Теория игр. Оуэн (1971) (1186151), страница 37
Текст из файла (страница 37)
1Х.2. 3. Определение. Пусть У = (Ть ...,Т ) — коалиционная структура, а К вЂ” коалиция. Тогда партнерами коалиции К в У' мы называем множество Р (К; У ) = (г! ю еБ тю тя П К чь Я) Таким образом, игрок 1 есть партнер К в У, если он принадлежит той же самой коалиции Тд, что и какой-либо из членов К. (Заметим, что каждый член К также является партнером К) Смысл этого определения состоит в том, что для того, чтобы члены К могли получить свою долю в коалиционно рациональной конфигурации (х; У ), им необходимо иметь согласие только своих партнеров.
1Х. 2.4. Определен не. Пусть (х; У ) — коалиционно рациональная конфигурация в игре и, а К и Š— непустые непересекающиеся подмножества некоторои коалиции Ти ен У . Тогда угрозой коалиции К против коалиции Е называется коалиционно рациональная конфигурация (д;%), удовлетворяющая условиям Р (К; ге') () 1. = Я, (9.2.4) уг)х, для всех (9.2.5) Уг ~ хг для всех 1~ Р(К; гц) (9.2.6) 1Х.2.5. Определение. Пусть (х;У ) — коалиционно рациональная конфигурация, К, Š— те же коалиции, что и в определении 1Х.
2.4, и пусть (у;%) — угроза коалиции К против коалиции 1.. Тогда конгругроэой коалиции Е против коалиции К называется коалиционно рациональная конфигурация (з; у'), удовлетворяющая условиям Кгг Р(Е;У), (9.2. 1) з, ) хг для !е= Р(Е„.уе), (9.2.8) зг ~уг дли (~Р(Е' ")ПР(К; 44). (929) Коротко говоря, члены коалиции К, выдвигая угрозу против Е, претендуют на то, что они смогут получить больше путем перехода к новой коалиционно рациональной конфигурации и что их новые парнеры будут согласны с этим. Члены коалиции Е могут выдвинуть контругрозу, если они сумеют найти третью коалиционно рациональную конфигурацию, в которой они и все их партнеры полу- 193 тХ. д устойчивые множества чат не меньше своей первоначальной доли.
Если для этого членам из т'. в качестве партнеров необходимы некоторые игроки из К, то этим игрокам они дают не меньше нх доли в коалиционно рациональной конфигурации угрозы. Заметим, что коалиции !. действительно может оказаться необходимым использовать в качестве партнеров некоторых игроков из К; однако !. не может использовать их всех. !Х.2.6.
Определение. Коалиционно рациональная конфигурация (х; У ) называется устойчивой, если для каждой угрозы коалиции К против коалиции !. коалиция !. может выдвинуть контр- угрозу. Множество всех устойчивых коалиционно рациональных конфигураций называется Я-устойчивым множеством '). Определение .й'-устойчивого множества требует некоторого обсуждения, Действительно, это определение можно несколько модифицировать. Например, мы могли бы потребовать, чтобы только отдельные игроки могли выдвигать угрозы или чтобы было бы достаточно возможности контругрозы со стороны только одного члена (.. !Х.2.7.
Определение. дт1-устойчивое множество есть множество всех таких коалиционно рациональных конфигураций (х; У ), что всякий раз, как любая коалиция К выдвигает угрозу против коалиции !., хоть один член из !. выдвигает контругрозу. )Х.2.8. Оп ред елен ие.
Мт-устойчивое множество есть множество всех таких коалиционно рациональных конфигураций (х; У ), что если любой игрок 1 выдвигает угрозу против коалиции а,, то л. выдвигает контругрозу игроку й Легко видеть, что я' с: йч1 н й' ~ жз. Соотношение между л'1 и М'з неясно. Наконец, можно предложить еще одну модификацию определения устойчивого множества. Она состоит в том, что вместо коалиционно рациональной конфигурации мы будем говорить об индивидуально рациональной конфигурации. Тогда мы придем к трем множествам .К, .Х, лйз, полученным соответственно из 1п 11> и> множеств чт(, Аь й(2. Можно показать, что в противоположность ядру, которое часто бывает пустым, ни одно из указанных выше устойчивых множеств не является пустым.
Действительно, если игра задана в (О,!)-редуцированной форме, то коалицноино рациональная конфигурация (х; У ), где х= (О, ..., О), а У =((!), (2), ..., (пЦ, очевидно, устойчива. С другой стороны, эта конфигурация указывает иа ') Это множество будет обозначаться той же буквой чй; аналогичное замечание отиоситсн н к дальнейшим определениям ыйгч НЗ-, ый1оь чм! -, ый~1-уСтойчнвых множеств.
