Теория игр. Оуэн (1971) (1186151), страница 34
Текст из файла (страница 34)
пример Ъ'|П.4.5), Иногда оказывается довольно трудно установить точные размеры этих сумм, но здесь мы не будем заниматься этим вопросом. ЧШ.4.7. П р и м е р (симметричные решения игр трех лиц). В примере Ч1П. 4.5 мы перечислили все НМ-решения для игр трех лиц с постоянной суммой. Мы покажем, как обобщить симметричные трехточечные НМ-решения для случая общих игр трех лиц. В играх трех лиц в (0,1)-редуцированной форме значения характеристической функции для коалиций с одним и тремя участниками определены заранее и, следовательно, остается определить эти значения только для коалиций с двумя игроками. В симметричных играх они одинаковы для всех таких коалиций, и поэтому такие игры определяются единственным параметром оь Этот параметр может изменяться в интервале !О, 1); при оэ = 1 получается игра с постоянной суммой (которую мы уже проанализировали).
тогда как при оз = 0 получается чистая «игра-сделка», в которой любой дележ входит в ядро, и поэтому ядро является единственным НМ-решением. Если оз велико (т. е. близко к 1), естественно ожидать, что игроки будут вести себя почти так же, как и в игре с постоянной суммой. Поэтому они в первую очередь будут стремиться попасть в коалицию из двух игроков. При этом ни один из них не может потребовать слишком много от предполагаемого партнера, и, следовательно, естественным результатом должно явиться соглашение между членами образовавшейся коалиции двоих о разделении дохода поровну. После того как коалиция двух игроков сформировалась, ее члены должны прийти к соглашению с третьим участником игры о дележе оставшихся 1 — о, единиц полезности.
Здесь уже нет никаких альтернатив, интересы коалиции и третьего игрока прямо противоположны, и поэтому получаемая коалицией сумма зависит только от способностей игроков к торгу. Таким образом, мы можем надеяться найти НМ-решение, состоящее из трех прямолинейных отрезков: (х, х, 1 — 2х) (х, 1 — 2х, х), о~/2 ( х ~ '/з (8.4.1) (1 — 2х, х, х) (см. рис. ЧШ.4.2). Устойчивость этого множества требует проверки.
Мы обиаружйм, что оно действительно устойчиво при оз й з/з. Внутренняя устойчивость доказывается следующим образом. ,Так как х ~ оз/2, мы имеем 2х ~ оь и, следовательно, дележ вида (х,х,! — 2х) может доминироваться только по коалициям (1,3) РН1.4. Ядро. НМ-решения 1тт ~ =4/13 Рис.
ЧШ.4.4. о =8/зз Рис. УШ.4.8. г~'чьгз, то (снова используя соображения симметрии) можно считать, что г~ гз+ За, где е > О. В этом случае г доминируется дележом (гз+ е, гз+ а, ге+ з) по коалиции (2, 3). Если, однако, дележ г имеет только одну компоненту не меньшую оз/2, или вообще не имеет таких компонент, то можно считать, что гз и гз меньше чем оз/2. В таком случае г доминируется дележом (из/2, оз/2, 1 — из) по коалиции (1,2). и (2,3).
Но ни один из дележей из (8.4.1) не может доминировать (х,х,1 — 2х) по коалиции (1,3). Действительно, если в дележе (у, у, 1 — 2у) будет у > х, то 1 — 2х > 1 — 283 если же у > х в дележе (Я,! — 2у, у), то 2у > оз и коалиция (1, 3) неэффективна, Соображения симметрии и аналогичные рассуждения завершают доказательство внутренней устойчивости. з Несложно доказать и внеш- з нюю устойчивость. Поскольку оз ~ з/з, любой дележ может е иметь не более двух компонент, не меньших оз/2, за единствен- з иым исключением в случае оз = = /з и при дележе (Чз, Чз, Чз) который в этой ситуации удовлетворяет (8.4.1). Таким образом, любой дележ, не удовлетворяю- 2 щий (8.4.1), имеет не более двух Р и с. Ч!11. 4.2. компонент, не меньших оз/2.
Предположим, что некоторый дележ г имеет две такие компоненты; симметричность игры позволяет считать, что это две первые компоненты, г, и гз. Если г~ — — гз, то г удовлетворяет (8.4.1). Если же 1тв Гл. ИИ. Игры л лия При о» < 9» проведенное исследование теряет силу. Действительно, внутренняя устойчивость сохраняется, но внешней уже не будет. Эти игры имеют ядро, состоящее из всех таких дележей У = (Уь Уь Уз), что У; Я 1 — оз при ! = 1, 2, 3. Можно проверить, что в этом случае объединение ядра н трех прямолинейных отрезков, задаваемых уравнениями (8.4.1), является НМ-решением (см. рис.
ЧП1. 4.3). При о» -= '/» эти три отрезка будут подмножествами ядра, и, таким образом, ядро является единственным НМ-решением (см. рис. ЧП1. 4.4). Как было показано, множество всех игр п лиц (в (О, 1)-редуцированной форме) составляет компактное подмножество (2"' — п — 2) -мерного евклидова пространства.
Используя меру .Лебега, можно сказать, что подмножество этого множества, имеющее ту же размерность, является положительной долей множества всех игр и лиц. Нижеследующие теоремы мы приводим без доказательства. ЧП!. 4.8. Т е о р е м а. Положительная доля всех игр и лиц имеет единственное ОМ-решение, совпадающее с ядром. ЧП!.
