[учебник] Введение в теорию игр (с приложениями к экономике). Васин, Морозов (2003) (1186146), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Èåðàðõè÷åñêèå èãðû äâóõ ëèöÒåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ ñèòóàöèè ðàâíîâåñèÿ â èãðå ìíîãèõ ëèö ñ âîãíóòûìè ôóíêöèÿìè âûèãðûøà (ñì. òàêæå ñëåäóþùóþ ãëàâó) äîêàçàíàÕ. Íèêàéäî è Ê. Èñîäà [75]. Ïðèìåð 9.6 ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ìîäåëè Î. Êóðíî [59]. Áàéåñîâñêèå èãðû ââåäåíû Äæ. Õàðøàíüè [92]. Ïðèìåð9.10 âçÿò èç [91]. 10.
Òåðìèí "áèìàòðè÷íàÿ èãðà"áûë ïðåäëîæåí Í.Í. Âîðîáüåâûì(ñì.[34], ãäå ñîäåðæèòñÿ ñèñòåìàòè÷åñêîå èçëîæåíèå òåîðèè áåñêîàëèöèîííûõ èãð). Òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ ñèòóàöèè ðàâíîâåñèÿ â áèìàòðè÷íûõèãðàõ äîêàçàíà Äæ. Íýøåì [76]1 . Òàì æå ïðèâåäåíû ñâîéñòâà ñèòóàöèéðàâíîâåñèÿ â ñìåøàííûõ ñòðàòåãèÿõ. Óñëîâèå îáùíîñòè ïîëîæåíèÿ äëÿáèìàòðè÷íûõ èãð èñïîëüçîâàëè Ê. Ëåìêå è Äæ.
Õîóñîí [60] ïðè ðàçðàáîòêå àëãîðèòìà ïîèñêà âñåõ ñèòóàöèé ðàâíîâåñèÿ. Òåîðåìà 10.3 èìååòñÿâ êíèãå Ý. Ìóëåíà [71]. Èçëîæåííûé àëãîðèòì ïîèñêà ñèòóàöèé ðàâíîâåñèÿ áèìàòðè÷íîé èãðû ÿâëÿåòñÿ âåñüìà óïðîùåííûì âàðèàíòîì àëãîðèòìà Ê. Ëåìêå è Äæ.
Õîóñîíà [60, 79].Êîíöåïöèÿ ñèòóàöèè ðàâíîâåñèÿ, îñíîâàííàÿ íà èñêëþ÷åíèè äîìèíèðóåìûõ ñòðàòåãèé, ïðåäëîæåíà Ý. Ìóëåíîì [71]. Äîêàçàòåëüñòâî îòñóòñòâèÿ ñõîäèìîñòè èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà ê ñèòóàöèè ðàâíîâåñèÿ èãðûèç ïðèìåðà 10.1 ïðèíàäëåæèò Ë.Ñ. Øåïëè [103] 11. Îñíîâû òåîðèè èåðàðõè÷åñêèõ èãð ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðèíöèïà ãàðàíòèðîâàííîãî ðåçóëüòàòà äëÿ èãðîêà-ëèäåðà (èãðîêà 1) çàëîæåíû Þ.Á. Ãåðìåéåðîì [37, 38].  ÷àñòíîñòè, Þ.Á. Ãåðìåéåðó ïðèíàäëåæèò öåíòðàëüíûé ðåçóëüòàò ýòîò òåîðèè − òåîðåìà 11.1.
