Теория игр. Оуэн (1971) (1186151), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

Этот факт можно сформулировать как теорему: !Г !.2.3. Т е о р е и а . Если Л !з СТзВ и (гЛ + (1 — г) В) 3С, то 0 < г < 1; кроме того, г единственно. Доказательство. Мы видели, что г не может быть равно ни О, ни 1. Для доказательства единственности предположим, что з — любое другое число из (О, 1). Мы можем предположить, что з<г. Имеем 0<г — з<1 — з; так как в=~; ' в+,' ' в~ и АрВ, отсюда следует, что ' А+ —,' ' В~~В.

Теперь имеем гА+(1 — г)Вг вА+(1 — з)~ ', А+, ' В~, и ввиду аксиомы (6.2.5) (гА+(1 — г) В)$(зА+(! — з) В). Аксиомы, которые мы сформулировали, достаточны для построения функции полезности. Рассмотрим два случая. Первый состоит в том, что рассматриваемый индивидуум безразличен к любому выбору; иначе говоря, для любых двух событий А и В имеет место А3В. Не задаваясь вопросом о том, может ли существовать такой индивидуум в действительности (для него все события имеют одинаковую полезность, так что он скорее похож на растение, чем на человека), отметим, что на самом деле этот случай тривиален и его едва ли можно включить в рамки теории игр, Второй случай встречается в доказательстве следующей теоремы. (Нужно заметить, что теорема верна в обоих случаях, а не только во втором.) !Г!.2А.

Теорема. Существует такая функция и, отображающая множество всех событий в вещественные числа, что для любых двух событий А и В и любого г еи (О, 1) и(А)>и(В) тогда и только тогда, когда А$В, (6.2.6) и (г А + (1 — г) В) = г и (А) + (1 — г) и (В).

(627) П. 2. Лотереи (6.2.9) Положим и(А) = 1/т. (6.2.10 а) В случае (б) мы, очевидно, должны положить и (А) = 1. (6.2.106) В случае (в) существует такое з ен(0, 1), что (зЕ, + (1 — з) Ео) 3А. В этом случае полагаем и(А) =з. (6.2.10в) В случае (г) мы, очевидно, имеем и(А) =О. (6.2. 10г) Наконец, в случае (д) существует такое ! ен(0, !), что (!А + (1 — !) ЕД5Ео. В этом случае полагаем и (А) = (! — 1)/!. (6.2.10д) Кроме того, функция и единственна с точностью до линейного преобразования; иначе говоря, если существует другая функция о, также Удовлетворяющая (6.2.6) и (6.2.7), то найдутся такие вещественные числа а > 0 и р, что для всех А о (А) = аи (А)+ 6.

(6.2.8) Доказательство (с у ще с т в о в а ни е). Если для всех А и В будет А3В, мы можем просто положить для любого события и(А) = О. Предположим теперь, что существуют два таких события Е~ и Ео, что Е~фЕо. Согласно аксиомам Ъ!.1.2 для любого события А имеется пять возможностей: (а) А'$Еп (б) АЪЕ„ (в) Е1$АфЕо (г) А~Ео (д) Ео$А.

Положим прежде всего и(Е|) = 1 и и(Ео) = О. После этого для любого события А мы можем определить и(А) так, как будет показано ниже. Рассмотрим последовательно эти пять возможностей. В случае (а) имеем АрЕ~фЕо. По аксиоме непрерывности существует такое т еи(0, 1), что (тА+(1 — т) Ео)3Е,. 140 Гх И. Теория по.мэиосги Таким образом, мы определили функцию и(А) для всех событий А; теперь нужно показать, что эта функция удовлетворяет условиям (6.2.6) и (6.2.7).

Доказательство того факта, что и действительно удовлетворяет этим условиям, весьма длинно и зависит от того, какой из случаев (а), (б), (в), (г) или (д) имеет место для каждого из двух событий А и В. Мы докажем эти условия в предположении, что для обоих событий имеет место случай (в); доказательства для остальных 14 случаев аналогичны. Итак, пусть как для А, так и для В имеет место случай (в), и пусть и(А) = зь м(В) = зь Если з1 — — зм то как А, так и В эквивалентны (относительно 3) лотерее з,Е, + (1 — здЕе н, следовательно, АЗВ.

Если же з1) эм то, как и при доказательстве теоремы Ч1.2.3, можно показать, что (з~Е1 + (1 — з~) Ео) ЯзтЕь+ (1 — зт) Ео) и, следовательно, АфВ. Аналогично, если зт ) зь то Вт)А. Этим доказано, что и удовлетворяет условию (6.2.6). Для доказательства (6.2.7) возьмем ген(0, 1). Имеем А3(~~В~+ (1 — ~~) Е ), ВЗ (з2Е~ + (1 зе) Ео) и, следовательно, ввиду (6.2.4) (гА+(1 — г)В)3(т(з1Е~+(! з~)Ео)+(! г)ЬтЕ, +(1 — з,)Ео)) Поэтому (гА+(1 — г)В)3((тзр+(1 — т)зт)Е, +(т(1 — з~)+(1 — т)(1 — зз) Ео) и, значит, и (г А + (1 — «) В) = тз, + (1 — т) з„ и (г А + (! — т) В) = ги (А) + (1 — г) и (В).

