Теория игр. Оуэн (1971) (1186151), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Таким образом, неясно, что эти ситуации равновесия абсолютно устойчивы; даже если игрок 1 знает, что игрок П выберет чистую стратегию у', он может настаи- У!А2. Задача а сделках 14У' вать на использовании х, а не х', надеясь, что это побудит игрока П переключиться на у. Вообще здесь трудно говорить о том, чу может произойти. (Нужно заметить, что смешанные стратегия х" =(4/5, 1/5) и уа = (1/5, 4~5) также образуют ситуацию равновесия.) Даже в случае„когда имеется только одна ситуация равновесия (что бывает часто), не очевидно, что она дает как раз то, что требуется (см.
следующий пример). Н1.1.4. П р и м е р (дилемма заключенного). Рассмотрим игру' с (5, 5) (О, 10)) (10, О) (1, 1) / ' Легко видеть, что в этой игре вторая строка доминирует пер-- вую, а второй столбец доминирует первый (если мы теперь очевидным образом изменим определение доминирования, данное выше для игр с нулевой суммой). Следовательно, единственная ситуация равновесия образуется вторыми чистыми стратегиями каждого игрока. Она определяет вектор выигрышей (1,!). Но если оба игрока сыграют «неправильно», т.
е, выберут свои первые чистые- стратегии, то в результате получится выигрыш (5, 5), что существенно лучше для обоих, Трудность состоит здесь в том, что каждый из игроков может выиграть еще больше, предав другого. УП. 2. ЗАДАЧА 0 СДЕЛКАХ Рассмотрим теперь случай игр, в которых допускается кооперирование между игроками, Это значит, что могут заключаться совместные соглашения, что допускается совместный выбор смешанных стратегий и что полезность может передаваться от одного игрока к другому (хотя и не всегда линейно).
Вообще говоря, имеется некоторое множество исходов, которое можно получить, если два игрока действуют совместно. Если мы для двух игроков выберем пару функций полезности, то зто мно— жество исходов можно отобразить в подмножество евклидовой плоскости Рь Образ этого множества при таком отображении будет замкнут и ограничен сверху (в том смысле, что ограничена сверху сумма координат точек образа). Кроме того, так как допускаются лотереи (путем совместного выбора смешанных стратегий), а полезность линейна относительно лотерей, этот образ- будет выпуклым.
Задача, таким образом, состоит в том, чтобы нз этого множества выбрать точку, которая будет удовлетворять- обоих игроков. Если дана игра двух лиц с произвольной суммой, то имеется некоторое подмножество Я плоскости )чь называемое допустамык. Гм ггИ. Игры двух лпч с произвольной суммой множеством. Оно допустимо в том смысле, что для любой точки (и, о)ен 5 игроки, действуя совместно, могут получить соответственно полезности и и о. Мы увидим, что, вообще говоря (но не обязательно всегда), чем больше получает один игрок, тем меньше сможет получить другой. Итак, сколько один игрок захочет дать другому? На какую плату за кооперацию с другим игроком он согласится? Хотя, конечно, невозможно установить, как будет действовать некоторое лицо (вообще говоря, имеется масса индивидуальных различий, которые необходимо принимать в расчет), тем не менее мы можем установить минимальную величину, на которую согласен игрок, Это та величина, которую он может получить одностороннимн действиями при любых действиях другого игрока.
Этой величиной является, конечно, максиминное значение игры для этого игрока. Обозначим эти два значения через и" и о'. Таким образом, в биматричной игре с матрицами (А, В) и' = шах пцп хАуг, з д о* = шах пип хВуг з з (7.2.1) (7.2.2) (где х и у выбираются из множеств всех смешанных стратегий). Предположим теперь, что нам дано множество 5 и максиминные значения (и', о*).
Мы хотим найти правило, которое приписывает такой тройке (5, и*, о*) «решение задачи о сделках»: гр(5, и", о') =(и, О). Нас, естественно, интересует„как должна быть определена такая функция ч~. Необходимо повторить, что, хотя исход в любом конкретном случае зависит от личных свойств игроков и их умения торговаться, можно сформулировать следующие, по-видимому, разумные условия, которые нужно наложить на любую такую функцию (аксиомы Дж.
