Бураго Н.Г. Вычислительная механика (1185926), страница 28
Текст из файла (страница 28)
В задачахгидродинамики часто конвективные члены аппроксимируются появной схеме, а диффузионные и свободные члены - по неявной. Этоделается постольку, поскольку диффузионное ограничение на шагпо времени при явных аппроксимациях может быть слишкомсильным. Неявная аппроксимация позволяет избавиться от этогоограничения. При неявной аппроксимации вязких членов операторзадачи на каждом шаге по времени является эллиптическим,положительным, самосопряженным и, таким образом, достаточнопросто обратимым.
При этом коэффициенты вязкости определяютсячаще всего по решению с предыдущего слоя.Свободныенедифференциальныечленыбольшойинтенсивности, зависящие от решения, при явной аппроксимациитоже требуют неприемлемых ограничений шага по времени и,поэтому, аппроксимируются неявно. При этом, возможно, шаг повремени все же придется ограничить с тем, чтобы не нарушитьсвойств эллиптичности оператора неявной схемы. Нелинейныевязкие и свободные члены квазилинеаризуются относительноприращений искомых функций на шаге по времени.Что же касается конвективных членов, то их неявнаяаппроксимация применяется довольно редко, поскольку операторнеявной схемы на шаге по времени при этом становитсянелинейным, несамосопряженным и знаконеопределенным, чтоделает его обращение довольно трудоемким делом.
Применяявариационную формулировку метода наименьших квадратоводновременно с ньютоновской квазилинеаризацией можно получитьуравнения с неявной аппроксимацией конвективных членов,165Глава 16. Рaсчeт сжимаемых теченийобладающие свойствами положительности и самосопряженности(смотри, например, уравнения схем уравновешенной вязкости впредыдущем параграфе). Однако, обусловленность такой неявнойсхемы будет ухудшена и при ее реализации надо будет позаботитьсяо предобусловливании алгебраической задачи.Большие шаги по времени обычно применяют в тех случаях,когда нестационарная постановка задачи введена для улучшениясвойств решаемых уравнений с конечной целью определитьстационарное решение. В этом случае можно не заботится офизической адекватности промежуточных решений в процессеустановления стационарного решения.
Однако, следует иметь в видуто, что с увеличением шага по времени может возрасти схемнаявязкость и тогда достигнутое стационарное решение может бытьискажено этой дополнительной вязкостью. Поэтому такиестационарные "решения" надо уточнять, продолжив расчет суменьшенным шагом по времени.16.9. Maршeвые мeтoдыСтационарные задачи газовой динамики для сверхзвуковыхтечений относятся к гиперболическому типу, причем рольгиперболической координаты играет пространственная переменная,вдоль которой газ движется со сверхзвуковой скоростью. Например,в окрестности обтекаемого тела, ограниченной с одной стороныповерхностью тела, а с другой стороны головной ударной волной,сверхзвуковой поток можно рассчитать решая гиперболическуюначально-краевуюзадачуявнымшаговымметодомпогиперболической координате, направленной вдоль набегающегопотока или вдоль образующей.
Такой метод как бы марширует поэтой координате в направлении потока, откуда и произошлоназвание этой. группы методов - маршевые. Маршевые методы былиразвиты начиная с 1960-х годов для расчета обтекания корпусовракет и самолетов.Для начала расчета надо стартовать с некоторого известногорешения от границ сверхзвуковой зоны в головной частиобтекаемого тела. Расчет продолжается, пока уравнения сохраняютгиперболичность, то есть до кормы, за которой наступает срывпотока и потеря гиперболичности в зонах возвратноциркуляционного течения непосредственно за кормой.Для реализации начальных условий надо располагатьданными о стационарном течении в дозвуковой и трансзвуковойзонах головной части.
Эти данные получают, решая в этой областивместо стационарной задачи соответствующую нестационарнуюзадачу газовой динамики, решение которой на больших временахстремиться к решению стационарной задачи. Поскольку система166Глава 16. Рaсчeт сжимаемых теченийуравнений газовой динамики для нестационарного теченияпринадлежит гиперболическому типу независимо от скороститечения, то ее стационарное решение получается по каким-либоявным схемам методом установления.В принципе метод установления можно применить дляопределения стационарного решения во всей области течения: иоколо головной части, и около корпуса и за кормой.
Это, однако,требует очень больших затрат вычислительной работы иприменения высокопроизводительных ЭВМ.Экономичный комплексный метод реализует расчетдозвуковых областей методом установления и, затем, используетполученное решение в качестве начальных данных для быстрыхмаршевых методов расчета зоны стационарного сверхзвуковоготечения. Затем к расчету дозвуковых зон в кормовой части опятьприменяется метод установления. Такая технология расчетапозволила получить решение сложных стационарных задач отрехмерныхневязкихтеченияхнамашинахмалойпроизводительности еще в 1960е годы (см. Бабенко, Воскресенский,Любимов, Русанов, 1964; Любимов, Русанов, 1967).16.10. Схемы для течений мелкой водыНесжимаемые течения воды в “мелких” водоемах вродебассейнов, озер, морей и океанов, горизонтальные размеры которыхмного больше их вертикального размера (глубины) с хорошейточностью описываются теорией мелкой воды.
