Говорухин В., Цибулин Б. Компьютер в математическом исследовании (1185927), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Структура содержит термин йыдеге и состоит из двух полей: функционального представления в новых переменных и списка трех множеств (редуцированное дифференциальное уравнение, прямое и обратное преобразования переменных). Конечно, простое перечисление типов дифференциальных уравнений мало информативно и для использования упомянутых команд требуется обращение к справочной системе. В то же время любое изложение темы ОДУ будет неполным уже в момент написания вследствие усилий разработчиков Мар[е, затрачиваемых на развитие разделов, посвященных решению дифференциальных задач.
114 Глава 4. Решеиие уравнений в Мар!е Начнем описание графических возможностей пакета ОЕСоо(з с команды ОЕр] оС, предназначенной для вывода графиков решений системы дифференциальных уравнений. Возможные форматы обращения к команде имеют вид: ОЕР)оС(ООЕ,ЧАР.Т Т.1И!.ОРТ) ОЕР)оС(ООЕ.ЧАР,Т Т,1И1, Х Х, Ч Ч,ОРТ) Здесь приняты следующие обозначения для параметров; ООŠ— система п уравнений первого порядка или одно уравнение и-го порядка; ЧЯЙ вЂ” имена переменных; Т Т вЂ” область изменения независимой переменной; !)Ч! — начальные условия; Х Х и Ч Ч вЂ” масштабы изменения функций решения; ОРТ вЂ” дополнительные параметры. Хотя для проведения расчета требуется задать много параметров (метод, шаг, точность и т.
д.), разработчики Мар!е постарались выбрать разумные назначения для стандартных ситуаций. Поэтому дополнительные параметры ОРТ могут отсутствовать. При интегрировании уравнений все символические переменные, кроме имен функций и независимой переменной, должны получить численные значения.
Первый аргумент ООЕ может принимать разные формы. Например, для системы из двух уравнений первого порядка допустимы следующие варианты; ЕФ(Т(х(С),С) Т1(С,х.у), ЩТТ(у(С).С)-Г2(Сосу)3 или (0(х)(С) (1((,и,у), 0(у)(С) Т2(Сл,у)] Через Г1(С, х,у), Г2(С. х,у) обозначены правые части дифференциальных уравнений, в которых могут присутствовать независимая переменная С, искомые функции х,у, а также константы. В случае уравнения высокого порядка уравнения должны быть разрешены относительно старшей производной: (ЕИ(Т(у(С),Сап)-Г(С,у....)3. Здесь п — целое число, а знак $ используется для указания производной порядка л>1, функция Г(С, х) может включать также производные от переменной у до и-1 порядка включительно.
Параметром ЧЯй даются имена переменных. Возможны две формы задания ЧАй: Гх,у,... 3 или (х(С) .у(С),...3. Параметр Т Т определяет интервал изменения независимой переменной и может задаваться в виде а .. Ь или С=а .. Ь, причем а и Ь должны быть вещественными константами. Диапазоны вывода для неизвестных функций Х Х и Ч Ч определяются аналогично. Параметр !))! задает список начальных условий, где каждый набор оформляется в виде списка. Даже для единственного набора начальных условий должен быть подготовлен список списков: ( Ги(СО) хз,у(СО) уО], (х(С1) х1,у(С1) у1],...] Видно, что стартовые значения независимой переменной (С) для разных начальных точек могут не совпадать, а решение для неизвестных функций будет определено для всего интервала Т Т, тэк что задание начальных значений 1И1 специфцци- Обыкновенные дифференциальные уравнения 115 По умолчанию для неавтономных уравнений строятся кривые решений в двумерном пространстве первых двух переменных УАН.
Для получения иных проекций или графиков зависимости различных функций от независимой переменной нужно задать параметры сцены (эсене-...). Для системы двух автономных уравнений фазовый портрет для исходных переменных строится по умолчанию. В графических командах пакета ОЕгоо[з можно использовать параметры команд пакета р[о(з. Так, для задания заголовка можно применять конструкцию Т! 11 0=5ТН, здесь ЗТН вЂ” строка.
