Бураго Н.Г. Вычислительная механика (1185926), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Иногда используются упрощенные схемырасчета буферных ячеек, основанные на осреднении количествдвижения узлов буферного элемента так, как если бы они былисоударяющимися частицами, слипающимися после удара (модели"неупругого удара").Самостоятельная проблема в методе "хозяин-слуга" связана споиском буферных элементов, для решения которой предложенцерый ряд алгоритмов быстрого перебора граничных узлов и ячеек,обзор которых дан в работе [Бураго, Кукуджанов, 2005]..Впервыемодель "хозяин-слуга" описана Уилкинсом [1964] и Холлквистом[1973]208Глава 18. Методы для задач упругопластичности18.7.
Расчет процессов разрушения18.7.1. Описание проблемы разрушенияПридостижениикритическогонапряженнодеформированного состояния структурированная сплошная среданачинает разрушаться, то есть терять способность к сопротивлениюдеформации. Критическое состояние определяется по критериямразрушения, например, по достижению нормой деформациикритического значения.
При простейшем анализе опасностиразрушения тел используются обычные методы расчетанапряженно-деформированного состояния и проверяются критерииразрушения.Во многих случаях интересным является расчет процессовразрушения, поскольку выполнение критерия разрушения в какойлибо части конструкции еще не означает ее разрушения и она можеткакое-то время сохранять способность выполнять своепредназначение. Для моделирования процессов разрушения надоучитывать обратное влияние разрушений в материале на егопрочностные свойства. Это учитывается в теориях континуальногоразрушения, которые феноменологически описывают постепеннуюпотерю материалом свойства упругости из-за накоплениямикронарушений сплошности,такихкак микропоры имикротрещины.Образование и накопление микроповреждений можетпроисходитьпридостижениикритическогонапряженнодеформированного состояния, критических температур, а также изза причин и воздействий нетермомеханической природы, таких каклазерное излучение, химические реакции и тому подобных.
Поэтомуразрушение трактуется как термодинамически независимый процесси для его описания в [1,2] была введена специальная зависимаяпеременная – параметр повреждаемости, равная нулю длянеповрежденного материала и растущая по мере накоплениямикроповреждений.Сростомповреждаемости(илиповрежденности) характеристики упругости материала, а таковымиявляются модули упругости и предел текучести, определяющийобласть упругого деформирования, уменьшаются вплоть до нуля,что означает полное разрушение структурированного материала собразованием новых макро-поверхностей разрыва сплошности(макро-трещин), рост которых приводит к распаду тела изструктурированного материала на отдельные части.Обзорыисследований и подробное обсуждение вариантов теорииповреждаемости можно найти в работах [3-13]. Основные фактысостоят в следующем.209Глава 18.
Методы для задач упругопластичностиПотеря свойств упругости описывается на диаграммахдеформированияучастками разупрочнения, на которых ростдеформации приводит к уменьшению напряжения. Описание такогоповедения материала в рамках инкрементальных теорий упругости иупругопластичности, обосновывающих связи между приращениямиили скоростями напряжений и деформаций, заканчивается крахом,так как использование диаграмм деформирования с участкамиразупрочнения в качестве характеристик материала приводит кматематически некорректным краевым задачам. Дело в том, что дляразупрочнения матрица касательных модулей упругости теряетсвойство положительной определенности, что приводит к потересистемой уравнений свойства эллиптичности в статике игиперболичности в динамике.
Краевые задачи при этом становятсянекорректными по Адамару и численные методы их решения несрабатываютилидаютбессмысленныерезультаты,демонстрирующие потерю сходимости решений.Введение независимого термодинамического параметраповрежденности, как причины уменьшения величины параметровупругости, устраняет проблему некорректности краевых задач приразупрочнении. На каждом шаге инкрементальных методов приэтом используются уравнения упругости и пластичности сдиаграммами деформирования без участков разупрочнения, но сразным уровнем значений модулей упругости и предела текучести взависимости от поврежденности. Эффект разупрочнения незакладывается в математическую модель в виде зависимостипредела текучести от деформации, а получается путем решениязадачи в расширенном (поврежденностью) пространстве зависимыхпеременных,какрезультатростаповрежденностиисоответствующей деградации упругих свойств материала.
То есть, сматематической точки зрения введение поврежденности являетсяэффективной регуляризацией краевых задач упругопластичности.В теориях поврежденности при развитии зон пониженногоупругого сопротивления материала, в которых интенсивностьдеформаций и поврежденность показывают всплеск, а перемещенияи скорости претерпевают скачкообразное изменение, описывающеерасхождение берегов макротрещины, краевые задачи являютсякорректными, но обусловленность их с появлением зон разрушенияухудшается, что может приводить и приводит, если не приниматьпревентивных мер, к патологической зависимости результатовчисленного моделирования от параметров дискретизации, таких какформа и размеры расчетных ячеек в сеточных методах ираспределение частиц в бессеточных методах.
