Бураго Н.Г. Вычислительная механика (1185926), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Сетка должна покрыватьобласть движения дискретных вихрей. Вклады дискретного вихря187Глава 17. Расчет несжимаемых теченийрасположенного в точке x k , y k , в значение завихренности в узлахпрямоугольной ячейки (i,j), в которой он находится (см. рисунок),i+1,j+1A1i,j+1A2kA4A3i+1,jI,jопределяются следующими интерполяционнымииспользующими площадные координатыформулами,∆ωi, j = Ω k A1 / A ,∆ωi +1, j = Ω k A 2 / A ,∆ωi, j+1 = Ω k A 3 / A ,∆ωi +1, j+1 = Ω k A 4 / A ,где A = A1 + A 2 + A 3 + A 4 .После учета вкладов всех дискретных вихрей завихренностьоказывается определенной во всех узлах сетки и функция токаможет быть найдена из уравнения∇2Ψ = ωЗатем определяется поле скоростей и для каждого дискретноговихря определяется его скоростьu k = (A1ui, j + A 2ui +1, j + A3u i+1, j + A 4u i+1, j+1 ) / Aи далее интегрированием по времени уравнения траекторий вихрейопределяются их новые положения.Метод "облако в ячейке" был успешно применен и оказалсязначительно более эффективным, нежели метод дискретных вихрей(при числе вихрей 1000 наблюдался выигрыш в объеме вычисленийв 20 раз (Christiansen 1973; Milinazzo, Saffman, 1977).188Глава 17.
Расчет несжимаемых течений17.8.3. Панельные методыПанельные методы расчета течений с твердыми границамидля решения уравнения Пуассона для функции тока используют егопредставление в виде граничного интегрального уравнения дляфункции потенциала и его дискретизации методом граничныхэлементов (панелей). В панельных методах также моделируетсявихревая пелены введением цепочки подвижных дискретных вихрейв зоне отрыва потока от обтекаемого тела.
Вихревая пелена вводитсяв расчет в рамках модели потенциального вихревого течения какповерхность разрыва функции потенциала и ее можноинтерпретировать как подвижную поверхность, несущуюповерхностную завихренность. Интенсивность вихревой пеленынаходится из условия Кутта-Жуковского, которое определяетскорость, с которой поверхностная завихренность высвобождается впоток с острых кромок поверхности обтекаемого тела.Подробнее о панельных методах можно прочитать всборнике статей (О.Белоцерковский (ред.), 1981)189Глава 18. Методы для задач упругопластичностиГлава 18. Методы для задачупругопластичности18.1. Постановки задач упругопластичностиСистема уравнений для расчета деформаций упругопластической среды в переменных Эйлера имеет вид:dv∫ ρ dt ⋅ δvdV + ∫ σ : ∇δvdV = ∫ p ⋅ δvdS + ∫ ρg ⋅ δvdVVVSpVodx= v , F −1 = ∇ ⋅ x , ε = (I − F − T ⋅ F −1 ) / 2 , ε m = ε : I / 3 ,dtε ' = ε − ε m I , σ ' = 2µ(ε '− ε p ') , ρ = ρ0 det(F −1 ) ,p = p(ρ, T) , σ = −pI + σ ' , L = ∇v ,e = (LT + L) / 2 , e p = λ pσ ' , U = c V T ,dU= σ : e + ∇ ⋅ (λ T ∇T) + ρr ,dtλ p = H(σ ' : σ '− k σ2 )H(σ ' : e)σ ' : ek σ−2ρ(1)Система уравнений (1) содержит: вариационное уравнениедвижения, уравнение лагранжевых траекторий, определениедисторсии F, тензора конечных деформаций Альманси, среднейдеформации, девиатора деформаций и, далее, закон упругости длдевиаторных составлющих тензора напряжений Коши, законсохранения массы, закон сжимаемости, разложение тензоранапряжений Коши на шаровую и девиаторную части, определениетензора градиентов скоростей, тензора скоростей деформаций, законпластического течения, калорическое уравнение и уравнение длявнутренней энергии.
Обозначения традиционны. Отметим, что ∇ оператор пространственного дифференцирования в актуальнойконфигурации, H - функция Хевисайда, k σ - предел текучести, µ модуль упругости сдвига.При постановке начально-краевых задач система уравнений(1) дополняется начальными и граничными условими. Начальныеусловия имеют видot = 0 : x = x , v = v 0 (x) , ε p = ε p0 (x) , T = T0 (x)(2)Глава 18. Методы для задач упругопластичностиКинематические граничные условия имеют видx ∈ Sv ⊂ S : v = v S (x, t)(3)На остальной части границы заданы динамические граничныеусловияx ∈ Sp = S \ Sv : σ ⋅ n = PS (x, t)(4)которые являются следствиями вариационных уравнений движения(1) и называются поэтому естественными граничными условиями.Подвижная пространственная область решения V в общемслучае состоит из нескольких, возможно разнесенных впространстве, подобластей, представляющих взаимодействующиедеформируемые тела.
