Говорухин В., Цибулин Б. Компьютер в математическом исследовании (1185927), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Примеры использования команд пакета содержатся также в главе 10 «Примеры решения задач». Уравнения в частных производных Для решения одного уравнения в частных производных имееютсн команда рО601че и набор команд пакета РОЕ(ооЬ. Обращение к команде робо1 че имеет следующий вид: рабе)че (РОЕ,ЕОИ,ОРТ) Здесь РОŠ— уравнение, ЕО(ч' — неизвестная функция, а ОРТ вЂ” дополнительные параметры. Пакет Мар[е пытается найти общее решение, используя набор специальных методов для некоторых видов уравнений и метод разделения переменных в общем случае. Ответ может быть представлен специальной структурой РОЕбо5тшс, которая содержит термин ан))еге и состоит из двух полей: функционального представления и перечня обыкновенных дифференциальных уравнений, полученных в результате процедуры разделения переменных. Данная структура предназначена для указания возможных решений. Решение при этом может быть получено с помощью команды Ьо!1() из пакета РОЕтоо[в.
Уравнения а частных производных 119 В качестве дополнительных параметров ОРТ могут использоваться: указание на возможную форму решения Н1НТ-Н1, параметр 1НТЕИРАТЕ, означающий автоматическое интегрирование получающейся системы обыкновенных дифференциальных уравнений, указание на поиск явного решения Ьн(1б. В качестве Н1 могут стоять знаки суммы «+» и произведения «*» или алгебраическое выражение. Чтобы проиллюстрировать работу команды рбяо1 че, рассмотрим линейное гиперболическое уравнение первого порядка: > рб:=б1(((п(хл) Д)+2/З*б(СГ(о(хл),х)-0; ( д 2 д В результате обращения к команде рбяо1че получается общее решение «бегущая волнас< > яо1:-рбяо1че(рб); 3 2 При помощи команды р1 есеы1 яе организуем начальный профиль — полусинусоиду — и подставим его в решение, попутно образовав функцию для последующего построения графика: > С1:-х- р)есен(яе(х> 0 апб х<Р7.2'я1п(х)): у/:=х» р)осе»дяе(0 <х изб х<п,2 я(п(х)) > 5:-ппарр1у(гня(еча)(яо1, Р1 С1)).х,г): 3 3 .
( 3 Зхх(х,с)-»р(осе»с(яс(-се — х<Оапб с — — х — п<0,-2я(п(-с+ — х)) 2 2 ' ~ 2 Для изображения полученного решения обратимся к команде р1 ОСЗб: > р!оСЗФ5(хд).х--рс ..3/2«Р) д-О. 2"Р1,0г)б-(30,20]. яяу1е-Ш ббеп. а хея-Сгане.
ог1 епяая1оп-(-105. 101. 7 аое) я-Г'х", "1" . "и" 1. со1 ог-Ы асн); 2 н о 6 В качестве следующего примера рассмотрим уравнение теплопроводности: > Оная:-б1СС(н(х.т),С)б1СС(п(х.я),х,х): д дз Сс«ас:= — о(х, с) = — п(х, с) дс ' дхз Вначале будем разыскивать решение в виде произведения: 120 Глава 4. Решение уравнений в Ивр(е > Рави)ие(леаг.н!ИТ-"*"); (и(х,г) = Р1(х) Р2(г)) ш2гьеге с а а2 ! а Г2(с) = с Р2(г), 2 Р1(х) = с, Р)(х) ! Результат содержит неизвестные функции Г2(Е) и Гг(Е), а также константу сь Попробуем задать явное представление для решения через функции Х(х), Т(Ь) и дополнительно укажем, чтобы решение было выписано явно: > ао):=рсва)ге(леа(,Н1ИТ-Х(к)>Т(1).Ьи))Ш; и -'~ "2 ~-'2 " С! е СЗ хо(:=и(х,г)=е С)е С2е е Теперь определим параметры и получим частное решение: > аиЬ.=! с(1)=-4.
С1=1!2. С2=-1, СЗ=1]; > 5:=22'22р))ТХ(виа1(гни(аи)).аиЬЙ, 1-4 о 5:= е Ми(2 х) Рассмотренный пример показывает, как, используя подсказку, можно находить решения командой р()зо) ие. Пакет РОЕ1ооЬ Пакет РОЕ(оо(в предназначен для преобразования уравнений в частных производных и поиска аналитических решений, кроме того, в его состав входит графичеокая команда РОЕр)ог. В табл. 4А представлены краткие описания команд пакета для преобразования уравнений, а возможности команды РОЕр) ог рассмотрены далее. Для работы с дифференциальными уравнениями, как обыкновенными, так и в частных производных, применяются различные преобразования, аппарат теории групп Ли и др.
