Бураго Н.Г. Вычислительная механика (1185926), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

Расчет несжимаемых течений17.1. Переменные скорость-давлениеВ переменных скорость-давлениенесжимаемые вязкиетечения описываются системой дифференциальных уравненийНавье-Стокса, содержащих условие несжимаемости, уравнениедвижения, уравнение распространения тепла и уравнение переносапримеси∇⋅u = 0ρ 0 ( ∂ t u + u ⋅ ∇ u ) = ∇ ⋅ ( − pI + σ V ) + ρ gρ0 cV (∂ t T + u ⋅∇T) = σ V : ∇u + ∇ ⋅ [k T ∇T] + ρ0 rT∂ t C + u ⋅∇C = ∇ ⋅ [ν C∇C] + rCгде u - скорость, ρ - плотность, p - давление, σ V - тензор вязкихнапряжений, I - тензорная единица, g - ускорение, вызванноемассовыми силами, T - температура, C - концентрация примеси, rT массовый источник/сток тепла, rC - массовый источник примеси,- коэффициент теплопроводности, ν C - коэффициентдиффузии примеси.

Выписанная система уравнений замыкаетсяопределяющими соотношениями, выражающими ньютоновскийзакон вязкого тренияk T (T)σ V = λ V (∇ ⋅ u)I + µ V (∇u + (∇u)T )где λ V и µ V - коэффициенты вязкости. Для несжимаемой жидкостивторой коэффициент вязкости λ V значения не имеет.Для учета эффектов гравитационной конвекции, вызванныхизменением плотности из-за изменений температуры и примеси ввыражении для внешних сил используется соотношение слабойсжимаемостиρ = ρ0 (1 + βT (T − T0 ) + βC (C − C0 ))где ρ0 = const - плотность несжимаемой жидкости, βT и βC коэффициенты, определяющие влияние изменений температуры ипримеси на плотность, которые приводят в действие силыплавучести, благодаря которым более холодная и более соленаяГлава 17. Расчет несжимаемых теченийжидкость, являясь более тяжелой, тонет, а теплая и менее соленаявсплывает.

Уравнения Навье-Стокса, записанные с использованиемпредположения о слабой сжимаемости, называются уравнениямиНавье-Стокса-Буссинеска.Система уравнений для несжимаемых течений дополняетсяначальнымиt = 0 , x ∈ V : u = u 0 (x) , T = T0 (x) , C = C0 (x)и граничными условиямиt > 0 , x ∈ Su : u = u* (x, t)t > 0 , x ∈ S \ Su : σ ⋅ n = σn* (x, t)t > 0 , x ∈ ST : T = T* (x, t)t > 0 , x ∈ S \ ST : k∇T ⋅ n = q n* (x, t, T)t > 0 , x ∈ SC : C = C* (x, t)t > 0 , x ∈ S \ SC : k C∇C ⋅ n = q C* (x, t, C)Конечно, приведенные условия не охватывают всевозможные случаи, в частности, условия на контактных имежфазных границах, которые рассматриваются далее отдельно вглаве про расчет подвижных границ раздела.Из условия несжимаемости и уравнения движения несложнополучить уравнение Пуассона для давления:ρ0∇ ⋅ (u ⋅∇u) = −∇ ⋅∇p + ∇ ⋅ (ρg )позволяющее по скоростям найти давление.

На тех участкахграницы, где давление неизвестно, граничные условия получаютсяпроектированием уравнения движения на нормаль к границе:n ⋅ (ρ0 (∂ t u + u ⋅∇u)) = n ⋅ (∇ ⋅ (− pI + σ V )) + n ⋅ (ρg )в котором следует учесть граничные условия для проекции скоростина нормаль к границе.Таким образом, первый (очевидный) вариант методарешения может быть основан на каких-либо устойчивых иаппроксимирующих схемах для уравнений движения и уравненияПуассона для давления.Уравнения для двумерных плоских и осесимметричныхтечений. Обозначим пространственные переменные, используемыедля описания двумерного течения,буквами r и z.