Йэша); ЧП.2.1. 11! (индивидуальная разумность), (й, О) ~ (й, о'). Х2 (допустимость). (й, о) е= 5. ХЗ (оптимальность по Парето). Если (и, о) ен 5 и (и, о) ~ (й, б), то (и, о) = (й, О). Н4 (независимость от посторонних альтернатив). Если (и, О) е= Т ~ 5 и (й, б) =гр(5, и', о*), то (й, б) =гр(Т, и", о ). 1)б (независимость от линейного преобразования). .Пусть Т получается из 5 с помощью линейного преобразования и' = а, и + )3ь о' = а,о + рь Ибх.
Задача а сделках Тогда, если ф(5, и', о') =(й, б), то ф ( Т, а и' + 6 и азо' + рг) = (а й + 6 „и б + йз). !чб (снмметрия). Предположим, что 5 таково, что (и,п)ен5 (о,и)я5. Предположим также, что и' = п* н ф(5, и', о*) =(й, б). Тогда й = о. Из этих аксиом Ы1, К2 и ХЗ очевидны и не пух<даются в объяснениях. Аксиома И4 утверждает, что если точка (и, б) есть решение задачи о сделках и если допустимое множество расширяется, то решением новой задачи будет либо сама (и, б), либо.
одна из новых точек, но никак не точка в старом меньшем множестве. В таком виде (а также и в других контекстах) эта аксиома допускает критику. Аксиома Хб достаточно естественна, если мы предполагаем, что любая функция полезности так же хороша, как и любая другая. Она также допускает критику, если вводится абсолютная полезность (см. Ч!.4). Наконец, аксиома Хб вполне приемлема, если сделка идет между двумя одинаковыми лицами; она может оказаться неприемлемой в случае сделок между неодинаковыми игроками, например между лицом и коллективом.
Для функции ф можно было бы предложить и несколько других аксиом, например следующую: К7 (монотонность). Если Тс:5, то ф (Т, х', у') ~ ф (5, х", у*). К сожалению, эта аксиома несовместна с Х2 и ЫЗ. Так как трудно не согласиться с какой-либо из последних аксиом, мы заключаем, что Ы7 должна быть отброшена (хотя некоторые могут.
утверждать, что М7 не очень отличается от Х4). Вообще говоря, нам нет необходимости рассматривать другие аксиомы, потому что имеет место следующая замечательная теорема. ЧП.2.2. Теорема. Существует единственная функция ф, определенная для всех задач о сделках (5, х*, у*) и удовлетворяющая аксиомам Ы! — Ыб. Для доказательства этой теоремы мы докажем следующие леммы. ЧП.2.3.
Лемма. Если существуют такие точки (и,п)ен5, что и, > ич, о ) о*, то существует единственная точка (й, б), максимизирующая функцию й(и, о)=(и — и')(о — о') на подмножестве множества 5, для которого и ~ и*. Д о к а з а т е л ь с т в о. По предположению, это подмножество множества 5 компактно. Так как функция и непрерывна, она должна достигать на нем максимума. Также по предположению, этот. '$ 52 Гл, УИ. Игры двух лиц с произвольной суммой максимум М положителен.
Предположим теперь, что существуют две точки (и', о') и (и", он), которые максимизируют д(и, о). Так как М ) О, то не может быть и' = и", потому что из этого равенства следовало бы равенство о' = о", Предположим, что и' < и"; это значит, что о') о". Так как 5 выпукло, то (й, б)он 5, где й= (и'+ и")/2, б= =(о'+ о")/2. Но й(й, б) (и' — и*) + (и" — и") (о' — о*) + (о" — ') 2 2 (и' — и")(о' — о") (и — и')(о" — о') (и' — и") (о" — о') 2 + 2 4 Далее, каждое из первых двух слагаемых в последнем выражении равно М/2.