Описание предоставляемых при этом возможностей и примеры будут даны в главе 6 «Графика Мар)е». Специфичные для пакета ОЕ[оо[т параметры представлены в табл. 4.3, где использованы следующие обозначения; ООО[— булева константа, М, Н вЂ” целые числа, УА[ — вещественное число, ТУР— термин, НЕТ— имя метода численного решения задачи Коши, в скобках даны принятые по умолчанию назначения. Таблица 4З.
Параметры пакета ОЕ(по(з Назначение Нмя Границы вывода для переменных х и у указываются при помощи вещественных констант х-С1.,01. у С2е.б2 или х(т) с1. 01, У(т) 02..02 зггауюте-М дггпиз ТУР Размер рабочего массива для Результатов интегрирования Тип стрелок при изображении поля направлений, здесь ТУР— один из следующих терминов: мОне (по умолчанию), тн1 м, 5[ )м, тн1 ск, [)ме Сетка для вывода поля направлений (дюп О0,101) Число шагов интегрирования между выводимыми точками (!(егат!опт-1). Этот параиетр полезен для повышения точности расчета, поскольку запоминаются те точки, которые выводятся на график Прекращение расчета, если интегральная кривая вышла за диапазон, определенный для переменной х или у.
По умолчанию 1(м![галде-та)зе, Если диапазоны для х ну не определены, то расчет ведется независимо отданного параметра Задание метода интегрирования Швг интегрирования, по умолчанию У4.-(Ь-в)/20, где [з, Ь) — отрезок интегрирования дпл [М.М] !(ега(!опт-М 1!и!Егзпде ВООЕ метиоп-НЕТ эсеры ге-УА[ Поскольку Мар!е не является специализированной программой для решения систем дифференциальных уравнений, то нужно иметь в виду, что уменьше- рует различные интегральные кривые. Если число начальных условий меньше числа переменных, то выводится сообщение и график не строится. Для уравнения п-го порядка относительно функции у(1) вначале задается зна- чение независимой переменной, а далее значения функции и производных: [10.уд.у'О.у' 'О,...
], Информацию обо всех параметрах команды ОЕр1 от можно получить, обратившись к справке: ?ОЕ(оо1з[орт)опз) 116 Глава 4. Решение уравнений в Ивр!е ние шага дает не только повышение точности и гладкости получаемых кривых, но и увеличение времени расчета. Так как все выводимые на график точки запасаются в памяти, то возможно ее исчерпание. По умолчанию для интегрирования применяется метод Рунге-Кутта, что зквивалентно заданию л!еСЬ00-с1азз!са1[гС4]. Параметр асепе задает вид рисунка.
Пусть задана система дифференциальных уравнений с неизвестными функциями х(С), у(С), .... Тогда зсепе=[х,у] означает изображение двумерного фазового портрета [график функции у(х)), а зсепе= [С,х,у] и зсепе=[х.у С] означают трехмерные картины с различным расположением осей. Для одного уравнения высокого порядка выводится только график решения. В табл. 4.3 в качестве МЕТ выступает название одного из методов, перечень допстимых методов дан выше в разделе, описывающем применение команды 0501не для численного интегрирования задачи Коши. Приведем примеры использования команды 0[р1оС для визуализации решения уравнения Дуффинга с вынуждающей гармонической силой. Подготовим процедуру для вычисления правой части системы дифференциальных уравнений: > оде;-ргос(п С у,ур) УР[1):=У[2]: УР[2):=-У[П*( 1>У[!)"2)+5*юп(С) епп ргос: оде:= ргос (и, П у, ур) ур[ 1]:= у[ 2 ]; ур[2 ]:= -у[ 1 ]х(1 + у[ 1]"2) + 5хцп( г) опд ргоо Поскольку в качестве неизвестной функции для решаемого неавтономного у авнения указана у(С), то по умолчанию строится траектория в пространстве (С,у).