Третью171Глава 17. Расчет несжимаемых теченийредуцированную пространственную переменную, от которойрешение не зависит, назовем θ . Для плоских течений θ являетсядекартовой координатой, для осесимметричных течений θ являетсяокружной цилиндрической координатой. В осесимметричныхтечениях помимо осевой w и радиальной u скоростей отличной отнуля может быть также и окружная скорость закрученного потокаv.В записанных ниже формулах параметр α равен нулю дляплоского течения и единице для осесимметричного течения.Система уравнений Навье-Стокса-Бусстнеска в переменных“скорость – давление” состоит из уравнения неразрывности∂uu ∂w+α +=0∂rr ∂zуравнений движения duv2  1 ∂∂σσρ  − α  = α ( r α σr ) + rz − α θr  r ∂r∂zr dt∂σ dw 1 ∂ρ+ g(βT (T − T0 ) + βC (C − C0 ))  = α ( r α σrz ) + z∂z dt r ∂r∂σσuv  1 ∂ dvρ  + α  = α ( r α σrθ ) + rθ + α rθr  r ∂r∂zr dtгде оператор материальной производной имеет видd ∂∂∂= +u +wdt ∂t∂r∂zи определяющих уравнений для напряжений в ньютоновскойжидкости∂uu−p,σθ = 2ρνα − p ,∂rr∂w∂u ∂wσz = 2ρν−p,σrz = ρν( +)∂z∂z ∂r∂v ∂v v σrθ = αρν  −  , σzθ = αρν∂z ∂r r σr = 2ρνПосле подстановки выраженийдвижения принимают вид:172длянапряжений,уравненияГлава 17.

Расчет несжимаемых теченийduv 2 1 ∂p 1 ∂  α ∂u  ∂  ∂u u−α += α  r ν  +  ν  − αν 2dtr r ∂r r ∂r ∂r  ∂z  ∂z rdw1 ∂p 1 ∂  α ∂w  ∂  ∂w + gβ(T − T0 ) +=r ν + νdtr ∂z r α ∂r ∂r  ∂z  ∂z dvuv 1 ∂  α ∂v  ∂  ∂v v+α= α  r ν  +  ν  − αν 2dtrr ∂r ∂r  ∂z  ∂z rВ систему уравнений включаются также уравнение теплопереноса иуравнение переноса примеси, которые имеют вид:dT=dtdC 1=dt r αcV1 ∂  α ∂T  ∂  ∂T  r νT +  νT + rTr α ∂r ∂r  ∂z  ∂z ∂  α ∂C  ∂  ∂C  r νC +  νC + rC∂r ∂r  ∂z  ∂z где диссипативный член σV : ∇u (см. трехмерные уравнения) частосчитается пренебрежимо малым и опущен, T - температура, cV теплоемкость при постоянном объеме, ν T - коэффициент диффузиитепла, rT - внешний массовый источник тепла, C - концентрацияпримеси, ν C - коэффициент диффузии примеси, rC - массовыйисточник примеси.17.2.

Методы искусственной сжимаемостиВ сжимаемой среде дивергенция скорости∇⋅uположительна в зонах всестороннего разрежения и отрицательна взонах всестороннего сжатия. В несжимаемой среде дивергенцияскорости должна обращаться в нуль. Методы искусственнойсжимаемостидлярасчетанесжимаемыхтеченийдаютприближенное решение с дивергенцией скорости не равной, ноблизкой к нулю.

Рассмотрим эти методы.Метод Чорина. В работе (Chorin, 1967) условиенесжимаемости было заменено условием слабой сжимаемости∂ t p + ρ 0 c 2∇ ⋅ u = 0где с - фиктивная скорость звука. Такая замена придает уравнениямнесжимаемых течений при отсутствии вязкости свойство173Глава 17. Расчет несжимаемых теченийгиперболичности.Дляустановившегосятеченияусловиенесжимаемости выполняется в методе Чорина точно. Метод даетприемлемые результаты при t >> L / c , где L - характерныйпространственный размер области решения, L/c - время пробегаслабого возмущения по области решенияНекоторые авторы записывают условие слабой сжимаемостис использованием материальной производной по времени отдавленияdp / dt + ρ0 c 2∇ ⋅ u = 0В такой формулировке условие слабой сжимаемости даже длястационарного состояния ∂ t p = 0 не обеспечивает выполненияусловия несжимаемости.Метод Владимировой-Ладыженской-Яненко основан напредставлении соотношения слабой сжимаемости в видеp + ρ0 c 2 τ0 ∇ ⋅ u = 0где τ0 - постоянная, имеюшая размерность времени.