Àíàëîãè÷íûéðåçóëüòàò äëÿ èãð Γ3 (óïðàæíåíèÿ 11.1 è 11.2) ïîëó÷åí Í.Ñ. Êóêóøêèíûì [57]. Ýêîíîìè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ èåðàðõè÷åñêèõ èãð ïðåäëîæåíàÈ.À. Âàòåëåì è Ô.È. Åðåøêî [28]. Îïðåäåëåíèå ðàâíîâåñèÿ ïî Øòàêåëüáåðãó ñôîðìóëèðîâàíî â [95]. Îáçîð ðàáîò ïî èåðàðõè÷åñêèì èãðàì ñì.â [52].1 Äàæåãëàâó III)äëÿ áîëåå îáùèõ èãð ñ êîíå÷íûìè ìíîæåñòâàìè ñòðàòåãèé èãðîêîâ (ñì.133ÃËÀÂÀ III. ÈÃÐÛ ÌÍÎÃÈÕ ËÈÖ 12.Ðàâíîâåñèå ïî Íýøó. Ðåøåíèå èãð â íîðìàëüíîé ôîðìåÏóñòü èìååòñÿ ìíîæåñòâî A ó÷àñòíèêîâ èãðû èëè èãðîêîâ. Èãðîê aèìååò â ñâîåì ðàñïîðÿæåíèè ñòðàòåãèè sa èç ìíîæåñòâà ñòðàòåãèé S a .Êàæäûé èç èãðîêîâ âûáèðàåò ñòðàòåãèþ, íå çíàÿ âûáîðîâ ïàðòíåðîâ. Âðåçóëüòàòå â èãðå âîçíèêàåò íàáîð ñòðàòåãèéNs = (sa , a ∈ A) ∈ S =S a,a∈Aíàçûâàåìûé ñèòóàöèåé. Ó êàæäîãî èãðîêà a èìååòñÿ ôóíêöèÿ âûèãðûøà ua (s), îïðåäåëåííàÿ íà ìíîæåñòâå ñèòóàöèé S, êîòîðóþ èãðîê ñòðåìèòñÿ, ïî âîçìîæíîñòè, ìàêñèìèçèðîâàòü.
Òàêèì îáðàçîì, èãðà ìíîãèõëèö â íîðìàëüíîé ôîðìå çàäàåòñÿ íàáîðîìΓ = A, S a , ua (s), a ∈ A .Âàæíåéøèì ïðèíöèïîì ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé â êîíôëèêòíûõ ñèòóàöèÿõÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå ðàâíîâåñèÿ ïî Íýøó.Îïðåäåëåíèå. Ñèòóàöèÿ s = (sa , a ∈ A) íàçûâàåòñÿ ñèòóàöèåé ðàâíîâåñèÿ (ðàâíîâåñèåì ïî Íýøó) èãðû Γ, åñëèmax ua (s||sa ) = ua (s) ∀ a ∈ A.sa ∈S aÑòðàòåãèè sa , ñîñòàâëÿþùèå ñèòóàöèþ ðàâíîâåñèÿ, áóäåì íàçûâàòü ðàâíîâåñíûìè.Âûðàæåíèå "s||sa "÷èòàåòñÿ "s ïðè óñëîâèè sa ". Îíî îáîçíà÷àåò ñèòóàöèþ, â êîòîðîé âñå êîìïîíåíòû, êðîìå ñòðàòåãèè èãðîêà a , ñîâïàäàþò ñs , à ñòðàòåãèÿ èãðîêà a åñòü sa .
Îïðåäåëåíèå ðàâíîâåñèÿ ïîêàçûâàåò, ÷òîñòðàòåãèÿ sa , âõîäÿùàÿ â ñèòóàöèþ s, ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíîé äëÿ èãðîêàa ïðè ôèêñèðîâàííûõ ñòðàòåãèÿõ âñåõ îñòàëüíûõ èãðîêîâ. Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ðàâíîâåñèå ïî Íýøó − ýòî òàêàÿ ñèòóàöèÿ, îòêîòîðîé íè îäíîìó èç èãðîêîâ íå âûãîäíî îòêëîíÿòüñÿ èíäèâèäóàëüíî.Îïèøåì îäèí êëàññ èãð, äëÿ êîòîðûõ ðàâíîâåñèå âñåãäà ñóùåñòâóåò.Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ h(z), îïðåäåëåííàÿ íà âûïóêëîì ìíîæåñòâåZ åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà, íàçûâàåòñÿ êâàçèâîãíóòîé, åñëè äëÿ ëþáûõz 0 , z 00 ∈ Z è ëþáîãî ÷èñëà 0 < λ < 1 âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî134 12.
