Теория игр. Оуэн (1971) (1186151), страница 38
Текст из файла (страница 38)
По лемме !Х.2.13 для любого хенХ(У ) и любого Е»~У существует такой игрок !яхт» что 1 не слабее никакого !вязан Гл. 1Х, Другие нанятая решения в играя и лия !96 (9.2.10) (9.2.1 1) (9.2.1 2) (9.2.13) х,+х,=!, Х! И '/2, Хя~ '/,, х, = х„= хз = О. Поэтому х~!~Е~2(х) и, значит, Сг(х) =- хь Следовательно, по лемме 1Х.2.10 существует такое $, что С;Я) ~ йг для всех /~й/. Далее, из равенства хя =,,"~ уя Яшэ1 Яшэ2 следует, что С;(х) -~ х, для всех 2.
Итак, фактически мы имеем равенство Сг($) = $2 для всех 1. Но это означает, что для любого ! существует такое уев Е; (9), что уя = $2, а это в свою очередь означает, что ~~! еи Е~ Я) для любых 1 и /. Следовательно, в конфигурации (9; У ) ни один игрок не сильнее другого, а это, конечно, означает, что (9; У ) еи,ля)п 1Х.2.15.
П р и м е р. Рассмотрим простую игру пяти лиц в (О,! )- редуцированной форме, в которой минимальными выигрывающими коалициями являются (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5) и (2, 3, 4, 5). Мы будем рассматривать два типа коалиционных структур: один, в котором имеется коалиция (1, 2), и второй, в котором имеется коалиция (2, 3, 4, 5).
Предположим, что образована коалиция (1, 2). Неважно, что делают другие игроки, но мы будем предполагать, что они не образуют никаких коалиций. Следовательно, У =((1, 2), (3), (4), (5)). Множество всех индивидуально рациональных конфигураций будет состоять из таких (х; У ), что х представляет собой 5-вектор, удовлетворяющии условиям х2+ Хе =1, Хз= Х4 = Хя = О, х~ ) О, хя ~ О. Далее, если х, ) '/ь то мы должны иметь хе < '/ь и поэтому игрок 2 может угрожать дележом (О, '/л, 2/е, '/ь 2/л».
Легко видеть, что игрок 1 не располагает контругрозой. Если же, с другой стороны, х, ( 2/ь то мы найдем, что любая угроза со стороны игрока 2 даст одному из его партнеров величину, меньшую '/4. Пусть, например, хе < '/4. Тогда игрок 1 может выдвинуть контр- угрозу дележом ('/ь О, 2/л,' О, 0).
Аналогично, если х,<'/2, то игрок 1 может угрожать, например, дележом ('/2, О, '/2, О, 0), и игрок 2 не может выдвинуть в ответ контругрозы. Однако если х| ~ 1/2, то любая угроза игрока 1 даст игрокам 3, 4 и 5 в совокупности меньше, чем '/2. Следовательно, игрок 2 может выдвинуть контругрозу — дележ х = (О, '/2, уе+ зе, ул+ зь уя+ зя).
Таким образом, для данной коалиционной структуры У конфигурация (х; У ) будет принадлежать множеству й1п тогда и только тогда, когда х удовлетворяет условиям /Х. д тт-устойчивость Ввиду симметрии аналогичные результаты будут иметь место и в случаях, когда образованы коалиции (1, 3), (1, 4) или (1, 5). Предположим теперь, что образована коалиция (2, 3, 4, 5), Мы должны рассмотреть все индивидуально рациональные конфигурации (х; У ), где х — неотрицательный вектор, сумма компонент которого равна 1, х, = О, а У = ((Ц, (2, 3; 4, 5)).
Предположим, что хз > хз. Тогда игрок 3 может угрожать игроку 2 дележом (1 — хз — в, О, хз + е, О, О), где 0 ( е < хз — хз. Легко видеть, что 2 не располагает контругрозой. Ввиду симметрии отсюда следует, что (х; У ) для этого У будет принадлежать зй'~ только для таких х, и! что х,=О, (9.2.14) х,=х,=х,=х, '/,. (9.2.15) !Х. 3. зу-УСТОИЧИВОСТЬ Несколько отличный от изложенного подход к процессу переговоров приводит к понятию зр-устойчивости. Как и в устойчивом множестве, исходом здесь является пара (х; У ), где х — вектор выигрышей, а У вЂ” коалиционная структура.
Однако идея, лежащая в основе зр-устойчивости, значительно проще; коротко говоря, рассматриваются только угрозы, а контругрозы в расчет не принимаются, Так как такое понимание устойчивости могло бы привести к тому, что множество устойчивых исходов оказалось бы слишком малым (пустым, за исключением ядра), мы уменьшаем число возможных угроз указанием того, что только некоторые коалиции могут угрожать данному исходу. Говоря формально, дана функция зр, которая каждому разбиению множества !У ставит в соответствие некоторый набор подмножеств тз'. Так, если У вЂ” разбиение, то зр(У ) — набор коалиций. Содержательно, 5~ зр(У ) тогда и только тогда, когда из данной коалиционной структуры У может образоваться подрывающая коалиция 5.
