Теория игр. Оуэн (1971) (1186151), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Доказать теорему ! Х. 3.2, б. Доказать теорему 1Х. 3.4. 6, Доказать, что каждая игра четырех лиц с постоянной суммой представляет собой игру с квотой. Найти все й-устойчивые пары для й 1, 2, 3. 7, Пусть о — та же игра, что и в задаче УП).7. Показать, что для любой нетривиальной коалиционной структуры У множество всех таких х, что (х; у ) щ Л', пусто, а множество всех таких х, что (х; й) св лз1г1, непусто. Глава Х МОДИФИКАЦИИ ПОНЯТИЯ ИГРЫ Х.1. ИТРЫ С КОНТИНУУМОМ ИГРОКОВ При попытке применить теорию игр п лиц к экономическому анализу становится совершенно ясно, что игры с небольшим числом игроков едва ли могут адекватно описать явления свободного рынка. Поэтому нам необходимы игры со столь большим числом игроков, что любой отдельный игрок будет иметь пренебрежимо малое влияние на выигрыши других игроков. Как велико должно быть это число? Столь же велико, как и число точек на прямой.
(Обычно вместо прямой берется единичный интервал [О, Ц.) Лучше всего определить такую игру следующим образом. Х.1.1. О пределе ни е. Под игрой с континуумом игроков мы будем понимать а-алгебру 6 подмножеств интервала [О, Ц вместе с вещественной функцией о, определенной иа 6 и удовлетворяющей условиям (1) о(8)=0, (Н) о(А«)В) = о(А)+и(В), если А«)В= 8. Отметим, что элементы 6 называются, как и раньше, коалициями, а элементы интервала «О, Ц вЂ” игроками. Здесь следует быть осторожнее, чем в случае конечных игр. Например, нужно изменить определение (0,1)-редуцированной формы: теперь уже недостаточно требовать, чтобы о(«х)) = 0 для любой точки хен[0, Ц и о([0, Ц) = 1; эти условия можно соблюсти, если в качестве и взять, например, меру Лебега. Но мера аддитивна, и, следовательно, такая игра несущественна, Вместо этого мы переопределим (О,!)-редуцированную форму условиями о([0, Ц) =1, (10.1.1) п(5):-- О, если 5 еи Ь.
(10.1.2) Если а — мера на О и а ~ о, то а — О. (10.1.3) Условию (!0.1.3) можно дать другую формулировку. Именно, заметим, что если п = О, то функция множества а (5) = 1п1 ~ о (5,) „ (10.1.4) где инфнмум берется по всем таким последовательностям множеств 5; из 6, что1]5;:э 5, является внешней мерой. Но из супер- Х.l. Игры с кон»инуумом игроков 201 аддитивности о следует, что этот инфимум получается взятием «тонких» разбиений множества 5, а это в свою очередь означает, что все элементы О измеримы относительно а.
Таким образом, и есть мера на О. Далее легко видеть, что а — наибольшая мера, для которой а == о. Следовательно, (10.1.3) можно заменить условием: Если а определена формулой (!0.1А), то сс = О. (!0.1.6) Нужно заметить, что даже если о не является неотрицательной, то можно определить меру а, принимающую значения любых знаков, хотя и несколько другим способом. Вообще говоря, эта мера со знаком а будет заменять числа о ([г)).
Поэтому дележ в игре и определяется как любая такая мера о (со знаком), что а([0, Ц) = п([0, Ц), (10.!.6) а(5) ~а(5) для 5~6. (10.! . 7) Если игра (0,1)-редуцирована, то, конечно, условие (10.1.7) заменяется утверждением, что о должна быть просто мерой, а не мерой со знаком. Отношение доминирования также нужно определить заново. Действительно, для того чтобы о ) т по множеству 5, несомненно должно быть выполнено соотношение а(5) ( п(5); однако нельзя требовать, чтобы для всех А с: 5 выполнялось неравенство о(А) > т(А), так как это условие, конечно, не будет выполнено, если 5 несчетно и все одноточечные множества принадлежат О.
С другой стороны, очевидно недостаточно требовать просто а(А) == т(А) для А с 5, так как это могло бы привести к отношению о) о. Мы налагаем компромиссное условие, требуя, чтобы неравенство о(А) ) т(А) выполнялось для всех тех подмножеств А из д, которые удовлетворяют условию зпр [п(А[) В) — о(В))) О. в о Это условие позволяет нам, в сущности, пренебрегать «малыми» (например, конечными) множествами. С этими определениями дележа и доминирования точно также, как и для конечных игр, можно определить НМ-решения.