Ðàâíîâåñèå ïî Íýøó. Ðåøåíèå èãð â íîðìàëüíîé ôîðìåh(λz 0 + (1 − λ)z 00 ) ≥ min[h(z 0 ), h(z 00 )].Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ëþáàÿ âîãíóòàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ êâàçèâîãíóòîé. Ïðèìåðîì êâàçèâîãíóòîé ôóíêöèè íà ïðÿìîé ìîæåò ñëóæèòü ïðîèçâîëüíàÿ âîçðàñòàþùàÿ (èëè óáûâàþùàÿ ) ôóíêöèÿ.Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü z 0 ∈ Z. Äëÿ ôóíêöèè h(z), îïðåäåëåííîé íà Z ,ìíîæåñòâà âèäà Z + (z 0 ) = {z ∈ Z | h(z) ≥ h(z 0 )} íàçûâàþòñÿ ìíîæåñòâàìè Ëåáåãà.Óïðàæíåíèå 12.1.
Äëÿ òîãî ÷òîáû ôóíêöèÿ h(z) áûëà êâàçèâîãíóòîéíà âûïóêëîì ìíîæåñòâå Z, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû åå ìíîæåñòâàËåáåãà Z + (z 0 ) áûëè âûïóêëûìè ïðè ëþáûõ z 0 ∈ Z. Äîêàæèòå.Ïóñòü Z1 è Z2 − âûïóêëûå êîìïàêòû åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâ. Îïðåäåëèì òî÷å÷íî-ìíîæåñòâåííîå îòîáðàæåíèå Φ : Z1 → 2Z2 , ñîïîñòàâëÿþùåå êàæäîìó z ∈ Z1 êîìïàêò Φ(z) ⊆ Z2 .Îïðåäåëåíèå. Òî÷å÷íî-ìíîæåñòâåííîå îòîáðàæåíèå Φ : Z1 → 2Z2 íàçûâàåòñÿ âûïóêëîçíà÷íûì, åñëè ïðè êàæäîì z ∈ Z1 ìíîæåñòâî Φ(z) âûïóêëî.
Îíî íàçûâàåòñÿ çàìêíóòûì, åñëè åãî ãðàôèê{(z, y) | z ∈ Z1 , y ∈ Φ(z)} − çàìêíóòîå ìíîæåñòâî, ò.å. äëÿ ëþáûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé {z n ∈ Z1 } è {y n ∈ Φ(z n )}, òàêèõ, ÷òî z n → z 0 è y n → y 0 ,íåîáõîäèìî y 0 ∈ Φ(z 0 ). ÷àñòíîì ñëó÷àå Φ ìîæåò áûòü ïðîñòî îòîáðàæåíèåì èç Z â Z. Òîãäà ñâîéñòâî çàìêíóòîñòè îòîáðàæåíèÿ Φ ñîâïàäàåò ñî ñâîéñòâîì íåïðåðûâíîñòè. Òàêèì îáðàçîì, ïðåäûäóùåå îïðåäåëåíèå îáîáùàåò ïîíÿòèåíåïðåðûâíîñòè äëÿ òî÷å÷íî-ìíîæåñòâåííûõ îòîáðàæåíèé.Òåîðåìà 12.1 (Êàêóòàíè). Ïóñòü Z − âûïóêëûé êîìïàêò êîíå÷-íîìåðíîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà, à Φ : Z → 2Z − çàìêíóòîå âûïóêëîçíà÷íîå òî÷å÷íî-ìíîæåñòâåííîå îòîáðàæåíèå.
Òîãäà ñóùåñòâóåò íåïîäâèæíàÿ òî÷êà z 0 îòîáðàæåíèÿ Φ, ò.å. z 0 ∈ Φ(z 0 ).Äîêàæåì òåîðåìó äëÿ Z ⊂ E 1 .  äàííîì ñëó÷àå â ñîîòâåòñòâèè ñóñëîâèåì òåîðåìû Z − îòðåçîê [a, b]. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî Ẑ = {z ∈Z | max Φ(z) ≥ z}. Ýòî ìíîæåñòâî íåïóñòî, òàê êàê a ∈ Ẑ. Ïóñòüz 0 = sup Z è ïîêàæåì, ÷òî z 0 ∈ Φ(z 0 ). Äåéñòâèòåëüíî, max Φ(z 0 ) ≥ z 0 ,òàê êàê Φ(z) − çàìêíóòîå îòîáðàæåíèå. Äîêàæåì, ÷òî min Φ(z 0 ) ≤ z 0 .Åñëè z 0 = b, òî óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî.
