Говорухин В., Цибулин Б. Компьютер в математическом исследовании (1185927), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Для проведения выкладок Мар!е обладает широкими возможностями, и сложные аналитические преобразования математических формул вь>полняются прн помощи ряда весьма эффективных команд. Имена команд для проведения аналитических преобразований просты и соответствуют английским терминам: факторизация — тассог, раскрытие скобок — ехрапб, упрощение выражения — з ! п>р1 ! Ту, подстановка — 5нЬз и т.
д. Проиллюстрируем действие некоторых команд работы с алгебраическими выражениями. Присвоим переменной ы дробь, числитель и знаменатель которой являются алгебраическими выражениями от х и у: > ы: (х"4-у"4>/(х"бау"б>: а а х -у х'+>' б2 Глава 2. Аналитические преобразования в Нар(е Здесь помимо факторизации выполнено сокращение одинаковых множителей дро- би.
Для сокращения (нормализации) дроби используется команда погв)з), а команды помог и ((егор позволяют выделить соответственно числитель и знаменатель дроби: > пытег(з): с:-белом(х): (х-у) (у+х) т(>хх -х у+у Далее проведем подстановку в выражении (), заменив х и у тригонометрическими функциями аргумента Ь: > О; ьпЬ5((х соь(с),у 51п(т)),О)' и:= соь(т)4 соьй)з ь(п(т)ь 4 ь(п(ь)4 При помощи команды ь)жр11ТУ упростим полученное выражение; > 516р11гу(О); 3 соь(т)" — 3 соь(т)' + 1 Наконец, используя команду соп)Ь)пе, преобразуем выражение о к более компактному виду: > соьЬ1пе(о): 3 5 -соь(4 т)+— 8 8 Как видно из примера, в Мар!е принят удобный формат команд и проведение вы- кладок достаточно просто и естественно. В табл.
2.3 в алфавитном порядке перечислены основные команды, применяемые для упрощения выражений, и использованы следующие обозначения: ЕХ вЂ” выра- жение, ТАК вЂ” переменная или список переменных, РАТ вЂ” рациональная дробь, ОРТ— дополнительные условия. Таблица 2.3. Команды упрощения Обращение Назначение Приведем пояснения для перечисленных в табл. 2.3 команд, сопроводив изложе- ние характерными примерами.
раскрытие скобок — ехрапд Для полиномиальных выражений ЕХ команда екрап(((ЕХ) раскрывает скобки, а дроб- но-рациональные выражения приводит к виду, пригодному для последующего ин- тегрирования. Например: со)1ест(ЕХ,ХАЙ) соьоьпе(ЕХ ХАК) ехрапс(ЕХ) Гзстог(ЕХ) погна1(РАТ) ь1ер)ьту(ЕХ,ОРТ) Приведение подобных членов Объединение членов Раскрытие скобок Разложение выражения на множители Нормализация дроби Упрощение выражения Операции с формулами бЗ > ехрапп(у>(у+1) -(х+2)/(х+1)): х 2 +у+ + х+1,х+1 Команда ехрап() использует информацию о многих математических функциях, что позволяет применять ее для упрощения тригонометрических, логарифмических и показательных функций: > ехрапс(сап(а+Ы+ехр(1п(2)"0)): (еп(Ь)+ 1$П(О) о 1 — !Бп(Ь) Мп(а) Приведение членов — сойер Для приведения подобных членов 1группировки по степеням) в выражении ЕХ относительно переменной УАй используется команда со11есс(ЕХ.)/Ах).
В качестве переменных, при которых группируются коэффициенты, может фигурировать список, а также имена тригонометрических и иных функций, операция дифференцирования (()гг и т. д. Мар!е рассматривает выражение ЕХ как полипом относительно переменных, определенных параметром ЧАй, и собирает коэффициенты при одинаковых рациональных (положительных, отрицательных и дробных) степенях.