Но третье слагаемое положительно. Следовательно, д(й, б)) М, а это противоречит тому, что М вЂ” максимум й. Таким образом, точка (й, б), которая максимизирует д, единственна. Ч11.2.4. Л е м м а. Пусть 5, (и", о*) и (й, о) имеют тот же смысл, что и в лелгме ЧП.2.3, и пусть 6(и, о) =(б — о') и+(й — и*) о.
Тогда, если (и„о) ~ 5, то имеет место неравенство 6(и, о) с; :- Ь(й, б). Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что существует такая точка (и, о) он 5, что 6(и, о) > й(и, б). Пусть О < е < 1. В силу вы. пуклости 5 имеем (и', о') ~ 5, где и' = й + е (и — й) и о' = = б+ е(о — б). В силу линейности Ь(и — и, о — б) > О. Но д (и', о') = д (й, б) + ей (и — й, о — б) + е' (и — й) (и — б). При е- О последним слагаемым можно пренебречь, поэтому й(и', о')) д(й, о).
Но это противоречит максимальности д(й, о), Фактически лемма ЧН.2.4 утверждает, что прямая, которая проходит через точку (й, Р) н угловой коэффициент которой равен взятому со знаком минус угловому коэффициенту прямой, соединяющей точки (и, б) и (и*, о*), является опорной для 5, т. е. 5 лежит целиком ниже этой прямой нли на ней. Теперь мы можем доказать теорему ЧП.2.2. Фактически мы покажем, что в предположениях леммы ЧП. 2.3 точка (й, б), которая максимизирует й(и, о), должна быть решением задачи о сделках. Если же эти предположения не выполнены, то задача оказывается гораздо проще. Доказательство теоремы ЧП22.
Предположим, что выполнены условия леммы Ч1!.2.3. Тогда определена точка (и, й), которая максимизирует д(и, о). Эта точка, очевидно, удовлетво,ряет аксиомам Х! и Х2 по построению. Она удовлетворяет аксио- ! 53' М11.2. Задача а сделках ме ХЗ, так как если (и, о) = (й, о), но (и, о) чь(й, о), то й(и, о) > ) й(й,й), Она удовлетворяет аксиоме Х4, так как если она максимизирует д!и, о) на Я, то она тем более максимизирует эту функцию на меньшем множестве Т. Она должна удовлетворять- аксиоме !к!5, тах как если и' = а1и + 31 и о' = аао + [)м то д' (и', о') = [и' — (а,и'+ [)~)) [о' — (ало" + Ь1 = а|агй (и о) и, следовательно, если (й, о) максимизирует д(и, о), то (й', о') максимизирует д(и', о'). Наконец, (й, о) удовлетворяет аксиоме Хб.
Лействхтельно, предположим, что Я симметрично в смысле Хб и что и* = и'. Тогда (й, й) сна. Но ясно, что й(й, о) = д(о, й). Так как (и, с) — единственная точка, которая максимизирует д(и, о), отсюда следует, что (й, й) = (й, й), т. е. й = о. Таким образом, мы знаем, что точка (й, й) удовлетворяет аксиомам М! — Мб. Нам нужно теперь показать, что это единственная точка, которая удовлетворяет этим аксиомам. Пусть теперь. (й, й) определена, как выше.
Рассмотрим множество У =((и, о) !й(и, о) Я Ь (и, б)) (см. рис. ЧП.2.1). По лемме ЧП.2.3 Я ~ У. Пусть Т получается из 0 путем линейного преобразования (7,2.3) Легко видеть, что Т есть просто множества ((и', о') [и'+ о'~ 2); кроме того, и" = о*' = О. Так как Т симметрично, из Хб следует, что решение должно лежать на прямой и' = о', по ИЗ оно должно быть точкой (1, 1). Обращая преобразование (7.2.3) и применяя аксиому ХБ, получаем, что (и, о) должно быть решением для ((/, и*, о"). Но так как (и, о) ~Я, отсюда следует, что (и, й) должно быть решением для (Я, и*, о*).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
