Теория игр. Оуэн (1971) (1186151), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Трудность состоит здесь в том, что не существует абсолютной шкалы для измерения полезностей. Предположим, однако, что пространствами полезностей различных людей являются ограниченные интервалы. В этом случае будет существовать абсолютная единица полезности, а именно, длина этих интервалов. Мы можем нормировать все интервалы так, что они будут иметь своими концами О и 1. Тогда естественно сравнивать позезности по этим шкалам.
Задача, таким образом, сводится к вопросу о том, ограничено или нет пространство полезностей некоторого лица. Этот вопрос конечно, остается открытым. Исбелл, являющийся сторонником гипотезы об ограниченности интервала, приводит следующие доводы в пользу этой гипотезы. 1. Предположим, что мое пространство полезности неограничено сверху. Пусть А — событие, состоящее в том, что «ничто не меняется», а  — событие «меня варят в масле».
Так как пространство неограничено сверху, должно существовать такое событие С, что и(С) ) 2и(А) — и (В), а это означает,.что (С/2 + В/2) фА. Ио я не могу представить себе событие С, которое заставило бы меня предпочесть лотерею (С/2+ В/2) моему нынешнему положению в жизни. Следовательно, мое пространство полезности ограничено сверху. 144 Гл. РА Теория полезности 2. Предположим, что мое пространство полезности неограничено снизу. Пусть А — то же событие «ничто не меняется», а В— событие «я выигрываю миллион долларовж Теперь, если пространство неограничено снизу, то существует такое событие С, что Аф (0,999999 В + 0,00000! С). Но я не могу представить такого события С.
Следовательно, мое пространство полезности ограничено снизу. 3. Предположим снова, что пространство полезности неограничено сверху. Тогда существует такая последовательность событий Аь Аь, что и(А„) = 2". Тогда лотерея ~ 2 "А„ будет иметь бесконечную полезность (петербургский парадокс).
Для того чтобы избежать этого парадокса, нужно предполагать, что пространство полезности ограничено сверху. Аналогичным образом можно показать, что пространство полезности ограничено снизу. Таковы доводы Исбелла в пользу ограниченной полезности.
Можно возразить, что неспособность некоторого лица представить себе описанное событие С означает просто недостаточность его воображения, а петербургский парадокс — просто один из парадоксов. Вопрос, естественно, остается открытым. Можно только сказать, что хотя при ограниченной шкале полезности многое упростилось бы, тем не менее большинство из требуемых результатов получается без какого-либо использования ограниченности этой шкалы. Задачи 1.
Завершить доказательство теоремы Ч!.2.2. 2. (Показательство невозможносоц Эрроу.) В случае когда рассматриваются только ординальные полезности (но не лотереи), часто невозможно определить, какое действие должна предпринять группа людей. Рассмотрим группу из гл лиц, имеющих на выбор и альтернатив Аь Аз, ..., А,. Под профилем индивидуальных предпочтений мы понимаем функцию, которая для каждого лица 1 задает слабое упорядочение на множестве альтернатив.
Под функцией социального благосостояния мы понимаем функцию Г, которая для каждого профиля индивидуальных предпочтений задает упорядочение («социальное» упо. рядочение) на множестве альтернатив. Представляются разумными следующие аксиомы: А1: Р определена для всех профилей.
А2: Предположим, что для данного профиля альтернатива Ак предпочтительнее альтернативы Аз относительно функции г. Тогда Аз по-прежнему будет Задачи Г45 предпочтительнее Аь, если профиль предпочтений изменяется следующим образом: (а) Относительные порядки отличных от Аз альтернатив не меняются; (б) В каждом нидннидуальном упорядочении положение А, улучшается. АЗ: Пусть 61 — подмножество множества 6 = (Аь ..., Ач).