или р = о (Ео) а = о (Е,) — о (Ее) ) О. Предположим теперь, что Е,~фА~фЕ,. Если и(А) = з, то А.! (зЕ, + (! — з) Ео) Наконец мы должны доказать, что функция и единственна с точностью до линейного преобразования. Действительно, пусть о — любая другая функция, удовлетворяющая условиям (6.2.6) и (6.2.7). Так как Е~фЕм мы должны иметь о(Е,)) и(Е,), так что можно положить Нз, набора товаров и поэтому о(А) = о(зЕ, +(1 — з)Еэ), о(А) = хо(Е )+(1 — з) о(Ео), о (А) = з (а + ()) + (! — з) р = за + (), о (А) = аи (А) + 8. Аналогично можно показать, что соотношение (6.2,8) имеет место для других случаев (а), (б), (г), (д).

Таким образом, мы доказали существование функции полезности. То, что эта функция не единственна, не имеет большого значения: различие между двумя функциями полезности определяется различием в положении нуля и единицы на шкале измерения, подобно различию между температурными шкалами Цельсия и Фаренгейта. По определению функция полезности и линейна относительно лотерей (уравнение (6.2.7) ). Тот факт, что в лотерее с двумя исходами первому исходу можно приписать любую вероятность между О и 1, означает, что областью значений функции полезности является выпуклое подмножество вещественной прямой, т.

е. интервал. Существует 11 типов интервалов; но один из них является пустым множеством, а другой, состоящий только из одной точки, соответствует, очевидно, упомянутому выше тривиальному случаю (случаю индивидуума, безразличного к любому выбору). Однако остается еще девять типов интервалов, и вопрос о том, какой из этих девяти типов в действительности соответствует данному индивидууму, остается открытым. У!.3.

НАБОРЫ ТОВАРОВ С абстрактной точки зрения полезности приписываются событиям любых типов. Так это и должно быть, ибо игроки проводят различие между событиями любых типов. Однако с точки зрения экономиста естественным приложением теории полезности является приложение ее к владению товарами.

Предположим, что имеется конечное число и основных товаров. Этими товарами обладают различные лица в различных количествах. Для обозначения количеств этих товаров, находящихся унекоторого лица (или группы лиц), естественно использовать и-вектор д = (чь, д ). Такой п-вектор мы будем называть набором товаров. Далее эти наборы товаров будут рассматриваться как события; иначе говоря, событие состоит в обладании данным набором. Таким образом, функция полезности будет определена на наборах товаров.

Здесь необходима осторожность: мы должны различать лотерею гд' + (! — г) о", Тл. У1. Теория полезности которая приписывает вероятность г набору д' н вероятность 1 — г набору д", и набор д, определенный равенствами д =гд'+(1 — г)у", 1=1, ..., и, который является фиксированным набором, а не лотереей. Например, д' может состоять из двух автомобилей без покрышек, а уи может состоять из десяти покрышек.

Ясно, что при г = 1/2 набор д (один автомобиль и пять покрышек) гораздо предпочтительнее, по крайней мере для большинства людей, чем лотерея гу' + (1 — г) у", Одно очевидное условие, которому должна удовлетворять функция полезности, есть монотонность: если д' ~ д, то мы должны иметь и(у') = и(д). Иногда также предполагается, что функция и непрерывна н имеет непрерывные первые и вторые частные производные (так как она монотонна, то по крайней мере почти везде она будет непрерывна и будет иметь первые частные производные). Частные производные ди(ду! = и, называются 4интивными иенами (они представляют, естественно, «справедливую» цену на некоторый товар при данном его количестве, выраженную в единицах полезности) . Говорят, что 1-й товар подчиняется закону убывания дохода, если для всех д д'и и» = — ~О.

'г~ Предполагается, что большинство товаров подчинено этому закону. Говорят, что 1-й товар удовлетворяет условию валовой заменимости 1см товаром, если ди д'и ип — — — — — -= О, до до дч т. е. если уменьшение количества 1ьго товара вызывает возрастание фиктивной цены 1-го товара. Так как обычно ии = ип, валовая заменимость является симметричным отношением. Говорят, что товары 1 и 1 являются дополнительными друг к другу, если и» вЂ”вЂ” и»~О, т. е. если увеличение количества одного из них вызывает увеличение цены другого. Говорят, что некоторый товар, например п-й, отделим, если его полезность не зависит от других товаров; иначе говоря, если существуют две такие функции ш = ш(дь ° д —.) и ср = !р(уп), что для всех у и(до ..., в„) = гв(до ..., в„,)+ <р(д„), ц!.4.

Абсолютная полчан«еть 143 Отделимый точар естественно использовать как средство обмена. В некоторых случаях функция ф линейна; если это имеет место для двух различных лиц, то мы будем говорить, что п-й товар линейно транс/1ерабелен между двумя игроками. Важность этого случая состоит в том, что если подходящим образом выбрать единицы полезности для этих двух игроков, то передача товара от одного игрока другому не меняет их общей полезности.

Следовательно, остальчые а — 1 товаров можно распределить так, чтобы максимизиров ть эту общую полезность; после этого можно использовать передачу п-го товара (побочный платеж) для того, чтобы исправгть «несправедливость», которая могла возникнуть после первой гроцедуры. К1. 4. АВСОЛЮТНАЯ ПОЛЕЗНОСТЬ В экономике иногда необходимо знать, «принесет ли некоторое действие лицу а больше пользы, чем оно навредит лицу 6». Теперь ясно, что отвез на этот вопрос нельзя дать, просто измеряя для этих двух лиц возрастание и убывание полезностей, которое вызывает данное действие, ибо, как мы указали, единицы шкал полезности произвольны и их нельзя использовать для сравнения полезностей разных лиц.

Характеристики

Список файлов книги