4.9. Т е о р е м а. Положительная доля всех игр п лиц имеет О Ч-решения, дискриминирующие п — 2 игроков. Эти решения исключают по меньшей мере и — 3 дискриминируемых игроков. У!11.5. МОДЕЛЬ РЫНКА ПО ЗДЖВОРТУ. ПРИМЕР На протяжении этой главы мы занимались чисто математическими рассмотрениями. Сейчас мы применим некоторые из них к вопросам экономического анализа. ЧП!.5.!. Рассмотрим следующую игру двух лиц с ненулевой суммой.
Игрок 1 имеет а единиц одного товара, в то время как игрок П имеет Ь единиц второго товара. Ни один из них не имеет товара, которым обладает другой. Мы выражаем это, говоря, что игрок 1 имеет набор (а, 0), а игрок П вЂ” набор (О, Ь). Для того чтобы произошел какой-либо обмен между игроками, необходимо, чтобы каждый мог извлечь некоторую полезность из замены своего набора на (х, у) и (а — х, Ь вЂ” у) соответственно, где 0 ~ х (а и 0 ~ у ~ Ь. Такие игры впервые рассматривались Эджвортом.
Он дал «решение», вполне аналогичное решению фон Неймана — Моргенштерна. Это — такое множество распределений А, что ни одно распределение из А не предпочитается обоими игроками другому распределению из А, но для любого не входящего в А распределения ((х, у); (а — х, Ь вЂ” у) ) в множестве А найдется распределение ((х', у'); (а — х', Ь вЂ” у')), которое предпочитают вба игрока. При любом распределении из А оба игрока получают по меньшей мере ту же полезность, что и при начальном распределении ((а, 0); (О, Ь)). Если предположить, что обмениваемые товары УШ. Д Моделе родинка ао Эдхеорту бесконечно делимы, то А обычно будет представлять собой кривую, называемую кривой контрактов. Понятие кривой контрактов графически иллюстрируется на рис.
ЧП1.5.1 с помощью системы кривых безразличия. Это — такие кривые, что любые две точки на кривой, выпуклой вниз, доставляют одну и ту же полезность игроку 1, а две точки на кривой, выпуклой вверх, доставляют одну и ту же полезность игроку 11. ((а,О), 10, Ь)) ((а,в),(О,О)) О,О), (а,е) (О, Ь)ба, О)) Р в е. Ч11!. О.!. Кривая контрактов является геометрическим местом точек касания кривых этих двух семейств с тем ограничением, что полезности обоих игроков должны быть не меньше тех полезностей, которыми они обладают до сделки.
Анализируя свою модель, Эджворт приходит к выводу, что если число игроков возрастает, то при некоторых не слишком ограничительных условиях кривая контрактов стягивается к единственной предельной точке. Он называет эту точку «рыночной ценой». Ниже будет дана математическая интерпретация этого факта. Рассмотрим рынок, состоящий из множества 1 = М () )Ч торговцев. Член 1 множества М имеет начальный набор товаров (ао О), а член 1' множества У имеет начальный набор (О, Ь)). Функция полезности игрока 1 равна ф~(х, у). Мы предполагаем, что каждая ф;(х, у) строго выпукла, (8.5.1) !)гп ф;(х, у)<оо для всех у, (8.5.2) Х-» е 1пп ф,(х, у)<оо для всех х, (8.5.3) е+ все ф; обладают вторыми частными производными, непрерывными на всей плоскости.
(8.5А) Гл. ИП. Игры а лия Допустим, что образовалась коалиция Я. Члены коалиции разделят свой совокупный набор товаров так, чтобы получить наибольшую общую полезность, а затем, возможно, произведут некоторые побочные платежи. Поэтому о (5) = шах / ~~'.~ ф, (хы у„) ~, х,р $ЙЕЯ (8,5.5) где максимум берется по всем таким наборам х и у, что х,ао, у„ао, Хх,= Х аь Х у,= Х Ь,. ьыв мызам ьыв Гывпв Мы примем упрощающее предположение, что все игроки имеют одну и ту же функцию полезности, т. е. ф(х,у)= ф(х,у) для всех ~'. В этом случае из строгой выпуклости ф следует, что оптимальным распределением товаров будет их распределение поровну.
Предположим также, что все игроки из М имеют одно и то же количество а первого тонара, а игроки из Ж вЂ” одно и то же количество Ь второго товара. При этих предположениях характеристическая функция игры дается формулой в(Я) = вф(в а/з, в„Ь/и), (8.5.6) где в, з и в, — число элементов в Я, Я П М и Я П У соответственно. Обозначим через [аи п[ игру, в которой М содержит т элементов, а Н содержит и элементов.
Рассмотрим игру двух лиц [1, 1). Ее характеристическая функция имеет вид «Ц) = ф (, 0), «2)) = ф (0, Ь), о «1, 2)) = 2ф (а/2, Ь/2). Эта игра имеет единственное НМ-решение, состоящее из всех ее дележей, т. е. из всех векторов (гь гг), для которых г, + гг = 2ф (а/2, Ь/2), г,)ф(а, О), гз ф(0, Ь). (8.5.7) (8.5.8) (8.5.9) Мы покажем теперь, что для любого и игра [а, а[ имеет НМ-решение, аналогичное задаваемому формулами (8.5.7) — (8.5.9). 'т'П1.5.2. Теорема. При любом и игра [п,п1имеет НМ-решение Р, состоящее из всех векторов х, для которых х; = г, при /е=М и х~ = гз ари / ен Ы, где г~ и гт удовлетворяют условиям (8.5.7)— (8.5.9) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
