[учебник] Введение в теорию игр (с приложениями к экономике). Васин, Морозов (2003) (1186146), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Åñëè ïåðâûéèãðîê íà íåêîòîðîì øàãå èñïîëüçóåò ñòðàòåãèþ 1, òî â äàëüíåéøåì îíåå ñìåíèò íà ñòðàòåãèþ 3, ïîòîì ñòðàòåãèþ 3 íà ñòðàòåãèþ 2 è ò.ä. ïîñëåäóþùåìó öèêëó: 1 → 3 → 2 → 1. Ðàçîáüåì ðàññìàòðèâàåìûé ïðîöåññíà îòðåçêè øàãîâ ïîñòîÿííîãî èñïîëüçîâàíèÿ ïåðâûì èãðîêîì ñâîèõ ÷èñòûõ ñòðàòåãèé. Äëèíà òàêîãî îòðåçêà − ýòî ÷èñëî ñîäåðæàùèõñÿ â íåìøàãîâ.Ëåììà 10.1.
Äëèíà îòðåçêà ïîñòîÿííîãî èñïîëüçîâàíèÿ ïåðâûì èãðîêîì ëþáîé ÷èñòîé ñòðàòåãèè áîëåå, ÷åì â òðè ðàçà ïðåâûøàåò ÷èñëîøàãîâ ïðîöåññà, ïðåäøåñòâîâàâøèõ äàííîìó îòðåçêó.Äîêàçàòåëüñòâî. Áåç ïîòåðè îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïðîöåññíà÷èíàåòñÿ ñ ïàðû ñòðàòåãèé (i1 , j1 ) = (1, 1). Ïóñòü ïåðâûé èãðîê l1 =1 + s ðàç ïîäðÿä, íà÷èíàÿ ñ ïåðâîãî øàãà, âûáèðàë ñòðàòåãèþ 1 ( îäèíðàç ïðè ïàðå (1,1) è s ðàç ïðè ïàðå (1,3)). Äàëåå, ïóñòü îí l3 = t + hðàç âûáèðàë ñòðàòåãèþ 3 ( t ðàç ïðè ïàðå (3,3) è h ðàç ïðè ïàðå (3,2)).Çàòåì îí l2 ðàçà ïîäðÿä âûáèðàë ñòðàòåãèþ 2.
Òîãäà, ñîãëàñíî ðàíååäîêàçàííîìó, s ≥ 2, t ≥ 2s, h ≥ 2t ≥ 4s ⇒ l3 = t + h ≥ 6s. Íî l1 = 1 + s ≤3s/2 ≤ l3 /4. Ñëåäîâàòåëüíî, l3 ≥ 4l1 > 3l1 . Àíàëîãè÷íî ìîæíî äîêàçàòüíåðàâåíñòâî l2 ≥ 4l3 > 3(l1 + l3 ).Èòàê, óòâåðæäåíèå ëåììû äîêàçàíî äëÿ íà÷àëüíûõ îòðåçêîâ èñïîëüçîâàíèÿ ñòðàòåãèé 1,3 è 2. Çàâåðøèì äîêàçàòåëüñòâî èíäóêöèåé ïî ÷èñëóîòðåçêîâ èñïîëüçîâàíèÿ ïåðâûì èãðîêîì ñâîèõ ñòðàòåãèé.Ïóñòü ik = 3 è, íà÷èíàÿ ñ (k + 1)-ãî øàãà, ïåðâûé èãðîê l20 ðàç èñïîëüçîâàë ñòðàòåãèþ 2, çàòåì ñ (k + l20 + 1)-ãî øàãà îí l10 ðàç èñïîëüçîâàëñòðàòåãèþ 1 è äàëåå ñòðàòåãèþ 3. Òîãäà l10 ≥ 4l20 (ýòî äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî íåðàâåíñòâó l1 ≥ 4l2 ).
