Говорухин В., Цибулин Б. Компьютер в математическом исследовании (1185927), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Для поиска неопределенных интегралов используется следующая команда: 5п((ехрг.наг) Здесь ехрг — интегрируемое выражение, а наг — переменная интегрирования. Для отложенной команды 1пс все аиалогичио. Пример: > !Пт((! -51П(х))"ехр(х)/(1+соз(х)),х); в ~п(2х) Для вычисления определенных интегралов используется команда !Пс(ехрг.наг-а..ь) Здесь ехрг — интегрируемое выражение, наг — переменная интегрирования, а (а,О)— отрезок интегрирования, его коицы могут принимать значения бесконечности. Для вычисления двойных, тройных и т. д, интегралов нужно применить эту команду несколько раз.
Поясним это примерами: > 1пт(51пи(х) "4, х-О ..)п(2) )-1 ПС(51пм х) "4, х-О .. ) п(2) ); 225 3 5)пых)" н(х — — + — 1п(2) 1024 8 Дифференцирование и интегрирование 89 Теперь вычислим повторный интеграл: > 1п((1пс(х+2>у.х-у"2-4..5).у5-8 .3): Ж-ча)ое(Ж): х+2унху(у=— -3 2 у — 4 Если интеграл ие выражается через элементарные фуикпии, то пакет пытается получить ответ в специальных функциях. Иногда ответ удается выразить через элементарные функции, используя дополнительные условия на параметры и переменные (команда азэап)е).
Проиллюстрнруем сказанное примером: > 1пс(ехр(-с*х" 2) . х-0 .. ~ пт1п1 Су): Ж=ча) ое(Ж): Оет(п11е (птедгас!оп: сап'с оесепаупе у( гье упседга) уа сопчегдеп.. Неее Жо Хпоы (не идп от -> с Ыу)1 поы Жгу !поет(п((е упседга(уоп апо Сиеп саче )уи1(а. | 1 чгл ег((чгс х) 2 о Без дополнительных предположений интеграл выразился через предел функции ошибок. Теперь предположим, что параметр с строго положителен, и повторим вычисления: > аааоэе (с>О); 1пс(ехр(-с*х"2).х=О.,уптупуеу): Ж-ча1ое(Ж): | ( - '~ 1'ч(л е ч(х= —— 2,гсо Если интеграл не удается взять аналитически и подынтегральное выражение не содержит неопределенных параметров, то его можно вычислить численно. Для этого предназначена команда еча)Г(упс (ехрг,х-а..Ьхпд11а.т)ад)) Здесь обязательными параметрами являются подынтегральная функция ехрг, зависящая только от переменной х и пределов интегрирования а и Ь, а необязательнымии — число значащих цифр (11д( Жз (по умолчанию принимает значение константы 010(Же) и 11ад — код численного метода.
Пример: > 1пс( а1п(х)*)п(х). х = 0..1 ): > ча1ое(ж)-еча)г(!пс( а1п(х)*)п(х) х - 0..1 .15, нсго)е)): С((1) -у=-.239811742000565 Здесь С( — интегральный косинус, а у — константа Каталана. Несколько команд интегрирования имеется в библиотеке агв()епЖ. Отметим, что все эти команды отложенного действия и библиотеку предварительно нужно подключить при помощи ы1 ЖЬ(этаоепг).
Кратко их перечислим: О 1пЖ(ехрг, х) — интегрирование выражения ехрг по переменной х; О дои)е100(ехрг,х,у,доеи10) — двойное интегрирование выражения ехрг по переменным х и у в области 0ояа101 90 Глава 3. Математический анализ в Мар(е О Ь1пе1 пс(Г(х.у), х,у) — вычисление линейного интеграла. Переменная х считается зависящей от переменной у, а если переменных больше, то все они считаются зависящими от последней; О Тг1 р1ет пг(ехрг, х,у т) — вычисление тройного интеграла; О спапОечаг(э.
Г, О) — замена переменных, где З вЂ” выражение, задающее заМену координат, Т вЂ” одна из перечисленных команд интегрирования из пакета огас(еп1, а Π— список новых переменных интегрирования; О (пгрэггз(Г,О) — интегрирование по частям, где à — выражение 1пс(згн/(епс). а Π— часть подынтегрального выражения, которая будет дифференцироваться; О тпгедгапО(ехрг) — выделение интегрируемой функции из выражения ехрг, содержащего интеграл отложенного действия.
Поясним некоторые из этих команд примерами. Применим подстановку для вычисления интеграла: и1сп(зтваепт): ч;-1пс( 1/(3+2*сов(х)).х-О..Р1): > ч-ехропз(сиопчечаг((ап(х/2)-т.ч Л)): | 1 их=2 1 ~(т о о 1 + /7 > ча1ие(ч); -п45 1 5 Вычислим тройной интеграл: > и;-Тг)р)е1п((х,г-О..зегс((х>у)/2). у-О..х,х-0..2):$-чо1ие(т): 2 в ю /2>>2> 32 64 х ЛС Фу Их = — — + — /2 Применим интегрирование по частям: > 1пс(хоз1п(х), х О..Р1) 1птрагтз(1пт(х"з1п(х), х-О..Р1), х): ча1ие(гно(Ф)): .|" л о(п(х) Ых = и - | -соо(х) о(х о о В заключение описания возможностей интегрирования функций в Мар1е приведем несколько команд пакета всцоепс для приближенного интегрирования функции одной переменной на конечном отрезке и иллюстрации различных аппроксимаций интегралов: О е(ОО)еЬох(Г(х) .
