Говорухин В., Цибулин Б. Компьютер в математическом исследовании (1185927), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Мы предполагаем, что человек, взявший в руки эту книгу, имеет за плечами по крайней мере один курс университета или технического вуза и, следовательно, знаком с основами математического анализа. Работу команд Мар1е в этом разделе мы будем иллюстрировать примерами из известных задачников Демидовича 150, 511, Кудрявцева [591. Перед тем как перейти к последовательному изложению математических команд, сообщим ряд необходимых сведений. Предварительные сведения В Мар1е для некоторых математических операций существует по две команды: одна прямого, а другая — отложенного исполнения, причем имена этих команд состоят из одинаковых букв.
Команды прямого исполнения, как правило. начинаются с маленькой буквы и выполняются немедленно. Отложенные команды часто начинаются с большой буквы, обычно в том случае, когда существует команда-синоним прямого действия. После обращения к команде отложенного действия заданная математическая операция (интеграл, производная, предел и т, д.) выводится в стандартном математическом виде и сразу не вычисляется, Для выполнения отложенной операции нужно использовать команду хз1ое. Перед использованием некоторых команд необходимо предварительно подключить соответствующую библиотеку командой ьч Го.
Напомним, что результат последней выполненной операции сохраняется в переменной ь, предпоследней команды — в переменной $$, а ей предшествующей— ххх, Часто необходимо наложить условия на переменные, например для задания области определения функции; в Мар1е зто можно сделать, используя команду азззве (ге1,ргор) гв Глава 3. Иатеаатический анализ в Иар(е Здесь ге1 — выражение, а ргор — свойства. В качестве свойств могут выступать: 1пседег, геа1, сост) писца, йеа1йапсе(а, Ь) и другие (см.
справку Мар1е). Например, после команды > азыпе(0.1псейег); переменная Ь будет далее считаться целым числом, а после команды > зыоае(а>0): везде, где будет встречаться переменная а, она будет обозначаться а- и считаться положительной: > йе(а): )а(а): Для проверки условий, наложенных на переменные, и добавления новых свойств переменных существуют команды: с) аьоцс(х) — выводит информацию об условиях, наложенных иа переменную х; (З аоо)01опа11у(х, ргор) — накладывает дополнительные условия на переменную х; () айоргорегсу(ргор.рагепгз,сЬ)1огеп) — определяет новое свойство ргор, основанное иа свойствах рагепсз и сМ10геп, () соо)0! ЬЬе(ехрг, р гор) — проверяет, может ли выражение ехрг удовлетворять свойству ргор.
Результатом является булевская константа Сгце или Га1зе: 1з(х, ргор) — проверяет, удовлетворяет ли выражение ехрг свойству ргор. Результатом является булевская константа сгибе или Га1зе. Продолжим пример с определением свойств переменной а, используя описанные команды: > аЬоит(а); Ог)01па1!т а, гепааее а-; тз аззипед то Ье; йеа)йапйе(0реп(0) дпт)п)ту) > соо)о)(Ье(а*(-а) < -200); (гие > )з(а"2.пейамте); уа!зе Чтобы отменить назначения для переменной паз)е, используется команда пдее; паве Например: > а:-'а': аЬоот(а); а: пота)пд Хпоап аьоит т)нз оЬ5ест Пределы, суммы, ряды Обычно курс математического анализа начинается с понятия предела последова- тельности и функции.
Для вычисления пределов в Мар!е существуют команды Пределы, суммы, ряды 79 11в11 (ехрг,х-ча),01г) и 11ват (ехрг.х ча),41г) Здесь ехрг — выражение, для которого вычисляется предел (функция или и-й член последовательности), х-ча) — точка, в которой вычисляется предел, а 01г — необязательный параметр, который может принимать следующие значения:! ег1 (предел слева), г19))0 (предел справа), геа) (действительный) или совр1ех (комплексный). Проиллюстрируем сказанное примерами: > !1в11(п*юп(п))/(и"2>1).п-!п(1п)су); ча)че(т): и а!п(п)) 1'пп »+1 0 > 11в11()п(п*х+ацг((1-и"2>х'2))/)п(х .ацгт(1-х"2)).Х-О); и > 0(в1 М1/(1+ехр(1/х) ) .