Èíäóêòèâíîå ïðåäïîëîæåíèå ñîñòîèò ââûïîëíåíèè íåðàâåíñòâà l20 > 3k. Íî òîãäà l10 ≥ 4l20 > 3(l20 + k).Èç ëåììû íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò, ÷òî åñëè â ìîìåíò k + 1 ïåðâûéèãðîê ìåíÿåò ñâîþ ñòðàòåãèþ i (ik = i, ik+1 6= i), òî i-àÿ êîìïîíåíòàâåêòîðà p(k) áîëüøå 3/4.Ïîñìîòðèì, êàê ïåðåìåùàåòñÿ òî÷êà p(k) â ñèìïëåêñå P − ìíîæåñòâåâñåõ ñìåøàííûõ ñòðàòåãèé ïåðâîãî èãðîêà. Èñïîëüçóÿ áàðèöåíòðè÷åñêèå121ÃËÀÂÀ II. ÈÃÐÛ ÄÂÓÕ ËÈÖêîîðäèíàòû, ñèìïëåêñ P ìîæíî èçîáðàçèòü íà ïëîñêîñòè â âèäå ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà (ñì. êîììåíòàðèé ê ðèñ.
4.1). Íà ðèñ. 10.3 òî÷êèM, N, è K ðàçáèâàþò ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà P â îòíîøåíèè 3:1. Îòðåçêè[e1 , M ], [e2 , K] è [e3 , N ], ïåðåñåêàÿñü, îáðàçóþò âíóòðåííèé òðåóãîëüíèêABC.e1e3BJ BJB J000BpbJ bNAB J B JBJBJKbBXJp0 bXXXX CXXX BJXXp00 JBXB Bb bXXXJMe2Ðèñ. 10.3 òå÷åíèå íåñêîëüêèõ íà÷àëüíûõ øàãîâ òî÷êà p(k) íàõîäèòñÿ â âåðøèíå e1 . Çàòåì îíà ïåðåìåùàåòñÿ âäîëü îòðåçêà [e1 , e3 ] äî íåêîòîðîé òî÷êè p0 , ìèíóÿ ïðè ýòîì òî÷êó K . Äàëåå òî÷êà p(k) äâèæåòñÿ âäîëü îòðåçêà[p0 , e2 ] äî íåêîòîðîé òî÷êè p00 , ïåðåñåêàÿ îòðåçîê [e1 , M ]. Çàòåì îíà ïåðåìåùàåòñÿ âäîëü îòðåçêà [p00 , e1 ] äî íåêîòîðîé òî÷êè p000 , ïåðåñåêàÿ îòðåçîê[e3 , N ], è ò.ä.
Ïðè ýòîì òî÷êà p(k) íèêîãäà íå áóäåò íàõîäèòüñÿ âíóòðèòðåóãîëüíèêà ABC , ñîäåðæàùåãî òî÷êó p0 = (1/3, 1/3, 1/3). Ïîýòîìó p0íå ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {p(k)}. Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî q 0 = (1/3, 1/3, 1/3) íå ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîéïîñëåäîâàòåëüíîñòè {q(k)}. 11.Èåðàðõè÷åñêèå èãðû äâóõ ëèöÇäåñü ìû ðàññìàòðèâàåì èãðû äâóõ ëèö, â êîòîðûõ èãðîêè ïðåæäå,÷åì âûáðàòü ñòðàòåãèè x ∈ X, y ∈ Y , ïðåäâàðèòåëüíî îáìåíèâàþòñÿèíôîðìàöèåé î ñâîèõ âûáîðàõ. Òàêîãî ðîäà èãðû îïèñûâàþò âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó âåðõíèì è íèæíèì çâåíüÿìè óïðàâëåíèÿ (íà÷àëüíèêîì èïîä÷èíåííûì, öåíòðîì è ïðîèçâîäèòåëåì ïðîäóêöèè è ò.ï.) è íàçûâàþòñÿ èåðàðõè÷åñêèìè.