С развитием пакета Мар1е происходит унификация команд для проведения выкладок и нахождения решений близких по используемому аппарату дифференциальных задач. Так, команда дспасое из пакета РОЕ(оо(з позволяет проводить замену переменных в дифференциальных уравнениях и уравнениях в частных производных, интегралах и интегро-дифференциальных уравнениях, а также замещать глобальные переменные в процедурах. Обращение к команде Ьспалое имеет вид: асналде(ТЙ,ЕХРЙ.ИЕН.1тй.алони.илн2ианп,рагае,ргис) Обязательными параметрами являются Тй — множество соотношений, определяющих замену переменных, н ЕХРН вЂ” алгебраическое выражение или процедура, задающая уравнение.
При необходимости указываются: список имен новых переменных МЕМ (если не очевидны новые переменные), 1ТМ вЂ” множество соотношений, определяющих обратную замену. Дополнительными параметрами определяются имена известных функций Ипонп, имена функций, которые будут преобразованы, ипхпоно, список имен констант рагвшв, Задание этих параметров (Игквв). Уравнения в частных производных 121 цпспоып, рагашз) производится по единой форме, например Епоып-ИМЯ. Здесь ИМЯ— имя или множество имен.
Последний параметр ргос определяет процедуру, кото- рая будет использоваться для упрощения полученного выражения (уравнения, интеграла). Таблица 4,4. Команды пакета РОЕСоо(т Имя Назначение Решение обыкновенных дифференциальных уравнений, полученных применением процедуры разделения переменных Представление дифференциальных уравнений в виде подсистем Получение уравнений характеристик длв уравнения в частных производных Замена переменных в уравнениях, кратных интегралах, интегро- дифференциальных уравнениях и процедурах Выделение козффициентов при неизвестной и ее производных для полиномиального уравнения Определение порядка частных производных Подстановка выражений для производных Преобразование уравнений к другому виду Подстановка в уравнение предполагаемого решения и вычисление невязки Определение условий, при которых возможно решение уравнения методом разделения переменных Разложение системы уравнений на независимые подсистемы Вычисление характеристик ьо1)о сазезр1зт спагзтг)р оспапде оспе(тз Отттогсег озоЬ5 марсе рдесезс зерагаоз11(у зр11Сзуз 5Р11СБСгзР > тп СП(РОЕСоо1з.аспапде); Ое;-Озтт(х(С).С С)"а"2>х(С)=О; [ас)шале] (' аз ае:= — х(г) а' + х(г) = О ' ~ агз > Оспапде([С=Сап*а.х(С)-у(Сао)) Ае,'рагамз'-а).
с а' — у(т) +у(т) =О атг В следующем примере команда бсцапде применяется для уравнения в частных производных: > рде:-О!тт(т(х,у),х)+О1тт(т(х.у).у)+д(х-у,у)*о(х)+Ь*ч(х>у)-О: рг(е:=( — Г(х,у)~е( — Г(х,у)1+В(» у,у)о(х)+Ьч(хьу) — О (а ! (ау > Сг:-[х-г>з.у-г-з] гасла пде(Сг. рпе, Клона-д, цспонп-[ц. ч] ): (- а — Г(г,з)~+В(2»,г — е)о(г,з)+Ьч(г) О а. Для иллюстрации работы команды бспапде приведем замену переменных для урав- нения гармонического осциллятора: 122 Глава 4. Решение уравнений в Нар(е Команда РОЕр1оТ Таблица 4.Б. Параметры команды РОЕР!оС Имя Назначение Анимация многообразий решения (ап)васе-Сгое).
По умолчанию при и-2 действует ап1пвсе Сгое и ап1васе Га1 пе при п>2 Режим отображения начального условия на плоскость (х,у) при Ьапеслаг-сгое, По умолчанию принято Ьапесппг Гп!зе Цвет решения Заданные в виде равенств или неравенств ограничения на начальные условия для первых производных Цвет кривой начального условия Число шагов интегрирования между вычмсляемыми точками. По умолчанию псегаспопп-1 Численный метод интегрирования вдоль характеристик, см. перечень методов для команды гво) че Число точек для построения гиперповерхности решения. Задается в виде списка или числа, по умолчанию попснаг-20 Количество вычисляемых точек.
По умолчанию повпсерп-(-10,101 Прекращение (ЬЬпгапве-Сгое) интегрирования, если отображаемая переменная вышла из заданного диапазона, и режим безусловного расчета при оьпгапйе та1пе Определение осей рисунка Шаг интегрирования, по умолчанию задано максимальное значение ксеро пе-О. 20 Определение диапазонов отображения переменных и функций ппппвсе-ВОВЕ Ьапеслаг ВОВС со)аг-ЕОС 1с апзоврС1опп пп)Ссо)ог-ЕОЕ псегаС1опп-И веспос=НЕТ повспаг-И пвппсерп-(И.И) бппгапсе-ВОВЕ псепе-(х,у,о(х,у)1 зсерз1ге ЧАС х! х!в1п..х1пвх, о(х,у...) опп'п..омах В табл. 4.5 представлен перечень параметров команды РОЕр1 от и использованы следующие обозначения: ВООŠ— булеза константа, И, М вЂ”, целые числа, ЧАС. — вешествен- Для изображения решения уравнения в частных производных первого порядка применяется команда РОЕр1оС, обращение к ней имеет вид: РОЕр)оС ( РВЕ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