На части поверхности S*p ⊂ Sp заданыповерхностные нагрузки PS* (x, t) , характеризующие взаимодействиес теми внешними телами, которые в расчете не рассматриваются. Наостальной, заранее неизвестной, части поверхности Sc = Sp \ S*p ,называемой поверхностью контакта, нагрузки Pc* обусловленывзаимодействием рассматриваемых тел между собой. Этаповерхность контакта Sc определяется как множество всехooточек x ∈ S таких, чтоoooooooo∀ x + ∈ S c ∃ x − ∈ S c | x + ≠ x − ∧ x( x + , t ) = x ( x − , t )ooто есть “для любой” ( ∀ ) материальной точки x + ∈ S c ”существует”oooo( ∃ ) материальная точка x − ∈ S c ”такая, что” ( | ) их начальныекоординаты не совпалают ( x + ≠ x − ) и ( ∧ ) их актуальные (в данныйooмомент времени) координаты совпадают ( x(x + , t ) = x(x − , t ) ).Контактную границу можно также определить в терминахучастков границы следующим образомoooooS c = S c+ ∪ S c− | S c+ ∩ S c− = ∅ ∧ S c+ = S c−191Глава 18.
Методы для задач упругопластичностиПопросту говоря, контактная граница образована теми различнымиматериальными точками, актуальные положения которых совпадаютв данный момент времени.oНагрузки P и скорости v на поверхности контакта S cопределяются условими( v − − v + ) ⋅ n = 0 , P+ = −P− ,Pτα = P+ ⋅ τα+ = f ( Pn , ( v + − v − ) ⋅ τα+ )(5)где α = 1, 2 - номер поверхностной координаты, τα+ - базисныевекторы поверхностных координат, n + - внешняя единичнаянормаль к поверхности в актуальной (текущей) конфигурации.Условия (5) выражают непрерывность нормальнойсоставляющей скорости, третий закон Ньютона о равенстведействия и противодействия и закон трения, в соответствии скоторым распределенные силы трения Pτα+ зависят от величинынормального контактного усилияPn = P+ ⋅ n + и скачковтангенциальных скоростей.
В контактных соотношениях надоприниматьвовниманиеследующиесоотношениядля+геометрических характеристик контактирующих границ: n = −n − ,τα+ = − τα− .Задача состоит в том, чтобы в областиoooVt = {(x, t ) | x ∈ V , t ≥ 0}решить систему уравнений (1) при услових (2)-(5).Принятая здесь постановка задач упругопластичностиявляется одной из множества возможных. Рассмотрим основныеварианты изменения постановки задачи1. Выбор способа описания движения среды. В принятойпостановке задач использованы материальные временныепроизводные, то есть производные вдоль траекторий материальныхчастиц.
Это предполагает использование лагранжевых расчетныхсеток, узлы которых движутся вместе со средой (подход Лагранжа кописанию движения сплошной среды). Можно перейти к эйлеровымвременным производным с целью решения задач на эйлеровых(неподвижных) сетках (подход Эйлера), для этого надо перейти отпроизводных по времени для материальной частицы (d/dt) кпроизводным по времени в точке пространства ( ∂ / ∂t ) по формулеd / dt = ∂ / ∂t + u ⋅∇192Глава 18. Методы для задач упругопластичностиПри решении задач на произвольно подвижных сетках переход квременным производным вдоль траекторий узлов таких произвольноподвижных сеток производится по формулеd / dt = ∂ / ∂t + (u − w ) ⋅∇где w - скорость произвольно подвижных узлов сетки. Во всехслучаях нелагранжевых сеток в уравнениях, содержащих временныепроизводные, появляются дополнительные конвективные члены(u − w ) ⋅ ∇ , описывающие движение среды сквозь расчетную сетку.2. Выбор независимых пространственных переменных.
Вкачестве независимых пространственных координат в принятойпостановке задач использованы актуальные (отнесенные к текущемумоменту времени) координаты материальных точек x , которыесвязаны с их начальными координатами x 0 законом движениясплошной средыx = x( x 0 , t )Определяемое законом движения отображение начальнойконфигурации сплошной среды в актуальную конфигурациюявляетсявзаимнооднозначным,чтогарантируется0положительностью якобиана J = det(∂x / ∂x ) > 0 . Возможны идругие варианты выбора расчетных пространственных координат:можно выбрать в качестве основных начальные пространственныекоординаты x 0 или вообще любые произвольно подвижные⌣ ⌣⌣ ⌣криволинейные координаты x = x(x 0 , t ) или x = x(x, t ) , лишь быони были взаимно однозначно связаны с начальными илиактуальными координатами.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