Ïóñòü z 0 < b. Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {z k }, ñõîäÿùóþñÿ ê z 0 è äëÿ êîòîðîé z k > z 0 , k = 1, 2, ....135ÃËÀÂÀ III. ÈÃÐÛ ÌÍÎÃÈÕ ËÈÖÏî îïðåäåëåíèþ z 0 äëÿ íåå max Φ(z k ) < z k , k = 1, 2, .... Ïîýòîìó íàéäåòñÿ òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {y k ∈ Φ(z k )}, ÷òî y k < z k , k = 1, 2, ....Áåç ïîòåðè îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {y k } ñõîäèòñÿ ê y 0 ≤ z 0 . Ïîñêîëüêó Φ(z) − çàìêíóòîå îòîáðàæåíèå, y 0 ∈ Φ(z 0 ) èmin Φ(z 0 ) ≤ z 0 . Îòñþäà z 0 ∈ Φ(z 0 ).Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Êàêóòàíè â îáùåì ñëó÷àå îñíîâàíî íà òåîðåìå Áðàóýðà è ñîäåðæèòñÿ â Ïðèëîæåíèè (Ï3).Òåîðåìà 12.2.
Ïóñòü â èãðå Γ ìíîæåñòâà S a − âûïóêëûå êîìïàêòûåâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâ, à ôóíêöèè ua (s) íåïðåðûâíû íà S è êâàçèâîãíóòû ïî sa (ïðè ëþáûõ ôèêñèðîâàííûõ sb ∈ S b , b ∈ A\{a}). Òîãäà âèãðå Γ ñóùåñòâóåò ñèòóàöèÿ ðàâíîâåñèÿ.Äîêàçàòåëüñòâî. Îïðåäåëèì òî÷å÷íî-ìíîæåñòâåííîå îòîáðàæåíèåΦ : S → 2S ñëåäóþùèì îáðàçîì:ëþáîé ñèòóàöèè s ∈ S ïîëîæèìN äëÿa bΦ(s) =Φ (s , b ∈ A\{a}),ãäåa∈AdefΦa (sb , b ∈ A\{a}) = Arg maxua (s||ha )aah ∈S− ìíîæåñòâî íàèëó÷øèõ îòâåòîâ èãðîêà a íà ñòðàòåãèè sb , b ∈ A\{a},îñòàëüíûõ èãðîêîâ.
Íåòðóäíî ïðîâåðèòü,÷òî îòîáðàæåíèåNaabS → 2SΦ :b∈A\{a}çàìêíóòî (ñì. çàìå÷àíèå ê òåîðåìå 2.2) è âûïóêëîçíà÷íî. Ïîýòîìó îòîáðàæåíèå Φ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû 12.1 è èìååò íåïîäâèæíóþòî÷êó s ∈ Φ(s), êîòîðàÿ è áóäåò ðàâíîâåñèåì ïî Íýøó â èãðå Γ.Ñìåøàííîå ðàñøèðåíèå èãðûÏóñòü â èãðå Γ ìíîæåñòâà ñòðàòåãèé èãðîêîâ êîíå÷íû:S a = {1, ..., ma }, a ∈ A. Ñòðàòåãèè sa , âõîäÿùèå â S a , íàçûâàþòñÿ ÷èñòûìè ñòðàòåãèÿìè èãðîêà a. Cìåøàííàÿ ñòðàòåãèÿ èãðîêà a îïðåäåëÿåòñÿaaêàê âåðîÿòíîñòíîå ðàñïðåäåëåíèå π a = (π1a , ..., πma ), ãäå πsa − âåðîÿòíîñòüâûáîðà ÷èñòîé ñòðàòåãèè sa ∈ S a â êà÷åñòâå ðåàëüíîé ñòðàòåãèè èãðîêàa. Ìíîæåñòâî ñìåøàííûõ ñòðàòåãèé èãðîêà a − ýòî ñèìïëåêñmaPaΠa = {π a = (π1a , ..., πmπsaa = 1, πsaa ≥ 0, sa = 1, ..., ma }.a) |sa =1Äëÿ çàäàííîãî íàáîðà ñìåøàííûõ ñòðàòåãèéN aπ = (π a , a ∈ A) ∈ Π =Πa∈A136 12.