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïåðâûé èãðîê îñóùåñòâëÿåòóïðàâëåíèå âòîðûì èãðîêîì è äåëàåò ñîîáùåíèå ïåðâûì.122 11. Èåðàðõè÷åñêèå èãðû äâóõ ëèöÐàññìîòðèìèñõîäíóþèãðó äâóõ ëèö â íîðìàëüíîé ôîðìåΓ = X, Y, F (x, y), G(x, y) , íà îñíîâå êîòîðîé áóäåì ñòðîèòü èåðàðõè÷åñêèå èãðû. Ïðè ýòîì íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü íàèëó÷øèé ãàðàíòèðîâàííûé ðåçóëüòàò (âûèãðûø), êîòîðûé ìîæåò ïîëó÷èòü â èãðå ïåðâûé èãðîê.  äàííîì ïàðàãðàôå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ôóíêöèè F (x, y) è G(x, y)íåïðåðûâíû íà ïðîèçâåäåíèè X×Y êîìïàêòîâ ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ.Èãðà Γ1 . Ïåðâûé èãðîê âûáèðàåò ñòðàòåãèþ x ∈ X è ñîîáùàåò åå âòîðîìó.
Çàòåì âòîðîé èãðîê âûáèðàåò ñòðàòåãèþ y ∈ Y , çíàÿ x. Ïðè ýòîì2áóäåì èñïîëüçîâàòü ñõåìàòè÷íóþ çàïèñü x→y . Ñìûñë ïîäîáíûõ ñîîáùåíèé î÷åâèäåí â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà èíòåðåñû èãðîêîâ áëèçêè. Íàïðèìåð,åñëè âû ðåøèëè ñ êåì-íèáóäü âñòðåòèòüñÿ, òî ñîîáùàåòå, êóäà ïðèäåòå. Èãðà Γ1 ÿâëÿåòñÿ íåàíòàãîíèñòè÷åñêîé îäíîøàãîâîé èãðîé ñ ïîëíîéèíôîðìàöèåé.Ýêîíîìè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ: ïåðâûé èãðîê (öåíòð) ñîîáùàåò âòîðîìó èãðîêó (ïðîèçâîäèòåëþ ïðîäóêöèè) öåíó x íà ïðîäóêöèþ. Âòîðîéèãðîê âûïóñêàåò ïðîäóêöèþ â êîëè÷åñòâå y , çíàÿ öåíó x.Ïîëåçíî çàïèñàòü èãðó Γ1 â íîðìàëüíîé ôîðìå.
Âòîðîé èãðîê èñïîëüçóåò ñòðàòåãèè âèäà g : X → Y . Ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ ñòðàòåãèéîáîçíà÷èì ÷åðåç {g}. ÒîãäàΓ1 = X, {g}, F (x, g), G(x, g) ,defdefãäå F (x, g) = F (x, g(x)), G(x, g) = G(x, g(x)).Íàéäåì íàèëó÷øèé ãàðàíòèðîâàííûé ðåçóëüòàò F1 ïåðâîãî èãðîêà âèãðå Γ1 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âòîðîé èãðîê, çíàÿ x, âûáèðàåòy ∈ Y (x) = Arg max G(x, y),y∈Yò.å. ìàêñèìèçèðóåò ñâîþ ôóíêöèþ âûèãðûøà G(x, y). Ïåðâûé èãðîê çíàåò ôóíêöèþ âûèãðûøà âòîðîãî èãðîêà, åìó òàêæå èçâåñòíî, ÷òî âòîðîéáóäåò âûáèðàòü ñòðàòåãèþ èç ìíîæåñòâà Y (x), íî îí íå çíàåò êîíêðåòíîãî âûáîðà y ∈ Y (x).Âåëè÷èíà W (x) = min F (x, y) íàçûâàåòñÿ îöåíêîé ýôôåêòèâíîñòèy∈Y (x)(ãàðàíòèðîâàííûì ðåçóëüòàòîì) ñòðàòåãèè x.Çàìåòèì, ÷òî ìíîæåñòâî Y (x) − íåïóñòîå è ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòîì.