Х-О.)е/С)- ) )в1 С (1/(1+ехр(1/х) ), х-О. )е ГС): > 11в11(1/(1+ехр(1/х)),х О.г19ПС), 0 Для операции суммирования используются команды аыа (ехрг.чаг-чаг1..чаг2) 5пв (ехрг.чаг-чаг1..чаг2) Здесь ехрг — выражение, зависящее от переменной суммирования чаг, а ча г)., чаг2— пределы суммирования. Напомним, что различие между этими двумя командами заключается в том, что в варианте, начинающемся с маленькой буквы, суммирование проводится сразу, а для выполнения 5ов нужно дополнительно дать команду ча)ые. Пределы суммирования могут быль конечными, бесконечными или отсутствовать.
Эта команда может быть использована также и для суммирования рядов. Например: > ацв(2"и'"(и+1)/п(,п О ..30): 87617409000727554149125201 3952575621190530915703125 > аав(п*(п>2)*х"п,п 1..1п71п1су)! » (-»+ 3) (»-1) > 5ыа((п 2)"х"и."и"): Ф-ча)ие($): ~~Р~ (и+ 2)»" = ! л ' (» 1) 80 Глава 3. Математический анализ в мар(е Для вычисления бесконечных и конечных произведений используются две команды: рго/)осг (ехрг,х] Ргосост (ехрг,К-К1..12) Здесь ехрг — [с-й член произведения, й — индекс, а й1 и й2 задают интервал изменения индекса. Например; > [(ппт(Ргосчст(1-1/и"2,п=2. Л ).Е-1птчпчту) т-ча!че(Ж); 11 1 - п~ - —,~=- > „з~ пз~ 2 В пакете зс(н)ерем существуют одноименные команды 5нп), [1а)11 и Ргооос1, которые позволяют производить выкладки с этими обьектами.
Например: > нчСП(зтосепт); а -5ои(1/х>1/х"2,"х"): > ехрапо(а): ча)ое(т); Ю'Я-') Ч~(х)- Р(),х) Исследование, разложение и приближение функций Как известно, исследование функции необходимо начинать с выяснения ее области определения. К сожалению, это трудно автоматизируемая операция и решение данной задачи не может быть пока полностью переложено на плечи Мар[е.
Обычно при рассмотрении этого вопроса приходится решать неравенства, с чем пакет довольно успешно справляется (см. раздел о решении уравнений). Проверить непрерывность алгебраического выражения, зависящего от переменной х, на отрезке [х1, х2) можно прн помощи команды ззсопС (ехрг.х-х1..х2) Результатом выполнения команды будет булевская константа «истина» ([где) или «ложь» (Га) зе). Для определения точек, в которых нарушается непрерывность выражения ехрг по переменной х, используется команда о1зсопС (ехрг.х) Для определения координат, где возникает разрыв функции Г или ее первой производной, есть еше одна команда: Го1зсопт (т.вова(п.гез,чаг.орт) Здесь ))она(п — изучаемая область, гез — точность, чаг — имя независимой переменной, орс — параметры (см.
справку пакета). Исследование, разложение и приближение функций 81 Приведем пример: > 15СОПС(1п(с05(х)),х -1пт1п1Су..+1птзп1Су); уа(зе > ОззсопС(1п(со5(х)).х): 1 ( — и+и 22-) 2 Здесь 22- означает любое целое положительное число. Кроме того, чтобы найти точки разрыва функции, можно обратиться к команде з~пцо)аг (ехрг,чагз) Здесь ехрг — выражение, зависящее от переменных чаг5, причем ехрг может зависеть и от других переменных, а точки разрыва ищутся для переменных чаг5. Например: > 51пцч1аг(Сап(х/(х-у)).х); пу (2 УЗ-+ 1) -2+2 23-и+и) Здесь 23 означает любое целое число.