Например, определим выражение от двух переменных х и у: > гезсагс: Г:-(х"(1/2)-у)*(у/х-1); У:-" (т'.$ — у) — — 1 ~ /у '1 х Используем команду со)1ес1, чтобы записать тождество, в левой части которого приведение подобных членов дано по степеням х, а в правой — по степеням у: > со11есс(Г.Х)-со)1есс(т.у): у ( 1 /к+у+ — — — =- — + — +1 у- /х /х х х 1,/х Покажем, как преобразуется выражение при указании функции, при степенях которой следует собрать коэффициенты: > р$:-ехрапс($!П(х)+СОБ(х-у)): со11ес1(рз.ып(х)): )ы:= $!п(х) + сОБ(х) сОБ(у) + $1п(х) $!п(у) (1+ Яп(у)) $1п(х) е сОБ(х) с0$(у) Теперь продемонстрируем использование дополнительных параметров. Определим выражение от двух переменных и соберем коэффициенты при переменной х: > р:-х>у+х 2+у 2>х+(х>у)"2-у"х 2: р !=ху+хх+у!к+к!ух-ух! > СО)1есс(р.х)1 (1*у$-у)ХБ+(у+у )х б в Глава 2.
Аналитические преобразовании в Иар1е Соберем выражения при переменной у; параметр Гастог указывает на необходимость представления коэффициентов в виде произведения: > со)1ес1(р.у. Гастог); х(1 +х) ут -х(-1+х) у ехт Покажем, как преобразуется выражецие при указании нужного порядка следования переменных: > со)1ест(р,[у.х),гесогм те); (х+хт)у +(х-хт)уехт В общем случае команда соИесг не проводит сортировки членов. Сопутствующими для со))ес( являются команды вычисления коэффициентов соеГГ и сое(Гб, которые описаны в разделе, посвященном работе с полиномами. Разложение на множители — Гас1ог Разложение выражения ЕХ на множители проводит команда Гастог(ЕХ). По умолчанию коэффициенты разложения определяются тем полем, какому принадлежат коэффициенты исходного выражения.
При помощи дополнительного параметра можно указать, чтобы в разложении фигурировали вещественные (геа)) и комплексные числа (совр) ек), а также дать список радикалов, которые можно использовать при записи ответа. Введем полипом с целочисленными коэффициентами и единственным параметром а. Присвоим параметру целое значение и обратимся к команде Гассог: > Г:=х"б-4*к"4+к 2+а: а.-б: Гастог(Г), Х:=х — ах'+хо+а ("-3) ( '-2) (хт+1) Снова обратимся к команде Гассог, указав список допустимых при записи ответа радикалов: > Гассог(Г.(вог1(3).всгс(5))): ( '+1)('-2)(х+,ГЗ)( -4З) Если разрешить использование комплексных чисел, то будет получено следующее разложение (используем для компактности результата уменыпение числа значащих цифр посредством переопределения константы 01 01св): > 0101(в:-4; Гассог(т.совр1ех): Гдл(тх ж 4 (х+ 1 732) (х+ 1Д14) (х + 1. Г) (х — 1.!) (х - 1 414) (х — 1 732) Если присвоить параметру а вещественное значение, то получим: > а:-бдп гас(ог(т): (х+ 1.732) (х+ 1.414) (х-1.414) (х- 1.732)(х + 1.) Команда Гассог обеспечивает также сокращение подобных членов в алгебраической дроби: Операции с формулами 65 > х9:-(х"9-1)/(х-1): х9-Гас1ог(х9)) х — 1 З =(х+Х2+ 1) (хб+хз+ 1) Нормализация дроби — поппа! Для сокращения общих множителей дроби Р/(Т и приведения выражения к общему знаменателю служит команда нормализации дроби попа)а1(хАТ).
