) представляет собой полезность, которую коалиция 5 может извлечь из игры независимо от действий остальных игроков.
По очевидным причинам из этого определения следует, что о(8) =О. (8.2.1) Далее, если Я и Т вЂ” непересекающиеся коалиции, то, очевидно, объединив свои усилия, они смогут получить не меньше, чем оставаясь разделенными. Следовательно, мы имеем свойство суаераддигивности о(5() Т) ' о(5)+о(Т), если Я(1 Т = 8. (8.2.2) При исследовании игр двух лнц мы обычно отказывались от позиционной формы н предпочитали иметь дело с нормальной формой игры. Это происходило потому, что нормальная форма значительно упрощает изучение смешанных стратегий, а именно в этих стратегиях и заключается сущность таких игр.
Сущность же нгр и лиц состоит отнюдь не в рандомнзации, а 'и образовании коалиций. Поэтому мы будем изучать характеристическую функцию, а не нормальную форму. Действительно, характеристическая функция наилучшим образом приспособлена для изучения коалиций, так как она характеризует возможность последних в предположении, что онн уже используют оптимальную (максиминную) рандомизацию. В дальнейшем мы будем отождествлять игру с ее характеристической функцией. ЧП!.2.3.
Определение. Игрой и лиц в форме характеристической функции мы будем называть вещественнозначную функцию о, определенную на подмножествах множества тЧ и удовлетворяющую условиям (8.2.1) и (8.2.2). Некоторые авторы отказываются от условия (8.2.2) и изучают функции, удовлетворяющие лишь условию о(кт) = О. Очень часто такие функции называют несобственными играми, тогда как Гл. УПг'. Игры п лиц удовлетворяющие условию (8.2.2) функции называются собственными играми. В данной книге везде, где это специально не оговорено, мы будем иметь дело только с собственными играми.
Как указывалось выше, о(5) представляет собой максиминное значение игры, разыгрываемой между 5 и №~,5. Предположим, что игра в нормальной форме имеет постоянную сумму (т. е. сумма полезностей, получаемых всеми игроками, всегда одна и та же). В этом случае интересы коалиций 5 и №,5 прямо противоположны, и если игра между ними конечна, то выполнены условия теоремы о минимаксе. Поэтому о (5)+ о(йг; 5) = о (У).
(8.2.3) Это приводит к следующему определению. 7Ш.2.4. Определение. Игра (в форме характеристической функции) называется игрой с постоянной суммой, если для любого 5 с: )У о (5) + о (У ~, 5) = о (У). Нужно отметить, что игра в форме характеристической функции может иметь постоянную сумму, не будучи в своей нормальной форме игрой с постоянной суммой. (Возможно даже обратное, т.
е. игра может иметь постоянную сумму в нормальной форме, не являясь игрой с постоянной суммой в форме характеристической функции, хотя этого и не может произойти с конечными играми.) Допустим, что игра п лиц разыграна. Не рассматривая вопроса о возникшей в действительности коалиционной структуре, мы интересуемся возможными векторами платежей. Если игроки пришли к определенной степени взаимопонимания, то они должны разделить общую полезность о(йг). (Для того чтобы это произошло в играх с постоянной суммой, никакого взаимопонимания не требуется.) Вообще говоря, такой раздел может быть произвольным, но, конечно, ни один из игроков не согласится получить меньше того минимума, который он может сам себе обеспечить.
УШ.2.8. О яр едел ение. Дележом (для игры п лиц с характеристической функцией о) называется вектор х = (х„..., х„), удовлетворяющий условиям (!) ~ч'„х, = о (гу), гып (й) хг ) о((г)) для всех г'ев Лг. Множество всех дележей игры о мы будем обозначать через Е(п). Можно возразить, что условие (() этого определения является чересчур сильным (кроме случая игр с постоянной суммой), ибо ИП.
8. Доминирование. Нормализация 167 весьма вероятно, что игроки не достигнут достаточного взаимопонимания и в результате будут вынуждены делить меньше, чем общее количество о(У), которое они могут получить. Хотя это и веское возражение, но, как будет видно в дальнейшем, большинство наших «концепций решения» исключает все векторы, не удовлетворяющие этому условию. Теперь вопрос ставится следующим образом: какой из дележей явится результатом игры? Это, конечно, сложная (если вообще разрешимая) проблема. Правда, возможна ситуация, при которой эта проблема тривиальна: а именно, если множество Е(о) состоит из одного элемента. В этом случае очевидным результатом будет этот единственный дележ.
То, какие коалиции образуются, не имеет значения. Это дает основание для деления игр на существенные и несущественные. Из супераддитивности о (использованной н раз) следует, что о (М) ~~~ о ((1)). 1ян Таким образом, если в (8.2.4) имеет место равенство, то Е(о) содержит только одну точку, и мы приходим к следующему определению.
7!И.2.6. Определение, Игра о называется существенной если . (М) > Х ((1)). 1ян В противном случае игра называется несущественной. Для нас представляют интерес только существенные игры. 7111. 3. ДОМИНИРОВАНИЕ. СТРАТЕГИЧЕСКАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ. НОРМАЛИЗАЦИЯ Пусть задана игра о, и пусть х и у — два дележа в этой игре.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