Дивергенцияскорости в этом методе стремится к нулю с увеличениемкоэффициента ρ0 c2 τ0 . Практически это означает, что фиктивнаяскорость звука с должна быть много больше максимальнойскоростирассматриваемогонесжимаемоготечения22( c >> max | u | ). К сожалению, обусловленность задачи с ростомскорости звука ухудшается.Если уравнение движения записать в виде вариационногоуравнения виртуальных работ∫ (ρ (∂ u + u ⋅ ∇u) ⋅ δu + (−pI + σ0tV) : ∇δu − ρg ⋅ δu)dV =V= ∫ n ⋅ ( − pI + σ V ) ⋅ δudSSuто с позиций вариационного исчисления оба рассмотренных вышеметода можно трактовать как варианты методов множителейЛагранжа и штрафных функций, соответственно, а условиенесжимаемости∇ ⋅u = 0при этом рассматривается как ограничение, для которого давление174Глава 17.

Расчет несжимаемых теченийиграет роль множителя Лагранжа, а коэффициент ρ0 c2 τ0 являетсякоэффициентом штрафа.При практической реализации в уравнения искусственнойсжимаемости для сглаживания давления нередко вводят малыйэллиптический член с оператором Лапласа от давления∂ t p + ρ0 c 2∇ ⋅ u = α∇ 2 pдля метода множителей Лагранжа, иp + ρ0 c 2 τ0∇ ⋅ u = ατ0∇ 2 pдля метода штрафных функций. Здесь 0 < α << h 2 / ∆t , h и ∆t характерные величины шагов по пространству и времени. Введениеоператоров Лапласа улучшает обусловленность дискретныхуравнений и дает более гладкие распределения давления безсчетных осцилляций.Методы искусственной сжимаемости сводят исходнуюзадачу о течениях несжимаемой жидкости к задаче расчетасжимаемых дозвуковых течений.17.3.

Уравнение Пуассона для давленияИз уравнений движения и уравнения неразрывности можнополучить уравнение Пуассона для давления∇ 2 p = −ρ0∇ ⋅ (u ⋅∇u) + ∇ ⋅ (∇ ⋅ (µ V ∇u)) + ∇ ⋅ (ρg )Для плоских течений это уравнение принимает вид: ∂u ∂v ∂v ∂u  ∂ 2 p ∂ 2 p ∂ρg x ∂ρg y2ρ −+= 2 + 2 +∂y∂x∂y ∂x ∂y ∂x ∂y  ∂xгде вклады от вязких членов опущены, так как при постоянномкоэффициенте вязкости эти вклады равны нулю, а при переменномкоэффициенте вязкости эти вклады пренебрежимо малы. Записанноеуравнение позволяет по распределению скорости определитьраспределение давления.

Граничные условия для давления на техучастках границы, на которых давление не задано, получаютсяпроектированием векторного уравнения движения на нормаль кгранице. В случае, если давление не задано ни в одной из точекграницы, имеем задачу Неймана и давление определяется с175Глава 17. Расчет несжимаемых теченийточностью до константы. Чтобы обеспечить единственностьрешения в этом случае требуется дополнительное условие,регуляризирующее задачу. Например, можно задать давление вкакой-либо точке области решения или, альтернативно, в левуючасть уравнения Пуассона для давления ввести бесконечно малыйдополнительный член, отбирающий решение с минимальнойнормой: ∂u ∂v ∂v ∂u  ∂ 2 p ∂ 2 ppκ 2 + 2ρ −= 2 + 2L∂y ∂x ∂y ∂x ∂y  ∂xгде L – характерный размер области решения, 0 < κ << 1 - малыйположительный безразмерный коэффициент.Заметим, что в зависимости от дополнительногорегуляризирующего условия определенное из уравнения Пуассонадавление может принимать как положительные, так иотрицательные значения.

Если величина давления не представляетинтереса, например, если важен только перепад давлений, тоналичие отрицательных давлений вполне допустимо. В задачах, вкоторых величина давления должна быть неотрицательной в силуфизических требований, всегда присутствуют граничные условиядля давления на входных, открытых или контактных границах,которые являются регуляризаторами краевой задачи для давления иобеспечивают физически корректные неотрицательные значениядавления.Таким образом, решение начально-краевой задачи о течениинесжимаемой жидкости можно реализовать, записывая какую-либоустойчивые аппроксимирующие разностные схемы для уравненийдвижения и для уравнения давления.В дифференциальной формулировке условие несжимаемостиможно вывести как следствие из уравнения Пуассона для давления иуравнений движения.

Характеристики

Список файлов книги