Начально-краевыезадачи этой теории относятся к гиперболическому типу и решаютсятеми же методами, что и соответствующие задачи газовойдинамики.Напомним основы теории мелкой воды. Уравнениенеразрывности и уравнения движения несжимаемой идеальной(невязкой) жидкости в трехмерном случае имеют вид∇ ⋅ v = 0 , ∂ t v + v ⋅ ∇v = −∇p / ρ − ge zгде g - ускорение силы тяжести, e z - орт вертикальной осикоординат. В приближении мелкой воды в уравнении движения повертикальной оси материальной производной по временипренебрегают и после интегрирования для давления получаютследующее представлениеp = ρ g (ξ − z )167Глава 16. Рaсчeт сжимаемых теченийгде z = ξ ( x, y, t ) является уравнением свободной поверхности ипринято, что давление на свободной поверхности равно нулю. Далеевводятся обозначения для осредненных по глубине горизонтальныхсоставляющих скоростиu=ξξ11vx dz , v = ∫ v y dz∫hbhbгде h = ξ − b - переменная глубина, z = b( x, y, t ) - заданнаяфункция уровня дна.
Интегрированием по глубине исходныеуравнения неразрывности и движения несжимаемой жидкостиприводятся к следующим уравнениям теории мелкой воды∂ t h + ∂ x (hu ) + ∂ y (hv) = 0∂ t u + u∂ x u + v∂ y u = − g ∂ xξ∂ t v + u∂ x v + v∂ y v = − g ∂ yξКонсервативная форма уравнений мелкой воды имеет вид∂ t U + ∂ x E( U ) + ∂ y G ( U ) = Sгде0 hu hvh U = hu , E = hu 2 + gh 2 / 2 , E = huv , S = − gh∂ x b − gh∂ y b huv hv 2 + gh 2 / 2 hv Заметим, что если отождествить глубину водоема h сплотностью некоторой газообразной среды ρ , а величину gh 2 / 2с давлением в этой среде p , то получается система уравненийбаротропной (давление является функцией плотности) двумернойгазовой динамики с отношением теплоемкостей равным двум(давление пропорционально квадрату плотности).
Эта системауравнений является гиперболической со скоростью распространениямалых возмущений c = gh .Для решения задач теории мелкой воды применяютсярассмотренные выше методы газовой динамики. Более подробно сметодами расчета течений мелкой воды можно познакомиться по168Глава 16. Рaсчeт сжимаемых теченийкнигам (Куликовский, Погорелов, Семенов, 2001; Марчук, Чубаров,Шокин,1983; Коннор, Бреббиа,1979).Определенные, но преодолимые, трудности реализациивозникают при моделировании наводнений и затопления береговволнами от приливов, цунами, разрушенных плотин и дамб с учетомрельефа дна и местности в окрестности водоемов и рек.
В этихзадачах область решения является заранее неизвестной ипеременной во времени. Решение таких задач проводится сквознымсчетом уравнений мелкой воды во всей окаймляющей областивозможных ее движений. При этом первая трудность состоит в том,что при обращении глубины в нуль в уравнениях возникает делениена нуль, поэтому во всех местах алгоритма, где глубина стоит взнаменателе, ее значение ограничивается снизу малой величиной,например, h := max(h,10 −3) . Вторая трудность состоит вобеспечении консервативности, которая неизбежно нарушается изза погрешностей в определении положения свободной подвижнойграницы области, занятой жидкостью. Для обеспеченияконсервативностивводятсяспециальныекорректировочныепроцедуры, обсуждаемые подробно далее в главе про расчеттечений со свободными границами.16.11.
Лагранжевы схемы на эйлеровыхсеткахРассмотренные выше схемы расчета течений (эйлеровысхемы) реализованы на неподвижных в пространстве сетках(эйлеровых сетках). Для устранения неустойчивости связанной сявной аппроксимацией конвективных членов в эти схемы пришлосьвводить дополнительную диффузию явными (искусственнаявязкость) или неявными (аппроксимационная вязкость) способами.Необходимость в такой дополнительной диффузии отпадает влагранжевых схемах, использующих подвижные лагранжевы сетки,которые движутся вместе со сплошной средов.
Поскольку при этомконвекция(движениематериальнойсредыотносительнокоординатной среды) отсутствует, то нет необходимости и вдополнительной диффузии.В основе идеи применения лагранжевых схем на эйлеровыхсетках лежит расщепление расчета на каждом щаге по времени надва этапа. На первом этапе зависимые переменные рассчитываютсяпо лагранжевой схеме, узлы эйлеровой сетки смещаются в новыеположения вместе со средой. На втором этапе значения решения в вузлах исходной эйлеровой сетки определяется интерполяциейрешения со смещенной лагранжевой сетки. В результате такиесхемы обладают меньшей эффективной вязкостью и лучшеописывают ударные волны и погранслои.169Глава 17. Расчет несжимаемых теченийГлава 17.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
