Говорухин В., Цибулин Б. Компьютер в математическом исследовании (1185927), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Помимо самих уравнений в ЕОн могут быть заданы начальные или граничные условия. При их отсутствии Мар1е постарается получить ответ в общем виде. Возможны следующие формы задания граничных условий: Ч(п)=а, Н(пг в)=а. Ч(ч=п..п)-Е(1) Приведем пример решения линейного разностного уравнения второго порядка: > еО.=З*((п)-4*1(п-1)-Г(п-2): гас)че((еО.Г( 1)-О.Г(2)=2].(Г]): (Г(л) =3-9~-) ] Г1ч" '(3) С помощью параметра 'шахергос' команды гэо! че можно определить процедуру. Как известно„полиномы Чебышева могут быть заданы следующей рекуррентной формулой: > СС:-С(п>1) 2*к>С(п)-С(п-1): Т:-гас!Не((11,1(0)-1 д( 1)-х] д,'пааергос'): Т» рпос(л) !оса) с, ю, с, Ьсрои; Ьсрои» ргос(л) ...
епс) ргос; ы 1 <пагваог пос суре(л, глсевег) сьев 'ргоспапсс(агва) е1ав х:= Ьсрои(л — 1); с:= рл сот (ю 2 с)о с:= г+ 4[1,!]х(апау(1 .. 2 [(1)=х (2)=1])[г] епс) сю; ! епс( ст епс) ргос > Т(3); (4 ха — 1)х — 2х Отметим, что процедура была создана автоматически, программирование процедур рассматривается в главе 7 4Программирование в Мар]еи. Решение апгебраичеснихуравнений и неравенств 101 Используем для проверки имеющуюся в Мар!е стандартную функцию СпеЬузпечТ, определяющую полипом Чебышева (первого рода): > ехрапШТ(3))=ехрапй(СПеЬузнечТ(з,х)). 4 хз — 3 х = 4 хз — 3 х Для квалифицированной работы с некоторыми типами линейных разностных уравнений создана библиотека СйЕСоо[з. Для работы с ее командой СОМ может использоваться вызов с префиксом ЕКЕСоо1 а[СОН) или должна быть подключена вся библиотека: > юСП(ЕКЕСоо!з): [КЕсол/ел!, КЕсгеа!е, КЕр!о!, КЕрлтрага КЕгейисеогйег, КЕ!оОЕ, КЕгойеда, КЕ/аргос, пизой/зрегз/оп, сопззсоедзо1, 3, й(зрегз(оп, ецчсопд,бгзйдп, Иурегхеотзо!и ро(узо!з, гагра!узо!з, Песа!О з)з(К] Ограничимся тривиальным примером.
Введем неавтономное разностноеуравнение; > )ге:-ц(п+1)-(19/10+1/(и+2))*ц(п)-ц(п-1); /19 1 )ге:= О(л+ 1) = ~ — + — О(л) — О(л — 1) '(10 л+2 ) Обращение к гзо1 че приведет к повторению введенной команды: > гзо)че([)ге,ц(0)-0.9(1)-Ц.[ц)): /19 1 гзо)че~/( е(о+ 1) =~ — + — й(л) — К(л — 1), а(0) =О, а(1) = 1), (К)~ ~10 л+2) Обратимся к процедуре графического построения решения: > КЕр)оС(!ге.ц(п),[ц(0)-0,9(1)-Ц,О..90,ахез-Ьохее): зо -(о Для вычисления решения можно определить процедуру (текст не приводится): > Топ:-ЙЕСоргос()ге,ц(п),[ц(0)-0,9(1)-Ц ): С ее помощью можно вычислить значение для нужной итерации (шага) и. результат выводится рациональной дробью, поэтому рядом дадим десятичное представление: > 1оп(7).
етая(1ип(7),5): 104 Глава 4. Решение уравнений в ИарЕе 3454277273 252000000, 13.707 Для обозначения решения разностного уравнения введена структура йБ5о( — аналог структуры йооСОЕ представляющей решение разностного уравнения в том случае, когда явного решения нет. Обыкновенные дифференциальные уравнения В данном разделе речь пойдет о решении обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Вначале рассмотрим применение команды 0501 че для аналитического и численного решения ОДУ. Затем опишем специальную структуру ОЕ5оС позволяющую работать с неявно заданным решением дифференциального уравнения. Наконец, представим пакет ОЕСооЬ, команды которого предназначены для преобразования дифференциальных уравнений и поиска точных решений, численного решения задачи Коши и визуализации результатов расчетов. Для получения аналитических, приближенных и численных решений дифференциальных уравнений применяется команда сзо 1че, причем во всех случаях используется единый формат команды: вво1ае (00Е,УЛР.ОРТ) Здесь ООŠ— дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций УАР.
Для решения задачи Коши в уравнения ООЕ нужно включить также начальные условия, а для краевой задачи — соответственно краевые условия. Дополнительные условия ОРТ позволяют указать способ решения (Суре-...) и используемый метод (шеСлоп-...). Например, для получения численного решения в качестве ОРТ задается Суре-оовег1с, степенные разложения будут строиться при Суре-5ЕГ1ез, а метод Рунге — КуттыФельберга применяется для численного интегрирования, если введена строка шеСГ1о0-ГСГ45.