Для дроби, рассмотренной в предыдущем примере, команда пега)а1 дает менее компактный результат: > 29=попал)(х9); Х 1 З 7 б 3 4 3 З =хз+х +хб+хз+х4+хз+х2+х+1 х — 1 Это показывает, что для успешной работы нужно пользоваться разными командами упрощения. Команда погп)а) действует рекуррентно для функций, множеств и списков. Например: > попза1([(х 2-1)*соз(у/(у>1)-у)/(1-х),у (-2)-1/у+у)); -со — (х+ 1), При помощи дополнительного параметра (ехрап()ео) можно указать, что для числителя и знаменателя должны быть раскрыты скобки: > 7:=9(х)/9(х)"2+1/(9(х)41): погма1(()-погиа1(т.ехрап()е())( 2 В(х) б! 2 В(х) + ! В(х) (б(х) + 1) а(х)'+ а(х) Кроме того, для удаления дробных степеней в знаменателе имеется команда гаь1опа112е: > гас(опа1(хе(1/(х (Б/3)+х"(-2/3)))) (ЗП) Обе) (7(З) х (х -х +1) х'+ 1 Объединение выражений — совЬ1пе Команда совЫпе(ЕХ,РО))) преобразует выражение ЕХ, стремясь к компактности результата, для чего использует правила упрощения многих математических функций.
В некотором смысле команда сап))! пе противоположна команде ехрап(1. Дополнительный параметр ГО)) позволяет явно определить тип объекта, для которого будут проводиться преобразования. Для выражений, содержащих суммы, интегралы и пределы, происходит объединение под знаками суммы, интеграла и, соответственно, предела. Для тригонометрических функций используются формулы, объединяющие несколько функций в одну. Например: > р:-1пт(соз(х)"соз(2 Ы .х)-1пыз)п(х)*з(п(2"Ы,х): 66 Глава 2. Аналитические преобразования в Мар(е и с= ~сов(х) сов(2 Ь) с(х — / вш(х) в!п(2 Ь) с(х > сопЫпе(р): сов(х+ 2 Ь) с(х В качестве параметра Р()н может выступать один из следующих терминов: аьв, а гсьап, сопбидате, ехр, !со!пЬ)пе, 1п, рпесен1ве, ро1у1од, роиег, рв1, гаснса1, гапке, в)цпосп, Ьг1д.
В этом случае для преобразования будут использоваться правила только для функций, специфицированных данным термином. Например, запишем выражение с радикалами: > (1:-вцгп(4-вцспс(3))ввцг((4>вцгп(3)); 12 ж /4 — /3 /4+ /3 Обращение к соп)Ь) пе позволяет собрать сомножители под знаком корня: > (2:=ссаЬ~пе(т!.гас))са1): х. пт-Л>~4+ /и После этого легко получить компактный ответ: > таспог((2).ехрапо(12); „/Г3,./)3 В то же время попытка непосредственного применения команд тасгог и ехрапс) к исходному выражению не приводит к полученному результату: > пассос(т!).ехрапс)(т!); и/4 — -/3,/4+ п13, /4 —./3 ./4+ /3 Для алгебраических выражений часто помогает использование в качестве дополнительного параметра термина вуаЬо1 ! с.
В этом случае при преобразовании не будут учитываться ограничения, накладываемые функцией на свои аргументы. Приведем пример, в котором под знаком корня стоят алгебраические выражения: > Г):-вцгп(а-вцгт(а"2-Ь))*вцгС(а+вост(а"2-Ь)); и:.,/.:Д"-7./.,2):7 > г2:-сопЬ! пе(11, гасн са1, вупоо1 ! с): 12:ю (а- а — Ь)(а+ а — Ь) > ехрапа(12); Выделение частей выражения В процессе преобразований может потребоваться выделить левую или правую часть уравнения, определить числитель или знаменатель дроби, выразить некоторое выражение из уравнения.
Для этих действий применяются команды, перечислен.ные в табл. 2.4, где приняты следующие обозначения: Е)( — выражение, Е()И вЂ” уравнение или диапазон, йАТ вЂ” рациональная дробь. Операции с формулами 67 Таблица 2.4. Команды выделения Назначение Имя ззо!ате(ЕОИ.ЕХ) Оепои(йдт) помет(ИАТ) 1ьз(ЕОИ) гпз(ЕОИ) Определение выражения ЕХ из уравнения ЕОИ Выделение знаменателя рациональной дроби ИАТ Выделение числителя рациональной дроби КАТ Выделение левой части из уравнения или диапазона ЕОИ Выделение правой части уравнения ЕОИ Приведем простые примеры использования данных команд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