В пакете зтцбепС существует несколько команд для анализа функций: (з 5поиСапцепС (т(х) .х-а) — показывает графически касательную к функции с(х) в точке х-а; О )ПСегсерС(ецп1, ецп2, (х, у) ) — находит точку пересечения двух кривых, задан- ных уравнениями ецп1 и ецп2. Пример: > 5СобепС(зпои(апцепС)(х"2+5, х = 2): Для исследования экстремумов функции одной и многих переменных использу- ется команда ехСгеиа (ехрг,сопзсг, чагз,'пч') Здесь ехрг — выражение, экстремумы которого нужно найти, сопзСг — ограничения, чагз — переменные, по которым разыскивается экстремум, а пч — имя переменной, которой будут присвоены координаты точек экстремумов. Соответствуюшнй пример: 82 Глава 3. Ивтеивтичесииа анализ в Иар(е > ехсгевп(агстап(х)-)п(1.х"2)/2. [) .х.'и'): з: 1 1 [ — и — — 1п(2) ) 4 2 [[х=1) ) Для поиска минимума и максимума функции или выражения используются соот- ветственно команды в(п(впхе (ехрг.упгз.галдев,орсз) вах!в(ге (ехрг,пагз.галдев.ортз) Здесь ехрг — выражение, узгз — переменные, по которым ищется минимум или максимум, а гзпдез — область изменения переменных, причем здесь может стоять строка ") пГ( п(Се", то есть минимум или максимум будет разыскиваться на всей числовой оси.
Одним из возможных значений необязательных параметров орте является )осз1(оп, что указывает на необходимость вывода координат минимума или максимума Пример: > в(п(в(ге(х 2-3*и+у"2+З>у+3, х-2..4, у--4.,-2. 1оспмоп); -1, [[[х= 2,у=-2),-1] ) Вычет алгебраического выражения ехрг при х-з вычисляется при помощи ко- манды геыдое (ехрг,х-а) Теперь перейдем к командам разложения функций в ряды. При зтих операциях порядок разложения по умолчанию определяется значением зарезервированной константы Ог()ег, которая может переопределяться пользователем в процессе работы. Команда пег(ез(ехрг, едп, п) выполняет разложение выражения ехрг в степенной ряд; здесь еди — выражение вида х-з, где х- переменная разложения, з — точка, в окрестности которой выписывается разложение, и — порядок, до которого строится разложение.
Приведем соответствующий пример: > зег(ез((1+х)" (1/х),х-0,4); 1 11 з з е--ех+ — ех +0(х ) 2 24 У команды зег1ез'есть еще один вариант, который позволяет получить ведущий член степенного разложения выражения ехрг. Он имеет вид: пег(еп(")епптеип"(ехрг), х-а. п) Приведем пример: > пег(ез(")васоево"(здгс(з(п(х))),х-д): Для разложения выражения ехрг, зависящего от переменной х, в ряд Тейлора в точке х-а до членов порядка и, можно воспользоваться командой сау)о~ (ехрг,х-в,п) г Исследование, разложение и приближение функций 83 Отметим, что если последний параметр не указан, то порядок разложения опреде- ляется значением константы Огоег. > Сау1ог(згп(х 3)"( 1/3),х-0,24); г 1 22 53 и+0 и 18 3240 1224720 Выражения, зависящие от нескольких переменных, разлагаются в ряд Тейлора при помощи команды згау1ог (ехрг.чаг5,х.н) Здесь ехрг — разлагаемое в ряд выражение, чагз — список пар <имя переменной> -<точка> для переменных разложения, С вЂ” порядок разложения, а н — вес.
Проиллюстрируем действие команды на следующем примере: > пгау1ог(ехр(х)*сов(у),(х-1п(а).у-Р11,3); -а — а(х-!п(а))+ -а(у — и) — — а(х — !п(а)) 1 г 1 2 2 2 Практически аналогична предыдущей по своему действию команда ро1 эзоп(2, ч, п, н) и отличается представлением тригонометрических функций в разложении. Если нужно получить только коэффициент при члене порядка 1, то лучше воспользоваться командой соеГСау1 (ехрг.чагз.х) Здесь чагз — список имен переменных разложения, )4 — порядок члена разложения, при котором выписывается коэффициент.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