Ðàâíîâåñèå ïî Íýøó. Ðåøåíèå èãð â íîðìàëüíîé ôîðìådefîïðåäåëèì p(s|π) =Qπsaa − âåðîÿòíîñòü ðåàëèçàöèè ñèòóàöèèa∈As = (sa , a ∈ A). Òîãäà ìàòåìàòè÷åñêîåâûèãðûøà èãðîêà aP îæèäàíèåáóäåò çàäàâàòüñÿ ôóíêöèåé ua (π) =p(s|π)ua (s). Òàêèì îáðàçîì, ñìås∈Søàííîå ðàñøèðåíèå èãðû Γ â íîðìàëüíîé ôîðìå èìååò âèäΓ = A, Πa , ua (π), a ∈ A .Ñèòóàöèè ðàâíîâåñèÿ èãðû Γ áóäåì íàçûâàòü ñèòóàöèÿìè ðàâíîâåñèÿ â ñìåøàííûõ ñòðàòåãèÿõ èãðû Γ èëè ñìåøàííûìè ðàâíîâåñèÿìè ïîÍýøó.Êàæäàÿ ôóíêöèÿ ua (π), î÷åâèäíî, íåïðåðûâíà ïî π è ëèíåéíà ïî π aïðè ëþáûõ ôèêñèðîâàííûõ π b , b ∈ A\{a}. Ïîýòîìó èç òåîðåìû 12.2âûòåêàåò ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.Òåîðåìà 12.3.
 ëþáîé èãðå Γ ñ êîíå÷íûìè ìíîæåñòâàìè ñòðàòåãèéñóùåñòâóåò ñìåøàííîå ðàâíîâåñèå ïî Íýøó.Äëÿ àíàëèçà è âû÷èñëåíèÿ ñìåøàííîãî ðàâíîâåñèÿ ïî Íýøó ïîëåçíîñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Óòâåðæäåíèå 12.1. Äëÿ òîãî ÷òîáû ñèòóàöèÿ π = (π a , a ∈ A) áûëàñìåøàííûì ðàâíîâåñèåì ïî Íýøó, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáûmax ua (π||sa ) = ua (π) ∀ a ∈ A.sa ∈S aÁîëåå òîãî, ua (π||sa ) = ua (π) äëÿ ëþáîé òàêîé ñòðàòåãèè sa , ÷òîπ asa > 0.Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâàì ëåììû 10.1 è òåîðåìû 10.1.Ïðèìåð 12.1.
Êàæäîå èç òðåõ ïðåäïðèÿòèé, èñïîëüçóþùèõ âîäó èçïðèðîäíîãî âîäîåìà, ðàñïîëàãàþò äâóìÿ ñòðàòåãèÿìè: ñòðîèòü ñîîðóæåíèÿ äëÿ ïîëíîé î÷èñòêè îòðàáîòàííîé âîäû (ñòðàòåãèÿ 1) èëè æå ñáðàñûâàòü åå ÷åðåç èìåþùèåñÿ î÷èñòíûå ñîîðóæåíèÿ áåç áèîëîãè÷åñêîé î÷èñòêè (ñòðàòåãèÿ 2). Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îñîáåííîñòè âîäîåìà è òåõíîëîãè÷åñêèõ ïðîöåññîâ òàêîâû, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà íå ïîëíîñòüþ î÷èùåííóþâîäó ñáðàñûâàåò íå áîëåå îäíîãî ïðåäïðèÿòèÿ, âîäà â âîäîåìå îñòàåòñÿïðèãîäíîé äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ è ïðåäïðèÿòèÿ óáûòêà íå íåñóò. Åñëè æå íåïîëíîñòüþ î÷èùåííóþ âîäó ñáðàñûâàþò íå ìåíåå äâóõ ïðåäïðèÿòèé, òî137ÃËÀÂÀ III.
