Бураго Н.Г. Вычислительная механика (1185926), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Расчет несжимаемых теченийзадачах решение меняется мало, поэтому часто применяетсярасщепление системы уравнений по физическим процессам: сначалаинтегрируется уравнение для вихря, а затем находится новоезначение функции тока и новое поле скоростей.Схема итерирования или интегрирования по времени вдостаточно общем случае может быть представлена такω n = ∇ × (∇ × Ψ n +1 )u n +1 = ∇ × Ψ n +1ω n +1 − ω n+ u n +1 ⋅∇ω n − ω n ⋅∇u n +1 =∆t (n )= ∇ ⋅ ((ν V + ν an +1 )∇ω n +1 ) + ∇ × (ρn g / ρ0 )откуда видно, что на каждом шаге по времени (итерации) n надорешать краевые задачи для эллиптических уравнений с операторамиЛапласа.
Различные схемы отличаются, как правило, способомвведения (явной или аппроксимационной) искусственной вязкостиν an +1 . Операторы задач для функции тока и вихря при явнойаппроксимации конвективных членов являются самосопряженнымии положительно определенными, поэтому после пространственнойдискретизации возникающие системы алгебраических уравненийрешаются без особых затруднений. Уравнение для давлениярешается только в том случае, если его распределение представляетинтерес.Можно неявно аппроксимировать и конвективные члены, атакже не расщеплять систему уравнений, а решать сразу всюсистему нелинейных уравнений, используя квазилинеаризацию илипогружение. Примеры таких реализаций можно найти.
Заметим, чтопри таком подходе объем вычислений сильно возрастет, а пользы отэтого никакой не будет.Поясним кратко особенности и трудности, имеющиеся впостановке граничных условий и в расчете дополнительных(“источниковых”) членов уравнений.Задание на границе функции тока фиксирует расход (притокжидкости в единицу времени) и определяет профиль нормальнойсоставляющей скорости. Поэтому одновременно давление ифункцию тока на одном и том же участке границы задавать нельзя,чтобы не переопределить задачу. На границах с заданным давлениемобычно реализуется задание мягких условий для функции тока(равенство нулю нормальной производной), что эквивалентнотребованию равенства нулю тангенциальной составляющейскорости.При наличии изолированных обтекаемых тел в потокежидкости имеется неопределенность в задании значения функции183Глава 17.
Расчет несжимаемых теченийтока на таких телах, поскольку заранее неизвестно распределениерасходов при их обтекании.Течения, вызванные перепадом давлений, не поддаютсярасчету в переменных функция тока – вихрь, поскольку давлениеисключено из разрешающей системы уравнений.Для получения монотонно изменяющихся по временирешений в формулах граничных условий для вихря приходитсявводить релаксацию (ослабление) этих условий следующего вида:ω n +1 = ω n + α* (∇ × (∇ × Ψ n +1 ) − ω n )илиω n +1 = ω n + α* (∇ × (u n +1 ) − ω n )где α* ≈ 0.1 и n – номер временного слоя или итерации.
Безрелаксации возникают колебания численного решения. Главныеусловия для вихря задаются на источниках вихрей, которымиявляются поверхности обтекаемых тел и, возможно, входнаяграница.В расчетах прикладных задач влияние дополнительныхфизических эффектов приводит к появлению в уравнении дляпереноса вихря дополнительных членов. Если они велики, то чтобыизбежать потери точности интегрирования по времени приходитсядополнительно ограничивать шаг по времени требованиемдостаточной малости изменения нормы решения в пределахвременногошага.Еслитакиетребованиястановятсяобременительными, то их можно снять, путем неявнойаппроксимации завихренность в дополнительных членах.17.8.
Методы дискретных вихрей17.8.1. Основы методаСемейство методов дискретных вихрей предназначено длярасчетанестационарных течений несжимаемой идеальной(невязкой) среды. В основе методов дискретных вихрей лежитпредставление поля скоростей течения суперпозицией (наложением)потоков, обусловленных движущимися вместе с этим течениемдискретными вихрями (Розенхед (1931), С. Белоцерковский, Ништ(1978) и др.). Для невязкого течения уравнение для завихренности (втрехмерном случае, для вихря) принимает вид транспортногоуравненияdω=0dt184Глава 17.