Вообще говоря, в таких играх мало что известно о НМ-решениях — столь же мало, как и в играх л лиц для больших и, — за исключением частных случаев. В частности, в простых играх НМ-решения существуют: если 5 — минимальная выигрывающая коалиция, то множество всех таких дележей а, что о = 0 на [О,Ц'~5, будет НМ-решением. (Мы предполагаем здесь, что игра (0,1)-редуцирована.) Хотя НМ-решениям было посвящено немного работ, значительное число работ было посвящено обобщению вектора Шепли на игры с континуумом игроков. Гл.
Х. Модифииаиии понизил игры 1з(5) = 2 ] хг(х. Тогда если о является функцией только Х, то ф[о] = г.; аналогично если о является функцией только р, то ф[о] = 1з. Предположим теперь, что для всех 5 ен 6 о (З) = р Ф) й Ф) Если мы положим о, = 1зз)2, оз = У)2, то будем иметь из = о + о ~ + ох = ()~ + 1з)з) 2.
(!О.!.8) Далее, ввиду аддитивности ф[о]=ф[оз] — ф[о ] — ф[оз] Так как Х, 1з и Х+ 1з являются мерами, легко вычислить правую часть этого уравнения. Действительно, оз зависит только от А + 1з; Вообще говоря, аксиомы 81 — ЬЗ гл. 1Х, определяющие вектор Шепли, можно применить непосредственно с соответствующими изменениями. Однако возникает некоторая трудность с аксиомой 82 (аксиома симметрии); перестановки множества У, которые там рассматривались, теперь нужно заменить на взаимно однозначные измеримые отображения интервала [О,Ц в себя.
Хотя, на первый взгляд, такая замена не могла бы вызвать никаких трудностей,мы увидим, что в некоторых вырожденных случаях она приводит к противоречию. Конечно, фактическое определение вектора Шепли для конкретной игры представляет значительную трудность, так как формула для этого вектора не применима в бесконечном случае.
Вообще говоря, для определения значения произвольной игры применяется метод, состоящий в разбиении интервала [О,Ц на подмножества (необязательно являющиеся подинтервалами). Затем эти подмножества рассматриваются как игроки и для соответствующей конечной игры вычисляется вектор Шепли ф[о]. Далее берутся все более и более тонкие разбиения интервала [О,Ц, после чего ф[о] (теперь это будет уже аддитивная функция множества, а ие вектор) определяется как предел значений для этих конечных игр (если этот предел существует). Предположим теперь, что существует мера 1з, определенная иа б и такая, что о(Я) зависит просто от )з(Я).
Например, мы могли бы иметь о(Я) = [1з(8)]з. Тогда по аксиоме симметрии если 1з(Я) = =1з(Т), то ф[о](Я) =ф[о](Т). Но так как ф[о] — аддитивная функция множества, ф[о] равна мере 1з, деленной на постоянное число для того, чтобы обеспечить равенство ф[о]([О, Ц) = о([О, Ц). Х.1.2.
Пример. Пусть Х(5) — мера Лебега, и пусть 1з(Я) задана формулой Х.2. Игры бег побочных плохехгеа. так как о,([0, Ц) = 2 и [Х+ р)([0, Ц) = 2, имеем р[ог) =Х+р. (!0.1.9) Далее, о, зависит только от !г. Мы имеем о~([0, Ц) = '/х; поэтому р[о ) =р/2 (10. 1.
10) и аналогично , [о.) =)./2. (10.1.1 Ц Обьединяя все эти выражения, получаем <р [о] = (й+ р)/2, (10.1.12) где функция о определена формулой (10.1.8). Аналогичным образом мы можем найти ~у[о) для любой полиномиальиой функции о от р и 1, и, следовательно, от любой конечной системы мер, Предположим теперь, однако, что о задана следующим образом: О, если Х(Я) (1, о(5) = 1, если й(Я) = 1. Здесь, очевидно, о является функцией 1, так что мы должны иметь ф[о) = !. Однако легко видеть, что р(Я) = ! тогда и только тогда, когда ЦЗ) =!. Следовательно, мы также имеем О, если р(Я) С 1, о(З) = 1, если р(Я) = 1.
и поэтому мы должны иметь ~р[о) = р. Это противоречие показы- вает, что в этой игре Ч(о) не может существовать. Оказывается, что описанный выше бесконечный процесс не имеет предела. Х. 2. ИГРЫ БЕЗ ПОБОЧНЫХ ПЛАТЕЖЕЙ Другим возможным обобщением игр, рассмотренных в гл. ЧП! и 1Х, являются игры без побочных платежей. В этих двух главах мы, в сущности, предполагали, что полезность линейно трансферабельна. Важность этих побочных платежей состоит в том, что они значительно упрощают описание игры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