Ñëåäîâàòåëüíî, min äîñòèãàåòñÿ è íàèëó÷øèé ãàðàíòèðîâàííûé ðåçóëüòàòy∈Y (x)èìååò âèä123ÃËÀÂÀ II. ÈÃÐÛ ÄÂÓÕ ËÈÖF1 = sup min F (x, y).x∈X y∈Y (x)Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü çàäàíî ε > 0. Ñòðàòåãèÿ ïåðâîãî èãðîêà xε íàçûâàåòñÿ ε-îïòèìàëüíîé â èãðå Γ1 , åñëè W (xε ) ≥ F1 − ε. äàëüíåéøåì ìû ïðèâåäåì ïðèìåð, â êîòîðîì sup íå äîñòèãàåòñÿ.x∈XÐåøèòü èãðó Γ1 − ýòî çíà÷èò íàéòè âåëè÷èíó F1 è ε-îïòèìàëüíóþ ñòðàòåãèþ xε ïðè çàäàííîì ε > 0.Èãðà Γ2 . Ïåðâûé èãðîê ïåðåä âûáîðîì x èìååò ïîëíóþ èíôîðìàöèþîá y. Îí õîäèò ïåðâûé è ñîîáùàåò âòîðîìó èãðîêó ñòðàòåãèþ âèäà f :Y → X.
Ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ ñòðàòåãèé îáîçíà÷èì ÷åðåç {f }. Ñõåìà12ñîîáùåíèé â èãðå Γ2 : f → y → x = f (y).Ýêîíîìè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ: f (y) − âåëè÷èíà ïðåìèè, îáåùàåìàÿöåíòðîì çà ïðîèçâåäåííóþ ïðîäóêöèþ y .Íàéäåì âûðàæåíèå äëÿ íàèëó÷øåãî ãàðàíòèðîâàííîãî ðåçóëüòàòà F2ïåðâîãî èãðîêà â èãðå Γ2 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âòîðîé èãðîê, çíàÿ f, âûáèðàåò y èç ìíîæåñòâà Y (f ) =Argmax G(f (y), y). Ìíîæåñòâî Y (f ) ìîæåòy∈Yîêàçàòüñÿ ïóñòûì, åñëè ôóíêöèÿ f ðàçðûâíà.  ñëó÷àå ïóñòîãî Y (f ) áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âòîðîé èãðîê ìîæåò âûáðàòü ëþáóþ ñòðàòåãèþ y ∈ Y.Îïðåäåëèì ìíîæåñòâî(Y (f ), Y (f ) 6= ∅,Y ∗ (f ) =Y,Y (f ) = ∅. ñäåëàííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ âòîðîé èãðîê âûáèðàåò y ∈ Y ∗ (f ) è îöåíêàýôôåêòèâíîñòè ñòðàòåãèè f çàäàåòñÿ ôîðìóëîéW (f ) = inf∗ F (f (y), y).y∈Y (f )Íàèëó÷øèé ãàðàíòèðîâàííûé ðåçóëüòàò ïåðâîãî èãðîêà èìååò âèäF2 = sup inf∗ F (f (y), y).f ∈{f } y∈Y (f )Îïðåäåëåíèå.
Ïóñòü çàäàíî ε > 0. Ñòðàòåãèÿ f ε íàçûâàåòñÿε-îïòèìàëüíîé â èãðå Γ2 , åñëè W (f ε ) ≥ F2 − ε.Ïîèñê âåëè÷èíû F2 ïî óêàçàííîé ôîðìóëå âåñüìà ñëîæåí, òàê êàêñâÿçàí ñ ðåøåíèåì îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷è íà ìíîæåñòâå ôóíêöèé {f }.Ìû äàëåå óïðîñòèì ôîðìóëó äëÿ F2 òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû îïòèìèçàöèÿâåëàñü ïî èñõîäíûì ìíîæåñòâàì X è Y.Èãðà Γ3 . Ïóñòü âòîðîé èãðîê èãðàåò ïðîòèâ ïåðâîãî â èãðó Γ∗2 , ò.å.124 11. Èåðàðõè÷åñêèå èãðû äâóõ ëèöñîîáùàåò åìó ñòðàòåãèþ g : X → Y (ôóíêöèþ îòâåòà). Ïåðâûé èãðîêâ èãðå Γ3 ïåðâûì ñîîáùàåò âòîðîìó ñòðàòåãèþ f1 : {g} → X.