— Прим. перев. !94 Гл. 1Х. Другие понятия решения а играя и лиц полное отсутствие кооперирования. Поэтому мы хотели бы найти элементы в устойчивом множестве для несколько более интересных структур. Действительно, имеется следующий важный результат: 1Х.2.9. Теорем а. Пусть о — игра и лиц, а У вЂ” любая коалиционная структура. Тогда существует по крайней мере один такой вектор х, что (х; У ) ен,йнто. Будем предполагать, что игра задана в (О,!)-редуцированной форме. Для данной коалиционной структуры У обозначим через Х(У ) множество всех таких векторов х, что (х; У ) является индивидуально рациональной конфигурацией.
Имеет место следующая лемма Б, Пелега: 1Х. 2.10. Л е м м а. Пусть с, (х), с,(х), ..., с„(х) — неотрица- тельные непрерывнсче вещественные функции, определенные для х ~Х(У ). Если для каждого хяХ(У ) и каждого Е;ен 1Т' суще- ствует такой игрок 1 св Зь что сг(х) ~ хь то существует такая точ- ка $ = Яь..., $„) с= Х(У ), что се($) ~ $; для 1= 1, 2, ..., п.
Доказательство л е м м ы. Для хан Х(У ) и 1~ /»1 поло- жим О, ь г х,— с,(х), если х, ~ с,(х), йг= если х, с с,(х), и если (ен оп то у; = х, — с1; + (1/з1) ~ с(», » ее 51 где з; — число элементов в Ер Ясно, что у — непрерывная функция х. Кроме того, у; ~ О, так как х,, йт и с;(х) все неотрицательны. Наконец, имеем У,= ~~'.~ х,=о(81), те Зт ! ш З1 так что у ен Х(У ). Предположим теперь, что х; ) сг(х). Это значит, что дг ) О, Однако, по предположению, х» ( с»(х) для некоторого й енЗ; и, следовательно, й» = О.
Поэтому у» =- х» + а,/з1 ) х„, и, значит, х ие является неподвижной точкой этого отображения. Но так как Х(У ) выпукло, применима теорема Брауэра о неподвижной точке и, следовательно, должно существовать такое 5, что у(9) = 9. Мы видели, что это 9 должно удовлетворять условию $т -с с»Д) для всех 1= 1, ..., п. !Х.2.11. Определение. Будем говорить, что игрок ! сильнее игрока /г в (х; У ), если 1 может угрожать игроку /г, а игрок /г не располагает контругрозой. Этот факт мы будем обозначать через !Х. 2. Устойчивые множество 1 » й. Мы будем говорить, что 1 н й одинаково сильны, и обозначать этот факт через 1 — Я, если ни 1» Й, ни Я » й 1Х.2.12.
Определение. Пусть (х; У ) — индивидуально рациональная конфигурация, а С вЂ” коалиция, Тогда эксцессом коалиции С называется величина е(С) = о (С) — ~~'„хи с 1Х.2.13. Л ем ма. Пусть (х; У ) — индивидуально рациональная конфигурация. Тогда отношение '» является ациклическим. Доказательство, Ясно, что если 1 и й принадлежат разным коалициям, то 1 — й. Предположим теперь, что коалиция З! содержит игроков 1, 2, ..., ! и что 1 » 2 » 3 ~... >>1>> 1. Таким образом, игрок с (! = 1, ..., 1) может выдвинуть угрозу игроку с + 1(гной!), которой соответствует коалиция Сь причем на эту угрозу нет контругрозы. Пусть Сь — коалиция (из Сь..., С,) с максимальным эксцессом.
Покажем, что (в может выдвинуть игроку !о — 1 (гпоб 1) контругрозу, которой соответствует коалиция Сь Действительно, игрок 1о — 1 (гной Г) имеет в своем распоряженйи только величину е(Си,) для образования коалиции угрозы, игрок !о, имеющий в своем распоряжении величину е(Сь) =" е(Сь,), либо располагает контругрозой, либо же (о — 1 (гпоб 1) ~ С, Повторяя это рассуждение, мы получим го — 2(гпоб1)~Сь и т.
д.; в конце концов мы получим Ео+! (пточ(1) ~ Сь, а это, очевидно, невозможно. !Х.214. Доказательство тео ремы 1Х.29. Пусть (х; У ) — индивидуально рациональная конфигурация. Обозначим через (у !, х т, У ) индивидуально рациональную конфигурацию, которая получается фиксацией х; для !~У'ч5; и заменой х» на у» для (г ен Еь где у» ~ О и ~ у, = в (Ег). » ы вт Пусть Е~(х) — множество таких точек у т, что в индивидуально рациональной конфигурации (у Г, х !, У) игрок 1 (1~5~) не слабее любого другого игрока. Множество Ег(х) замкнуто и содержит множество х, = О (если х; = О, то ! всегда располагает контругрозой как коалиция из одного игрока). Определим теперь функцию С, (х) = х, + гаах ппп (х» — у»), у'! ыв!(к1» 3! где Е, — коалиция в У, которая содержит к'. Далее, легко видеть, что функция С;(х) непрерывна; кроме того, она неотрицательна, в чем можно убедиться, показав, что если у,=О и у» ~ х» для всех й онЯть й Ф 1, то у ген Е~(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
