Бураго Н.Г. Вычислительная механика (1185926), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Выбор зависимых тензорных переменных. .Зависимыепеременные тензорной природы определяются с помощью базисныхвекторов,⌣Эi = ∂xɶ / ∂x iопределенных в какой-либо из конфигураций сплошной средыoxɶ (начальной x , актуальной x или произвольной xɶ ) и связанных свыбранныминезависимымипространственнымипеременными⌣ ⌣ ⌣ ⌣x=(x1 , x 2 , x 3 ) , которые, в свою очередь, можно связать с начальной,актуальной или промежуточнойдекартовыми или криволинейными.193конфигурациямиисделатьГлава 18. Методы для задач упругопластичностиСлучаи выбора промежуточной конфигурации для введениятензорных характеристик сплошной среды в литературе невстечаются, хотя принципиальная возможность такого выборасуществует. В литературе по задачам упругопластичности нередкоиспользуются лагранжевы зависимые переменные тензорнойo oo oooприроды ε, ε p , e, ep , σ ( xɶ = x ). В принятой здесь системе уравненийдвижение сплошной среды рассматривается в актуальнойконфигурации с использованием обычных эйлеровых тензорныхзависимыхпеременных:ε, ε p , e, ep , σ( xɶ = x ).Эйлеровыпеременные являются наиболее удобными, так как они давноиспользуются и являются привычными и поскольку они применимыне только к задачам о твердых деформируемых телах, но и к задачаммеханики жидкости и газа, для которых начальная конфигурация неопределена.
Особенно эйлеровы переменные предпочтительны взадачах с фазовыми переходами газ-жидкость-твердое тело, прикоторых одна и та же материальная частица может пребывать вразличных агрегатных состояниях.Кроме того, рассматриваемые уравнения записаны вэйлеровых переменных с использованием абстрактной тензорнойнотации, которая сохраняет вид уравнений независимо от выборанезависимых пространственных переменных и базиса. Видуравнений в абстрактной тензорной нотации зависит лишь от того, ккакой конфигурации отнесены тензорные зависимые переменные.Заметим, что в общем случае внешне совпадающие по формеуравнения, записанные в абстрактной тензорной нотации и вкомпонентной нотации, могут выражать совершенно различныематематические связи.4. Выбор базиса для зависимых переменных.
После того, какпервые три возможности конкретизированы остается произвол ввыборе базиса для различных групп зависимых переменных, аименно, можно определить зависимые переменные (перемещения,скорости, деформации, напряжения и так далее) в локальном базисеиспользуемой криволинейной системы координат, а можно всезависимые перемееные или их часть определить относительноглобального базиса соответствующей декартовой системыкоординат.
Например, напряжения и деформации можно определитьв локальном базисе, что часто удобно для формулировки граничныхусловий, а кинематические переменные, то есть координаты,перемещения, скорости, ускорения определять в глобальном(неизменном от точки к точке) базисе. Польза от этого будетсостоять в упрощении вида уравнений, поскольку отпадетнадобность в ковариантном пространственном дифференцировании,учитывающем переменность базиса в пространстве. Такой выборчасто реализуется при построении теорий оболочек (теория194Глава 18. Методы для задач упругопластичностиРейсснера, например), при реализации подхода произвольноподвижных адаптивных сеток и во многих других случаях.Вывод из обзора формулировок. Из приведенного описаниявидно, что существует большое разнообразие возможныхпостановок задач упругопластичности (и механики сплошных сред,вообще).
Надо понимать, что при аккуратной записи все вариантыпостановок на уровне интегро-дифференциальных уравненийматематически эквивалентны и переходят одна в другую с помощьювзаимно однозначных замен переменных. Однако с точки зренияэффективности численной реализации они приводят к соверошеннонеэквивалентнымдискретныммоделям.Поэтомувыборконкретного варианта записи уравнений определяется не толькосоображениями удобства и легкости воплощения, но исоображениями, каксающимися наследованием основных свойств ихдискретными аналогами. Неудачный с самого начала выборформулировки задачи может создать абсолютно ненужныесложности и ошибки в численных решениях.Отметим, что применительно к задачам упругопластическиимеется дополнительный произвол в формулировке законовпластического течения, связанный с выбором объективныхтензорных временных производных.