ÈÃÐÛ ÌÍÎÃÈÕ ËÈÖêàæäûé ïîëüçîâàòåëü âîäû íåñåò óáûòêè â ðàçìåðå òðåõ åäèíèö. Íàéäåìâñå ñèòóàöèè ðàâíîâåñèÿ â ÷èñòûõ è ñìåøàííûõ ñòðàòåãèÿõ îïèñàííîéèãðû òðåõ ëèö.Èñõîäíàÿ èãðà Γ ïðåäñòàâëåíà â òàáë. 12.1.Òàáë. 12.1.s111112222s211221122s312121212u1 (s) u2 (s) u3 (s)-1-1-1-1-10-10-1-4-3-30-1-1-3-4-3-3-3-4-3-3-3Ïîñòðîèì ñìåøàííîå ðàñøèðåíèå Γ. Ïóñòü pa ∈ [0, 1], a = 1, 2, 3, −âåðîÿòíîñòü, ñ êîòîðîé ïðåäïðèÿòèå a âûáèðàåò ñòðàòåãèþ 1.
Âîçìîæíûåñèòóàöèè â èãðå Γ ñîñòàâëÿþò ìíîæåñòâîΠ = {π = (p1 , p2 , p3 ) | pa ∈ [0, 1], a = 1, 2, 3}.Ôóíêöèÿ âûèãðûøà ïåðâîãî ïðåäïðèÿòèÿ â èãðå Γu1 (π) = p1 [−p2 p3 − p2 (1 − p3 ) − (1 − p2 )p3 − 4(1 − p2 )(1 − p3 )]++(1 − p1 )[−3p2 (1 − p3 ) − 3(1 − p2 )p3 − 3(1 − p2 )(1 − p3 )] == (−6p2 p3 + 3p2 + 3p3 − 1)p1 + 3p2 p3 − 3 = k 1 (p2 , p3 )p1 + l1 (p2 , p3 ).Àíàëîãè÷íî,u2 (π) = k 2 (p1 , p3 )p2 + l2 (p1 , p3 ), u3 (π) = k 3 (p1 , p2 )p3 + l3 (p1 , p2 ),ãäål1 (p2 , p3 ) = 3p2 p3 − 3, l2 (p1 , p3 ) = 3p1 p3 − 3, l3 (p1 , p2 ) = 3p1 p2 − 3,k 1 (p2 , p3 ) = −6p2 p3 + 3p2 + 3p3 − 1, k 2 (p1 , p3 ) = −6p1 p3 + 3p1 + 3p3 − 1,k 3 (p1 , p2 ) = −6p1 p2 + 3p1 + 3p2 − 1.138 12.
Ðàâíîâåñèå ïî Íýøó. Ðåøåíèå èãð â íîðìàëüíîé ôîðìåÏóñòü π = (pa , a = 1, 2, 3) − ïðîèçâîëüíàÿ ñèòóàöèÿ ðàâíîâåñèÿ. Ïîëîæèì123k = k 1 (p2 , p3 ), k = k 2 (p1 , p3 ), k = k 1 (p1 , p2 ).aaÇàìåòèâ, ÷òî åñëè k > 0, òî pa = 1, à åñëè k < 0, òî pa = 0, ðàññìîòðèìâñå âîçìîæíûå ñëó÷àè.aaÏóñòü k > 0, a = 1, 2, 3; òîãäà pa = 1 è k = −1 − ïðîòèâîðå÷èå.a3Ïóñòü k > 0, a = 1, 2, k < 0.  ýòîì ñëó÷àå ñèòóàöèÿ ðàâíîâåñèÿ(1,1,0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