х-а ..Ь. п„орС1опз) — рисование графика функции Г(х) вместе с аппро)ксимирующими интеграл прямоугольниками. Высота прямоугольника опре- 92 Глава 3. Математический анализ в Мар(е производные и интегралы. Можно задавать также нестандартные преобразования Фурье. Параметр 2 определяет переменную трансформации, ам — параметр преобразования. Далее перечислим в алфавитном порядке некоторые другие команды, которые выполняют соответствующее преобразование для выражения ехрг по переменной азг и с новой переменной оаяе: с) Гоогзегсоз(ехр, таг, пав)е) — косинус-преобразование Фурье; о Гоог1 егз1п(ехр. таг, паве) — синус-преобразование Фурье; о ) и)/Григ! ег(ехр. таг, паве) — обратное преобразование Фурье; сз 1пн)ар!асе(ехр, таг/пав)е) — обратное преобразование Лапласа выражения ехрг по переменной таг и с новой переменной паве; О 1ар1 все(ехр.
таг, пав)е) — преобразование Лапласа; о в)е)1) п(ехр, чаг/ оав)е) — преобразование Меллина. Приведем пример обращения к процедурам прямого, обратного и косинус-преобразования Фурье; > и!2Н(!о22гаоз): > Гонг)ег(1/(1+2). 2, з): и*! /е я(Неат!вЫс(-з) — НевывЫс(з)) > )птгоог!ег(т, з. 2): > тонг)егсоз(1/(1>2). 2. 5): т)2 ( 5!П(5) 35!(х) соз(ю) С!(а)) Команды Гоиг1 ег и ) и)/Гонг) ег аналитически вычисляют прямое и обратное преобразования Фурье.
Для анализа числовых данных можно применять команды Мар!е ГГТ и )ГГТ, реализующие алгоритмы прямого и обратного быстрых преобразований Фурье. Естественно, описанные команды не исчерпывают всех возможностей Мар!е в области математического анализа. Большое число команд, и даже библиотек, написано многочисленными пользователями и распространяется по компьютерным сетям. Освоение етого материала требует затрат времени, и иногда оказывается проще написать свои программы, реализующие те или иные операции. ГЛАВА Решение уравнений в Кар!е Н данной главе рассмотрены средства пакета Мар)е 6, предназначенные для решения алгебраических уравнений и неравенств, обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, С каждой версией и реализацией в Мар!е появляются новые возможности проведения преобразований, решения задач и, соответственно, добавляются новые команды и пакеты (библиотеки).
Постоянно совершенствуются многоцелевые команды с корнем ео1 те: решения алгебраических уравнений и неравенств зо1 че, обыкновенных дифференциальных уравнений озо1 не и уравнений в частных производных роза1те. Кроме того, развиваются пакеты для решения разностных (сРЕГоо(з) и дифференциальных уравнений (О Егоо!з), а также уравнений в частных прои ° . шых (РОЕГоо!з). Для представления решений, не записываемых явными формулами, введены специальные структуры: для алгебраических уравнений — РооГОЕ, для разностных— РЕ5о! и для дифференциальных уравнений — ОЕ5о!.
Пакет Мар!е пополняется различными типами дифференциальных уравнений с известными аналитическими решениями, развивается аппарат преобразования уравнений в частных производных и совершенствуются методы численного анализа. Можно предположить дальнейшие развитие этих пакетов, и поэтому обсуждение их возможностей будет кратким. Решение алгебраичесних уравнений и неравенств Команда зо1те является многоцелевой и применяется для аналитического решения алгебраических уравнений и их систем, неравенств и функциональных уравнений, вычисления тождеств.
Команда тзо1 те предназначена для получения численных решений. Для работы с разностными уравнениями имеется специальная команда гзо1 те. 94 Глава 4. Реа(ение уравнений а Иар(е Команда зорче Вызов команды 5о1че имеет следующий вид: 5о1че (ЕОН.ЧАа) Здесь ЕО)) — уравнение или система уравнений, а УАй — переменная или группа переменных. Если параметр УАй отсутствует, то будут найдены решения относительно всех неизвестных, входящих в уравнения ЕОй. Отметим, что под неизвестными здесь понимаются все символьные переменные. Система уравнений и группа переменных задаются в виде множеств.
Напомним, что совокупность объектов, разделенных запятыми и взятых в фигурные скобки, является множеством. Уравнения могут быть заданы непосредственно в теле команды, а могут быть присвоены некоторой переменной. Если в качестве уравнения указано выражение без знака равенства, то считается, что зто одна часть равенства, а другая равна нулю: > ао1:-5о)че(х"4-8*х,х); ха1:= О, 2, -1 + Г /3, -! — 1,/3 Для хранения решений удобно ввести переменную и обращаться к конкретному решению по индексу, например: > 501(3)' -1 + 1УГ3 Отметим, что результатом решения одного уравнения будет переменная типа ехргзеО (последовательность выражений). Если в качестве параметра указана переменная типа зег (множество), то решение будет представлено в виде множества равенств, где в левой части стоит имя переменной, а справа — значение: > 5о1:-5о1не((х 4-8*х-0),х): ао) о> ( х = О ), ( х = 2 ), ( х = -1 + 1 нГЗ ), ( х = -1 -1(Г3 ) Ответ в виде множества удобен для подстановки нужного решения в выражения, зависящие от той переменной, относительно которой разыскивалось решение: > 5оо5(ао1(-2).х 2); (-1+! /3)' Чтобы присвоить найденные значения переменным на весь сеанс, применяется команда а551дп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