Ñõåìà212ñîîáùåíèé â èãðå Γ3 : f1 → g → x = f1 (g) → y = g(x).Ýêîíîìè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ: f1 (g) − âåëè÷èíà ðåñóðñà, êîòîðûéâûäåëÿåò öåíòð ïðîèçâîäèòåëþ ïðîäóêöèè, êîãäà òîò ñîîáùàåò åìó ñâîèïðîèçâîäñòâåííûå âîçìîæíîñòè ( ôóíêöèþ g ).Íàèëó÷øèé ãàðàíòèðîâàííûé ðåçóëüòàò ïåðâîãî èãðîêà â èãðå Γ3 èìååò âèäF (f1 (g), g),F3 = supinf∗f1 ∈{f1 } g∈Y (f1 )ãäå(Y (f1 ), Y (f1 ) 6= ∅,Y (f1 ) ={g},Y (f1 ) = ∅,∗Y (f1 ) = Arg max G(f1 (g), g).g∈{g}Âåðíåìñÿ ê èãðå Γ2 .
Íàéäåì áîëåå ïðîñòóþ ôîðìóëó äëÿ F2 . ÏîëîæèìX(y) =Argmax F (x, y) − ìíîæåñòâî íàèëó÷øèõ îòâåòîâ ïåðâîãî èãðîêà,x∈XX ∗ (y) =Arg max G(x, y) − ìíîæåñòâî íàèëó÷øèõ îòâåòîâ ïåðâîãî èãðîx∈X(y)êà, áëàãîæåëàòåëüíûõ ïî îòíîøåíèþ êî âòîðîìó. Îïðåäåëèì ñòðàòåãèþïåðâîãî èãðîêà f ∗ : f ∗ (y) ∈ X ∗ (y) ∀y ∈ Y.Ëåììà 11.1. Ôóíêöèÿ G(f ∗ (y), y) ïîëóíåïðåðûâíà ñâåðõó â ëþáîéòî÷êå y 0 ∈ Y, ò.å. äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {y k }, ñõîäÿùåéñÿ êy 0 , âûïîëíåíî íåðàâåíñòâîlim G(f ∗ (y k ), y k ) ≤ G(f ∗ (y 0 ), y 0 ).k→∞(11.1)Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü â íåêîòîðîé òî÷êå y 0 ∈ Y ôóíêöèÿ G(f ∗ (y), y)íå ÿâëÿåòñÿ ïîëóíåïðåðûâíîé ñâåðõó. Òîãäà íàéäåòñÿ òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {y k }, ñõîäÿùàÿñÿ ê y 0 , ÷òîdefG0 = lim G(f ∗ (y k ), y k ) > G(f ∗ (y 0 ), y 0 ).k→∞(11.2)Áåç ïîòåðè îáùíîñòè ñ÷èòàåì (âûäåëÿÿ ñîîòâåòñòâóþùóþ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü), ÷òî f ∗ (y k ) → x0 . Èç íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè G(x, y) ñëåäóåòG0 = lim G(f ∗ (y k ), y k ) = G(x0 , y 0 ).k→∞125ÃËÀÂÀ II. ÈÃÐÛ ÄÂÓÕ ËÈÖÏîêàæåì, ÷òî x0 ∈ X(y 0 ).