Конечно, результатычисленного моделирования всегда зависят от параметровдискретизации, но при измельчении сеток или при наращиваниичисла базисных функций эти решения должны демонстрироватьсходимость решений к определенным пределам. Численные модели210Глава 18. Методы для задач упругопластичностипроцессов разрушения, как правило, показывают отсутствиесходимости в малом (в деталях), что, надо заметить, свойственно ифизическимэкспериментам.Однако,дляинтегральныххарактеристик процесса (например, интегральных диаграммдеформирования) зависимость от параметров дискретизации и вэкспериментах, и в численных решениях должна демонстрироватьсходимость.
Поэтому в численном моделировании надо приниматьвсе меры для улучшения обусловленности решаемых задач, неискажая по возможности регуляризацией самого решения.Улучшение обусловленности начально-краевых задачдостигаетсявградиентныхтеорияхповреждаемыхупругопластических материалов путем физически обоснованногопространственногоосреднениязависимыхпеременных(напряжений, деформаций и поврежденности) в малой окрестностикаждой точки.
Такое осреднение эквивалентно сглаживаниюрешений путем введения в определяющие эволюционные уравненияинкрементальных теорий повреждаемой упругопластической средыдополнительных вязких членов для придания системе уравненийсвойств параболичности.Помимо этого на режимах фрагментации, когдадеформируемоетелоделитсязонамиразрушениянаневзаимодействующие части, статические краевые задачистановятся некорректными для частей, лишенных закреплений.Поэтому учет инерции, который устраняет эту некорректность, надопредусмотривать в математических моделях расчета разрушения ссамого начала независимо от скорости нагружения.К числу основных проблем, связанных с обеспечениемфизической достоверности расчетов разрушения, относятся такжевопросы, связанные с формулировкой (специфических счетных)критериев разрушения и кинетики накопления поврежденности,минимизирующихзависимостьрезультатовчисленногомоделирования от параметров дискретизации.Несмотря на обилие (многие тысячи!) работ, посвященныхмоделированию континуального разрушения, ясности с выборомматематической модели и методов ее регуляризации и реализациипока нет (2007 г.) и имеется больше вопросов, чем ответов.18.7.2.
Постановка задач о разрушенииПолная система уравнений для моделирования разрушения,используемая в настоящей работе, является обычной системойуравнений теории упругопластического течения, дополненнойкинетическим уравнением для поврежденности и зависимостьюмодулей упругости и предела текучести от поврежденности. Этасистема уравнений в абстрактных тензорных обозначениях имеетвид211Глава 18. Методы для задач упругопластичностиρ∂ 2t U = ∇ ⋅ σ ,∂tε p = λ p∂F pσ = E( γ ) : (ε − ε p ) ,H ( F p ) H (σ : ∂ t ε ) ,ε = 1 / 2(∇ ⊗ U + (∇ ⊗ U ) T )Fp (σ) = 3 / 2(σ ' : σ ') / σ2p − 1∂σ∂ t γ = H ( Fd )Γ(ε , ε p , γ ) + rγ , Fd = Fd (ε , ε p , γ )ρ - плотность, U - вектор перемещений, σ - напряжение,σ ' = σ − (σ : I)I / 3 - девиатор напряжения, E( γ ) - тензор модулейупругости, зависящий от поврежденности γ , ε - деформация, ε p гдепластическая деформация, λ p - коэффициент закона пластическоготечения, определяемый условием пластичности,F p - функциянагружения, H - функция Хевисайда, равная нулю дляотрицательных значений аргумента и единице в противном случае,σ p - предел текучести, I - тензорная единица, Fd - функция условияразрушения, неотрицательные значения которой разрешаютнакопление поврежденности, rγ - нетермомеханический (например,химический) источник поврежденности.Система уравнений дополняется главными граничнымиусловиямиUαx∈∂Vuα= U*α (x, t) , U nx∈∂Vun= U*n (x, t)естественными граничными условиямиσ : n ⊗ ταx∈∂Vτα =∂V\ ∂Vuα= p*α (x, t) , σ : n ⊗ n x∈∂V =∂V\ ∂V = − p*n (x, t)nunи начальными условиямиU t =0 = ∂ t U t =0 = ε pt =0=γt =0=0где ω0 > 0 - начальная пористость, n и τ α орты нормали икасательных к границе.
Заданные функции отмечены звездочками. Вкаждой точке границы заданы либо главные (кинематические), либоестественные (динамические) граничные условия.Данная математическая модель не содержит дискретныхматематических конструкций, непосредственно связанных сописанием физики процесса разрушения. Это не привязывает ее ккакому-либо конкретному методу решения и позволяет проводить212Глава 18. Методы для задач упругопластичностиоценки достоверности получаемых численных решений чистоматематическими средствами, используя тестирование нааналитических (искусственных, например) решениях, прослеживаясходимость при наращивании базисных элементов дискретизации,используя стандартные критерии сходимости численных методоврешения задач математической физики.
Это замечание критикует течисленные модели процессов разрушения, которые существенноиспользуют математические конструкции, которые реализуются исуществуют только в рамках частных методов решения, напримерспециальные функции формы разрушенных элементов в МКЭ, чтонеобоснованно заведомо исключает применение других методовреализации и делает невозможным проведение сравнительныхрасчетов. Отметим, что во многом из-за использования в алгоритмахнеформальных эвристических приемов, искажающих исходнуюформулировку задач, проведение сравнений расчетов разрушения поразличным моделям и методам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