Предположим, что профиль предпочтений измениетси так, что относительные порядки элементов нз ()1 сохраняются. Тогда а социальном упоридочении г относительный порядок элементов из 6, также сохранится. Ач: Для иаждой пары альтернатив Аз и Аь существует такая система предпочтений, что з социальном упорндочении Аз предпочтительнее А,. А5: Не существует такого лица й что если для него А, предпочтительнее Аа, то и н социальном упорядочении также А; предпочтительнее Аю Аксиомы Эрроу А) — А5 несовместны при и ~ 3, т цй 2. (а) Говорят, что коалиция 3 валяется реи~аюи)ей для упорядоченной пары (АьА,) по отаошению к данной функции Р, если нсикий раз как А, предпочтитвньнее Аь длк всех членов из 3, то же самое предпочтение имеет место и в социальном упорядочении.
Множество является решающим, если оно является решающим по крайней мере длн одной упорядоченной пары (АьА,). (б) Пусть )г — минимальное решающее множество (т. е. У янляетсн решающим, но никакое собственное подмпожестао т' таковым не инляется). Тогда р чь'О. (н) Предположим, что )г является решающим для (АьАь). Пусть )чм)Г, и пусть А,— любая другая а.чьтернатина. Тогда Я является решающим для (АьА,), н, следовательно, ввиду минимальности )г мы имеем )г =(!). (г) Множество (() иилнетсн решающим для всех пар, что противоречит аксиоме А5.
Глава У11 ИГРЫ ДВУХ ЛИЦ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ СУММОЙ Т)!. !. БИМАТРИЧНЫЕ ИГРЫ (НЕКООНЕРАТИВНАЯ ТЕОРИЯ) До сих пор мы изучали, как правило, только игры с нулевой суммой. Такие модели достаточно точно описывают салонные игры или игры, в которых ставками являются небольшие количества денег (так что полезность будет почти линейной функцией денег), Однако если ставки имеют более сложное содержание, что часто бывает в экономических ситуациях, то интересы двух игроков уже не будут, вообще говоря, прямо противоположны; очень часто оба игрока могут выгадать путем кооперирования.
Такие игры называются играми с произвольной суммой; как частный случай они содержат игры с нулевой суммой. Вообще говоря, конечную игру двух лиц с произвольной суммой можно описать парой (тХп)-матриц А =(ап) и В =(ЬО), или, что эквивалентно, (т Х и)-матрицей (А, В), каждый элемент которой есть упорядоченная пара (ап, Ьо). Элементы ап н ЬО являются выигрышами (в единицах полезности) соответственно игроков 1 и 11, в предположении, что они выберут соответственно свои 1-ю и /-ю чистые стратегии.
Игра в такой форме называется биматричной игрой. Ясно, что во многих случаях кооперирование между игроками может принести им обоим выгоду. Однако может случиться, что, хотя такая кооперация взаимовыгодна, она запрещена правилами игры (например, антитрестовскими законами). Поэтому для бимат ичных игр мы различаем два случая. . Некооперативные (бескоалиционные) игры, в которых запрещается любой тип соглашения вроде совместного выбора стратегий и побочных платежей. 2. Кооперативные игры, в которых любая такая кооперация разрешается. Сначала мы рассмотрим некооперативные игры. Как и в случае игр с нулевой суммой, мы можем определить смешанные стратегии игроков 1 и 11 соответственно как т- и п-векторы с неотрицательными компонентами, сумма которых равна !.
Мы определим ситуацию равновесия очевидным образом. чП.!.!. Определение. Говорят, что ситуация (пара смешанных стратегий (х*, у*)) в биматрнчной игре (А,В) является ////. /. Бимотринные игры (неноонеротивноя теория) 141 ситуацией равновесия, если для любых других смешанных стратегийх и у хАу'т ( х"Ау'т х'Вут ~ х'Ву' Нас, естественно, интересует вопрос о существовании таких ситуаций.