Äåéñòâèòåëüíî, ïî îïðåäåëåíèþ ôóíêöèè f ∗èìååì F (f ∗ (y k ), y k ) ≥ F (x, y k ) ∀ x ∈ X, k = 1, 2, .... Îòñþäà, ïåðåõîäÿ âïîñëåäíåì íåðàâåíñòâå ê ïðåäåëó ïðè k → ∞, ïîëó÷èìF (x0 , y 0 ) ≥ F (x, y 0 ) ∀ x ∈ X ⇒ x0 ∈ X(y 0 ).Èòàê, íåðàâåíñòâî (11.2) ìîæíî çàïèñàòü â âèäåG0 = G(x0 , y 0 ) > G(f ∗ (y 0 ), y 0 ). Îíî ïðîòèâîðå÷èò òîìó, ÷òîf ∗ (y 0 ) ∈ X ∗ (y 0 ).Íàì ïîòðåáóåòñÿ ñëåäóþùèå âåëè÷èíû è ìíîæåñòâà:G2 = max min G(x, y) − íàèëó÷øèé ãàðàíòèðîâàííûé ðåçóëüòàò âòîy∈Y x∈Xðîãî èãðîêà ïðè óñëîâèè, ÷òî ïåðâûé ïðèìåíÿåò ïî îòíîøåíèþ ê íåìóñòðàòåãèþ "íàêàçàíèÿ"f í : f í (y) ∈Argmin G(x, y) ∀ y ∈ Y ;x∈XE =Argmax min G(x, y) − ìíîæåñòâî ìàêñèìèííûõ ñòðàòåãèé âòîðîãîy∈Y x∈Xèãðîêà;D = {(x, y) ∈ X × Y | G(x, y) > G2 }; sup F (x, y), D 6= ∅,K = (x,y)∈D−∞,D = ∅;M = min max F (x, y).y∈E x∈XÒåîðåìà 11.1 (Ãåðìåéåð).
 ñäåëàííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ íàèëó÷øèé ãàðàíòèðîâàííûé ðåçóëüòàò ïåðâîãî èãðîêà â èãðå Γ2 ðàâåíF2 = max[K, M ].Çàìå÷àíèå. Äëÿ íàõîæäåíèÿ F2 íåîáõîäèìî ðåøèòü îïòèìèçàöèîííûå çàäà÷è íà èñõîäíûõ ìíîæåñòâàõ X è Y. Îïòèìàëüíûå (ε-îïòèìàëüíûå)ñòðàòåãèè, îáåñïå÷èâàþùèå max[K, M ], áóäóò óêàçàíû â ïåðâîé ÷àñòèäîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû. Ðåçóëüòàò max[K, M ] äîâîëüíî âåëèê. ×òîáû âýòîì óáåäèòüñÿ, ðàññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé. Äîïóñòèì, ÷òî ñóùåñòâóåòïàðà (x0 , y 0 ) ∈Arg max F (x, y) ∩ D.
Òîãäà(x,y)∈X×YK = sup F (x, y) =(x,y)∈Dmax(x,y)∈X×YF (x, y) = F2 ,ò.å. ðåçóëüòàò F2 ðàâåí ìàêñèìóìó ôóíêöèè F (x, y) íà X × Y.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðâàÿ ÷àñòü. Ïîñòðîèì ñòðàòåãèè ïåðâîãî èãðîêà,îáåñïå÷èâàþùèå åìó ðåçóëüòàò max[K, M ]. Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ.126 11. Èåðàðõè÷åñêèå èãðû äâóõ ëèö1) K > M ⇒ D 6= ∅. Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ âñÿêîãî ε > 0 íàéäåòñÿòàêàÿ ñòðàòåãèÿ f ε , ÷òî W (f ε ) ≥ K − ε. Ïî îïðåäåëåíèþ âåðõíåé ãðàíèK íàéäåòñÿ òàêàÿ ïàðà (xε , y ε ) ∈ D, ÷òî F (xε , y ε ) ≥ K − ε. Ïîëîæèì(xε ,y = yε,εf (y) =f í (y), y 6= y ε .Ïîêàæåì, ÷òî W (f ε ) = F (xε , y ε ) ≥ K − ε.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