Расчет несжимаемых теченийкоторое описывает сохранение завихренности вдоль лагранжевыхтраекторий dx / dt = u(x, t) . В невязком течении соответственно,сохраненяются также и интенсивности дискретных вихрей ωi( i = 1,..., N )dωi=0dtвдоль лагранжевых траекторийdx i= u(xi , t) , xidtot =0= xioгде xi и xi - начальный и текущий радиус-векторы дискретноговихря с номером i .Поскольку невязкое потенциальное вихревое течениеописывается линейными уравнениями для функции тока и вихря,для него справедлив принцип суперпозиции (наложения), всоответствии с которым поле скоростей, создаваемое несколькимивихрями, равно сумме полей скорости от каждого из этих вихрей.Поэтому для двумерного случая в плоскости (x,y) cуммарноеполе скоростей u(x, y, t) , создаваемое дискретными вихрями,описывается функцией тока, для которой имеется известноеаналитическое представлениеNϕ = ∑ ϕii =1ϕi = −11k i ln r = − k i ln[(x − x i )2 + (y − yi )2 ]2π4πгде ϕi функция тока поля скоростей от отдельного дискретноговихря бесконечного размаха по z и интенсивности (синонимамитермина “интенсивность” вихря являются термины “напряженность”и “циркуляция”) k i , расположенного в точке ( x i yi ).Таким образом, суммарное поле скоростей ( u x , u y ) илагранжевыформуламитраекториидискретныхвихрейdx i∂ϕ1 N k i (y j − yi )= u x (xi , t) ==− ∑dt∂y2π i=1ri,2ji≠ j185определяютсяГлава 17.
Расчет несжимаемых теченийdyi1 N k i (x j − x i )∂ϕ= u y (x i , t) = −=+ ∑dt2π i =1ri,2j∂xi≠ jгдеri,j = (x i − x j ) 2 + (yi − y j ) 2Интегрирование уравнений лагранжевых траекторий позволяетпроследить и движение дискретных вихрей, и эволюцию поляскоростей.В случае трехмерных нестационарных течений методдискретных вихрей описан в работах (Hess, 1972; Leonard,1985;Beale, Majda,1985).В методе дискретных вихрей имеются следующиетрудности:1) система дифференциальных уравнений по времени недостаточноустойчива из-за сингулярности полей скорости точечных вихрей,которая заключается в стремлении значений функции токаотдельного вихря к бесконечности в точке его расположения.2) в исходном варианте метода, который первоначальноиспользовался для моделирования поведения вихревых структур вбезграничном пространстве, не учитываются какие-либо граничныеусловия на твердые границах (стенках).
Учет таких условий требуетдоработки метода.Первая из упомянутых трудностей, то есть недостаточнаяустойчивость уравнений движения свободных точечных вихрейустраняется (Чорин, Бернар, 1973) заменой точечных дискретныхвихрей на вихри малого, но конечного радиуса δ , для которыхфункция тока имеет вид1k i ln r2π1rϕi = − k i2π δϕi = −для | r |≥ δдля | r |< δСходимость метода дискретных вихрей обоснована в работах (Hald,Mauceri del Prete, 1979; Beale, Majda, 1982; Cottet, 1987; Caish,Lowemgrub, 1989)Для учета граничных условий на твердых границаходнозначного способа не существует. Отметим два способаимитации твердых границ, учитывающих, что твердые границыявляются источниками завихренности: метод присоединенныхвихрей и метод отражения.186Глава 17.
Расчет несжимаемых теченийМетод присоединенных вихрей, который подразумеваетвведение дополнительных, связанных с твердой границей,дискретных вихрей, движущихся или покоящихся вместе с твердойграницей, и обеспечивающих приближенное выполнение условийнепротекания в смысле обобщенного решения; иМетод отражения, в котором условие непротекания натвердой границе приближенно обеспечивается введением зеркальноотраженных относительно граничной плоскости вихрей, равной ипротивоположно направленной циркуляции по отношению кприграничным вихрям.Имеются модификации метода дискретных вихрей, вкоторых предусмотрена генерация свободных вихрей на острыхкромках обтекаемых тел для моделирования вихревой пелены(вихревой поверхности), описание можно найти в книге(С.Белоцерковский, Ништ, 1978).Имеются также модификации метода дискретных вихрейдля вязких течений, в которых учитывается, что из-за вязкостиинтенсивности дискретных вихрей с течением времени релаксируютк нулю.
Соответствующие варианты метода описаны в работах(Chorin, 1973; Koumoutsakos, Leonard, 1985; Choquin, Huberson, 1988;Cottet, Mas-Gallic, 1990).17.8.2. Метод "Облако в ячейке"Как уже было сказано, применение метода дискретныхвихрей осложняется с одной стороны источниками сингулярности, сдругой стороны необходимостью использовать большое числодискретных вихрей для достижения достаточной точности.
Подход,который заимствует лучшие черты метода дискретных вихрей иметодов, использующих формулировку "функция тока завихренность", предложен в работе (Roberts, Christiansen, 1972) подназванием метод "облако в ячейке"В методе "облако в ячейке", интегрируется уравнениетраектории движения каждого дискретного вихряdx k= ukdtскорости вычисляются по значениям функции тока, которая вотличие от метода дискретных вихрей опреденляется не путемсуммирования вкладов от отдельных дискретных вихрей, а изрешения уравнения для функции тока с использованием сеточнойфункции завихренности, определенной путем осреднения вкладовдискретных вихрей по ячейке сетки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