Вопрос этот подробнорассматривается в трактатах по нелинейной континуальноймеханике, но так и не имеет однозначного разрешения (см.например, книги (Астрарита, Маруччи, 1979; Коларов, Балтов,Бончева, 1980). Тем не менее, если в одном из вариантов постановкизадач такой выбор сделан, то эквивалентные постановки задач вдругих переменных получаются путем аккуратной заменыпеременных. Поэтому, по мнению автора этих строк, имевшие местов научной литературе 20-го века по нелинейной механике острыедискуссии по выбору “наиболее правильных” объективныхпроизводных и "наиболее правильных" зависимых переменных посути являлись субъективными и не имевшими шансов нарациональное разрешение.Общим недостатком многих имеющихся в литературевариантоввыборазависимыхпеременныхдлязадачупругопластичности является их принципиальная несогласованностьс традиционными переменными гидрогазодинамики, поскольку онииспользуют в определениях зависимых переменных отсутствующиев гидрогазодинамике базисы начальной или разгруженнойконфигураций.
Это создает ненужные осложнения прирассмотрении контактных задач и задач с фазовыми переходами длямногокомпонентных сред.Описываемая здесь постановка общей задачи находится всогласии с формулировками задач в гидрогазодинамике. Отличие отформулировок задач гидрогазодинамики состоит только впоявлении дополнительных переменных и связей.195Глава 18. Методы для задач упругопластичностиПри решении задач конкретизируются независимыепространственныепеременные,зависмыепеременныеисоответствующие базисные векторы, после чего скалярнымумножением уравнений на базисные векторы осуществляетсяпереход к компонентной форме уравнений.Описание используемой здесь абстрактной тензорнойнотации дается в курсах тензорного анализа и механики сплошныхсред.
Основные формулы абстрактной тензорной нотации ивыражения основных операторов в декартовых, цилиндрических исферических координатах приведены в приложении.Сделанныезамечанияпопостановкамзадачупругопластичности полезно иметь в виду при подробном изучениинелинейной механики сплошных сред, знание которой необходимодля понимания особенностей излагаемых численных алгоритмов.К разнообразию отмеченных формулировок исходнойначально-краевой задачи следует добавить еще и возможностиразличной математической формулировки основных уравнений, аименно:1) в вариационной форме (как это принято здесь для уравненийдвижения), возможно, в различных вариантах в соответствии сразличными вариационными принципами;2) в интегральной форме законов сохранения;3) в интегральной форме методов граничных интегральныхуравнений;4) в дифференциальной форме;5) в форме уравнений для ансамбля дискретных материальныхэлементов различной природы (например, частиц), получаемойнапрямую с учетом законов сохранения массы, импульса, энергии изаконоввзаимодействияэлементов,минуястадиюдифференциальных уравнений.Так что простор для развития и приложения различныхподходов является воистину необъятным.18.2.
Пространственные КЭ-аппроксимацииНамереваясь реализовать вариант метода конечныхэлементов (МКЭ), в области V введем сетку элементов (ячеек),состоящую: из тетраэдров, призм или параллелепипедов втрехмерном случае; из треугольников и четырехугольников вдвумерном случае; из отрезков в одномерном случае.Пусть xi ( i = 1, 2,..., NV ) – координаты узлов; NV - числоузлов; C (k , l ) , ( k = 1, 2,..., N C ; l = 1, 2,..., M C ) - номера узлов вэлементах; N C - число ячеек; M C - число узлов в ячейке; B (k , l ) ,196Глава 18.
Методы для задач упругопластичности( k = 1, 2,..., N B ; l = 1, 2,..., M B ) – номера узлов в граничных ячейках,N B - число граничных ячеек; M B - число узлов в граничной ячнйке.На временном слое n введем зависимые переменные в узлах, аименно, скорости v in и координаты узлов xin , а также зависимыепеременныевцентрахячеек,аименно,деформацииε nk ,пластические деформации ε npk , напряжения σ nk , пластическуюработу a npk и внутреннюю энергию U kn . Обозначим через Ωмножество номеров узлов сетки, через ΩV - множество номеровграничных узлов, в которых заданы кинематические условия, черезΩ E - множество номеров элементов (ячеек) сетки. Нижниебуквенные индексы имеют следующие значения: "C" – cell (ячейка),"V" – vertex (узел), "B" – boundary (граница), "E" – element (элемент).Используем обычную полилинейную аппроксимациюкоординат и скоростей на сетке конечных элементов (cм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