Следующая теорема отвечает на этот вопрос утвердительно. УШ.2. Теорема. Каждая биматричная игра имеет яо краймей мере ое/ну ситуацию равновесия. Доказательство. Пусть х и у — ироизвольная пара смешанных стратегий в биматричной игре (А,В). Положим с,=щах (А, ут — хАут, 0(, д =/пах(хА. —,хАу", 0( х/+ е/, и/+ и' /+ ,'р ' /+~а Ф е Ясно, что преобразование Т(х, у) = (х', у'~ непрерывно. Кроме того, легко видеть, что как х', так и у' — смешанные стратегии. Покажем теперь, что (х',у') = (х, у) тогда и только тогда, когда (х,у) есть ситуация равновесия. Действительно, если (х,у) — ситуация равновесия, то ясно, что для всех ( А ут ~ «Аут и, следовательно, с; = О. Аналогично е// =0 для всех /. Следовательно, х' = х и у' = у.
Предположим теперь, что (х, у) не является ситуацией равновесия. Это значит, что либо существует такое х, что хАут > хАу*, либо существует такое у, что хВут > хВу". Предположим, что имеет место первый случай; доказательство во втором случае аналогично. Так как хАут есть взвешенное среднее величин А/.ут, должно существовать некоторое й для которого А;.ут> хАут, и, следовательно, для этого / будет с; ) О. Так как все се иеотрицательны, то Хсе>0. Далее, хАут есть взвешенное среднее (с весами х/) величин А/.ут. Следовательно, для некоторого /, такого, что х/)О, мы должны иметь Аьут ~ хАу". Но для этого / будет с,=О, так что к, х, =- <х/, /+ р,ее е н, значит, х'~ х.
148 Гл. ЛИ Игры двух лиц с произвольной суммой Во втором случае мы покажем, что у' чь у. Следовательно, (х', у') = (х, у) тогда и только тогда, когда (х, у) — ситуация равновесия. Далее, множество всех ситуаций является замкнутым, ограниченным и выпуклым и, следовательно, применима теорема Брауэра о неподвижной точке так как преобразование Г(х,у) = (х',у') непрерывно, оно должно иметь неподвижную точку. Эта неподвижная точка будет ситуацией равновесия. Заметим, что доказательство теоремы ЧП.1.2 легко обобщить на случай ситуаций равновесия в конечных играх и лиц.
Заметим, кроме того, что данное доказательство есть доказательство существования и не дает метода нахождения ситуаций равновесия, К задаче нахождения ситуаций равновесия в биматричных играх можно подходить с различных сторон, и в решении этой задачи удалось добиться некоторого успеха. По поводу деталей и методов читатель отсылается к литературе. Мы предпочитаем обсудить здесь трудности, связанные с понятием ситуации равновесия, а не излагать методы их нахождения; эти трудности ярче всего проявляются при сравнении ситуаций равновесия с аналологичным понятием оптимальных стратегий в играх с нулевой суммой (матричных играх). Как указывалось (теорема П.
1.2), в играх с нулевой суммой ситуации равновесия взаимозаменяемы и эквивалентны в том смысле, что если (х, у) и (х', у') — ситуации равновесия в матричной игре А, то ситуации (х, у') и (х', у) также равновесны и, кроме того, хАуг=х'Ау'т. Этот факт в сущности означает, что свойство принадлежать ситуации равновесия присуще вектору х (и не зависит от вектора у, который входит в ситуацию равновесия с вектором х); именно поэтому мы рассматриваем оптимальные стратегии, а не ситуацию равновесия.
Теперь мы приведем пример, показывающий, что это свойство не сохраняется в играх с произвольной суммой. ЧП.1.3. Пример (семейный спор). Рассмотрим биматрнчную игру с (4, 1) (О, 0)) (О, 0) (1, 4)/' Очевидно, что чистые стратегии х = (1, О) и у = (1, О), а также х'=(О, 1) и у'=(О, 1) образуют ситуации равновесия. С другой стороны, ситуации (х, у') и (х', у) не являются равновесными. Кроме того, выигрыши в этих двух ситуациях равновесия (х, у) и (х', у') различны; ситуация (х, у) предпочтительнее для игрока 1, а игрок П предпочитает (х', у').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