Обратим внимание, что число неизвестных указывается при помощи параметра пишЬег-й до начальных условий: > ОЕР1оС(осе.у(С).С--5 ,25,повЬег=2. ПУ(0)-1.0(у)(О)-ОЦ . Сшсхпввв-2,в(ерю ге-.05,аггоив=попе,!)песо1ог-Ы асх) е Отметим, что график у(С) построен для всего интервала изменения независи ой пер менной С [[-5 .. 25]), хотя начальные условия заданы в точке С=О. м Назначив в качестве неизвестных список из двух функций, получим фазовый портрет: > ОБР1оС(оае.[У1.У2].С--5..25.повоег-2,[[у1(0)-1,У2(0) 0]), ввв(хв)вв-.
05. вггоив-попе. ! )пвсо1вг-'и!всх. СП!схпвяв 2); Обыкновенные дифференциальные уравнения 117 Команда Оер10СЗО имеет тот же формат, что н рассмотренная команда ОЕр1о1, но с поправкой на заданную размерность решаемых уравнений: > геасаг(: > ОеЗ:-с))ГГ(к(1) Д)-у(С),ШГГ(с(1) Д)--по*с(1)+к(С)*у(1).
сцгг(у(1),С)--пи"у(1)-(а(С)-1) "к(С)-к(С)"3; с)а>:= д д д — х(с) = у(с), — х(с) = -н х(с) е х(с) у(с), — у(с) = -р у(с) — (х(с) — 1) х(с) — х(с)' дс = дс дс Определим параметры: > ао.--.): пш-.1: > ОЕСоо)а[ОЕР1оСЗс)1([ее31,[к,у,х)д-0..25,атерагае-.05. Ек(0)-1,у(О)"1Л(0)-ОП.ог1еп(ас!оп"[45,601, аггона-попе,! )песо1ог-51 ась ЛЫ схпеаа-2): 2 1.5 с О.а о .О.а Команда р)сазерогсга)О предназначена для изображения фазовых кривых на плоскости и обращение к ней аналогично рассмотренному для команды ОЕр1 оп рлааерог(га)1(ООЕ.НАМ.Т Т.!М1,0РТ) Здесь по-прежнему ООŠ— дифференциальное уравнение или система уравнений первого порядка, Ндй — имена переменных в квадратных скобках, Т Т вЂ” интервал изменения независимой переменной, 1М1 — множество начальных условий, ОРТ— дополнительные параметры, частично описанные выше для команды Оер1 ос.
Для трехмерных картин поле направлений не строится. Приведем пример построения фазовых кривых для системы уравнений Лотки— Вольтерра: 118 Глава а. Решение уравнений в Иар(е > чпш(ОЕСоо16): (:"[0(х)(С)-3*х(С)*(1-у(С)).0(у)(С) у(С)*(х(С)-1Ц: !п1: [[х(0)"2,у(0)-П .[х(0) 1,у(0)=2]]1 рлаберог(га!С(Е.[х(С).у(С)],1=0..7,!61,1!песо)ог«Ы аса.
со)ог"Ыасх,б[ерб1г6-.05.С!С16-"со(на-Ч61гегга еанат!пп"); СаВ»Чаав«в вача!и« 1В 1.6 у 1 2 06 О.б Поскольку в качестве разделителя взято двоеточие, то область вывода для задающей дифференциальное уравнение команды отсутствует. Здесь и далее в простых случаях команды с опущенным выводом используются для сокращения информации, дублируемой в областях ввода и вывода, Команда ОТ)е1 Ор! от предназначена для изображения векторного поля (поля направлений) и согласована по параметрам с командой ОЕр1 од за исключением начальных условий ]Е(1, задания которых не требуется. Можно сказать, что для двумерных задач команда Оер! ос есть объединение команд Ое! е1 001 от и р))аберогсга! с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