Прн определении способа решения левая часть "Суре-" может быть опущена. В уравнениях для указания производной применяются команды 01ГГ и оператор О, а для обозначения производной в начальных и краевых условиях используется оператор О. Система уравнений оформляется в виде множества: уравнения, начальные или краевые условия записываются через запятые и берутся в фигурные скобки. Аналитические решения ОДУ По умолчанию (дополнительные условия ОРТ не указаны), так как принято, что Суре"ехасС, Мар1е старается найти явное выражение для неизвестной функции (функций). При невозможности выделить искомую функцию (например, решение выражается через дробные степени) решение выводится в неявном виде.
Если требуется решение в явном виде, то необходимо указать дополнительное условие Обыннавенные дифференциальные уравнения 103 туре-ехр1(с11 (или просто ехр11011). Константа-параметр ЕпчЕхр1! 011 определяет способ представления решения. Если число краевых или начальных условий меньше порядка системы, то в ответе будут фигурировать неопределенные константы С1, С2 и т.д. Для уравнений первого порядка может быть использовано параметрическое представление, и тогда в ответе будет фигурировать константа (. Рассмотрим пример задания дифференциального уравнения н обращения к команде бэо1 че. Обратим внимание, что прн неполном задании уравнения (отсутствует знак равенства и правая часть) система Мар(е пополняет уравнение нулевой правой (илн левой) частью: > бе:-б<(((у(х).х>2) 4"б«((у(х),х)+3>у(х)>2; бе:=~ — у(х)~+4~ — у(х)~+3 у(х)+2 ' ~0х ! ~бх > бво)че(бе.у(х)).
2 (-33) (-3) у(х)=- — + С)е + С2е 3 Решение линейного уравнения второго порядка найдено в виде суммы экспонент с произвольными константами. То же уравнение при помощи оператора 0 запишется в следующем виде: > бе:-(И2)(у)( х)+4"0(у](х) -3"у(х) -2; бе:= (Р )(у)(х) + 4 Р(у)(х) + 3 у(х) + 2 Рассмотрим задачу Коши для этого уравнения. Определим начальные условия н обратимся к команде бэо1 че: > )с:-0(у)(0)-0.у(0)--1( бво1че((бе.<с).у(х)); )с:= Р(у)(0) = О, у(0) = -1 2 1 <ьо 1 (-3 ) у(х)=----е +-е 3 2 6 Отметим, что переменная )с имеет тип ехргэец (последовательность выражений), и объединение ее с уравнением бе потребовало заключения их в фигурные скобки для оформления выражения типа вес (множество). Если же переменную ) с сразу определить как множество, то первый аргумент команды бэо1 че должен быть оформлен как сумма множеств.
Для этого нужно взять переменную бе в фигурные скобки и применить специальную операцию объединения (цп(оп). Найдем решение краевой задачи. Для этого зададим краевые условия в виде множества и обратимся к команде бэо1че: > ьчр:-(0(у)(0)"О.у(1) -1); бво1че((бе) ил<оп ьчр.у(х)): Ьчр:= [Р(у)(0) О, у(1) -1) 1 2 е 3 (-3) -е 3 (.И (.3) (.!) <.3) 3 е - е 3 е - е 104 Глава й.
Решение уравнений в Мар[е Команда ово1 че предоставляет возможность определения базисных функций фундаментального решения дифференциального уравнения при указании параметра ортрщ= Ьаззв. Приведем соответствующий пример, заодно напомнив, что Мар1е легко обрабатывает символьные выражения, где бы они ни встретились, — здесь первый параметр команды содержит выражение, задающее новое, чуть измененное уравнение: > пзо1че(не-а*ехр(х).у(х).петрит=завоз); з-з !-зз 2 1 [е ™,е 1,--+-ае"~ 3 8 В Мар1е 6 можно просматривать ход решения при использовании г)501 че. Для этого надо выполнить команду > зпго)ече) [пзо)че) =3: !пГо)ече! ! := 3 В результате для линейного дифференциального уравнения пятого порядка с постоянными коэффициентами имеем: > не.=(0995)(у)(х)-(0993)(у)(х)+а'О(у)(х)-аоу(х); сзр1че(се): !зз !зз о(е;= (Р )(у)(х) — (Р )(у)(х) + а Р(у)(х) - а у(х) Иевнонз Гог Юдн ог!)ег ООЕз; Тгу1пд то 1зо1ате тае нег(чатзче 0"5у(зх 5...
5иссезз(п) ззп1атзап а! 0 5у!дх 5 -> Тгузпд с1азю (1сатзоп аегиодз Сгушд а диангагаге агу!пд )Пдп огне» ехаст )зпеаг Гп11у зп(едгаЬ)е Ггузпд )зпеаг сопзтап( сеет(1с1епт 1зпеаг сопзтап( сое(Г!с!епт зиссеззга) г 4 (хохол! х» а оо.вд»= »10 з ! Ответ содержит структуру йоотОГ, причем в качестве индекса выступает переменная а. Функции йоотОГ появляется, если для дифференциального уравнения не удается факторизовать характеристический полипом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