1Х.3.!. О пределе ни е. Пусть зр — функция, которая каждо- му разбиению У ставит в соответствие некоторый набор коали- ций. Тогда мы будем говорить, что пара (х; У ), где х — дележ, ф-устойчива в том и только в том случае, когда выполнены условия (!) ~ х, ~ о(5) для всех 5~зр(У ), (Й) если (з)ФУ, то х,>о(И). Условие (!) утверждает, конечно, что ни одна из «допустимык» коалиций не способна подорвать конфигурацию (х; У ).
Условие (1!) утверждает, что ни один игрок не присоединится к Гл. !Х. другие нонятия решения е играх л яиц 198 нетривиальной коалиции, если ои не получит больше своего минни аксного значения о ((1) ) . Вообще говоря, главная трудность в гр-устойчивости состоит в разумном выборе функции тр. Если функция т[ достаточно ограничительна, то устойчивых пар может оказаться много. Если же ф не слишком ограничительна, то может оказаться, что устойчивых пар вообще не существует или же что только ядро является гь-устойчивым, Одна из «разумных» возможностей выбора ф могла бы состоять в так называемой 1г-устойчивости, где [г — положительное целое число.
В этом случае ф определяется следующим образом: 3 я тр(У ) тогда и только тогда, когда существует такое Т ~ У, что множество ЯХТ = (Я'~,Т) [г' (Т',Б) имеет не более й элементов. Для таких функций гр мы приведем без доказательства следующие результаты; !Х.3.2. Теорем а. Любая игра и лиц с постоянной суммой (п — 2) -неустойчива, т. е, множество (и — 2) - устойчивых пар пусто. !Х.З.З. Определение. Говорят, что игра о для п лиц является игрой с квотой, если существует такой вектор го = (ыь ... ..., го,), что ~~'., от, = о(Лг) и для любых г, [ ен й[, (Ф г', имеет место равенство о((1, 1)) = ан + гор В игре с квотой игрок ( называется слабым, если ен < о((1)).
Легко видеть, что игра с квотой имеет самое большее одного слабого игрока, так как о(([, [)) ~ о((1) + о(Ц). Имеет место теорема. 1Х. 3.4. Т е о р е м а. Пусть (х; У ) есть Ьустойчивая пара в игре п лиц с квотой. Тогда, если п нечетко или если п четно и й ~ 2, мы должна иметь х = от.
Если п четно и я = [, то каждое ТеиУ будет иметь четное число элементов и, кроме того, Х х = Х ыь Гет гмт Наконец, игра с квотой со слабым игроком й-неустойчива для лю- бого й. 1. Если о — игра с постоянной суммой, то вектор Шепли р дается формулой ~р [о[ 2 )~~ ~ о (5)1 — о [У). Задачи 193 2. Игрой а лиц с т-квотой называется такая игра о, что существует век. тор ы - (ыь ..., ю ), удовлетворяющий условиям ~~~ ы, = о(И); для каж~ши дой коалиции М ~ И из т лиц ~и~~ ю = о (М), а для коалиции 5 из з м (зФт) лиц о(5) ~ о((1)). Говорят, что игрок 1 является слабым, если сшз ы~ < о((1)). В такой игре коалиционная структура й называется максимальной коалиционной структурой, если она содержит максимально возможное число (т.
е. [и/т)) коалиций из т лиц. а) Пусть о — игра с т-квотой ы и без слабых игроков, Если У вЂ” максимальнан коалиционная структура, то коалиционно рациональная конфигурация (х; У ) принадлежит устойчивому множеству Мз тогда и только тогда, когда х~ = ы; для всех 1, входящих в коалнпию нз т игроков, принадлежащую б) Пусть о — игра с т-квотой ы, а А — множество слабых игроков. Если и цт+ г, где 0 ~ г < т и ц ~ т+ 1, н если У" — максимальная коалнцион. ная структура, то коалицнонно рациональная конфигурация (х; У ) принадлежит Уз тогда и только тогда, когда хз = о((1)) для всех (тА и х~ в~ для 1 сы И ", А.
3. Для игры и лнц о и индивидуально рациональной конфигурации (х;У ) мы будем называть максимальпым эксцессом игрока 1 против игрока 1 и обозначать через зм величину з = шах е (Р), и где е(Р) — эксцесс Р, а максимум берется по всем таким коалициям Р, что (т Р, но 1Ф Р. Говорят, что игрок 1 перевешивает игрока 1, если зы ) зы и х, > о((1)). Говорят, что два игрока 1 и 1 находятся з равновесии, если ни одни из них не перевешивает другого. Ядро Лл есть множество всех таких индивидуально рациональных конфигураций (х; У ), что любые два игрока, принадлежащие одной и той же коалиции, находятся в равновесии.
а) Для любой коалиционной структуры У существует такое х, что [х;м ) тйТ. б) 3Т ~ лч )П. в) Если о — простая игра, а У имеет вщг (5, Ть ..., 74, где 5 — минимальная выигрывающаи коалиция, то (х; У ) сы Л' тогда и только тогда, когда для )см 5 о (5) — ~~~~~ о (())) +о (И) х = (где з — число элементов в 5). 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
