Бураго Н.Г. Вычислительная механика (1185926), страница 37
Текст из файла (страница 37)
затруднено и в имеющейсялитературе отсутствует.18.7.3. Методы расчета разрушенияОтметим некоторые особенности метода решения,обусловленные спецификой задач континуального разрушения.Рассматриваемые процессы до разрушения происходят довольномедленно и влиянием инерции в уравнениях движения можно былобы пренебречь. Однако, с появлением зон разрушения процессдеформирования может резко ускоряться, становясь в окрестноститаких зон динамическим. Заранее предсказать момент временипоявления зон разрушения без проведения расчета невозможно,поэтому учет инерционных членов в алгоритме решения необходимс самого начала.
Помимо корректного расчета динамики процесса,учет инерции позволяет сохранить корректность краевых задач в техслучаях, когда зоны разрушения охватывают значительную частьобласти решения и, имитируя макротрещины, делят областьрешения на неразрушенные части, взаимовлияние которых близко кнулю, что означает разрушение фрагментацией или раскалываниемна части. Алгоритмы, не учитывающие силы инерции в этихусловиях, теряют не только точность, но также математическуюустойчивость и корректность, поскольку фрагментация приводит кнарушению запрета на движение деформируемых тел как жесткогоцелого, необходимого для корректности квазистатических задач.Обилие нелинейных членов в уравнениях и приближенноерешение нелинейных задач итерациями ("недоитерированность")приводят к тому, что искомые функции претерпевают нефизическиемелкомасштабные осцилляции в пространстве и времени.Признаком нефизических осцилляций (немонотонностей) решенияявляется появление в решении колебаний с длинами полуволн,213Глава 18.
Методы для задач упругопластичностиравныхшагампространственно-временнойсетки.Такиенемонотонности можно обнаружить по смене знака вторыхпроизводных от решения по отдельной координате в пределаходного ребра сетки (ребро не обязательно расположено вдолькоординатной линии). Такие нефизические немонотонности должнынемедленно устраняться, иначе в условиях плохой обусловленностизадач на режимах разрушения, то есть в условиях повышеннойчувствительности решения к малым возмущениям, такиенемонотонности могут исказить численное решение, что выразитсяв появлении ложных зон разрушения.Монотонизация решений проводилось в два этапа.
Напервом этапе использовался “физический” способ сглаживания,основанный на введении в эволюционные определяющие уравнениядля пластических деформаций и поврежденности малыхсглаживающих вязких членов, что обосновывается градиентнойтеорией повреждающейся упругопластической среды∂tε p = λ p∂F pH ( F p ) H (σ : ∂ t ε ) + ∇ ⋅ (ν∇ε p )∂σ∂ t γ = H ( Fd )Γ(ε , ε p , γ ) + rγ + ∇ ⋅ (ν∇γ )где ν - коэффициент вязкости. Вопрос о выборе величиныкоэффициента вязкости ν однозначного ответа не имеет ни изтеории,ниизэксперимента.Можноожидать,чтоэкспериментальные физические значения коэффициента вязкостибудут слишком малыми для обеспечения эффективноймонотонизации решения при реально используемых грубыхдискретизациях.
Так или иначе, в зависимости от явной или неявнойаппроксимации диффузионных членов на примере пространственноодномерных модельных задач несложно найти минимальныезначения коэффициента вязкости, необходимые для уменьшенияосцилляций численных решений в линейном случае. Для явных схемминимальное значение коэффициента искусственной вязкости равноν = c 2 ∆t / 2 , что и использовалось в нашей неявной схеме. Заметим,что эта вязкость уменьшает осцилляции, но не гарантирует ихотсутствие. Поэтому далее решение подправлялось дополнительно.На втором этапе использовался “математический” способсглаживания, заключающийся в устранении вновь появляющихсянемонотонностей нелинейным сглаживанием. Для этого в концекаждого шага по времени для каждой сглаживаемой функцииf определялись ее вторые производные f xx по каждомукоординатному направлениюx из решения следующихвспомогательных задач214Глава 18.
Методы для задач упругопластичности∫ (∇f ⋅ ∇δfxx+ f xx δf xx )dV = 0Vf xx∂V=0то есть, вторые производные таким способом определяются вусловиях простейшей аппроксимации решения кусочно-линейнымифункциями. При использовании квадратурных формул с точкамиинтегрирования в узлах сеткиматрица системы уравненийполучается диагональной и легко обращается.Если на некотором ребре сетки величина f xx меняет знак,значит в соседних узлах, определяющих данное ребро, надопровести локальное сглаживание решения путем сдвига узловогозначения функции f i к ее среднему значению по направлению xf i := ( f i + ( f ( xi − h) + f ( xi + h)) / 2) / 2где h – малое приращение координаты x, величины f ( xi − h) иf ( xi + h) определялись интерполяцией.
Второй способ в отличие отпервого в зонах монотонного решения никакого сглаживания непроизводит. Если нет явных физических доводов в пользу первогоспособа, то из процедуры сглаживания первый этап можноисключить.Для описания упругих свойств материала принятаупрощенная форма закона Гука, полученная в предположенииначальной изотропии свойств материала:σ = λI(ε − ε p ) : I + 2µ (ε − ε p )где параметры упругости Лямэ и предел текучести, определяющийграницы упругого поведения материала, зависят от поврежденностиследующим образомλ = λ0 e −1000γ , µ = µ 0 e −1000γ , σ p = σ p 0 e −1000γи нуликами помечены значения для неповрежденного материала.Локальнымкритериемразрушенияявляетсядостижениемаксимальной главной деформацией положительного критическогозначения ε d .
Максимальная главная деформация при этом являетсядеформацией растяжения. Условие разрушения имеет вид:215Глава 18. Методы для задач упругопластичностиFd =[(1max (ε x + ε y ) ± (ε x − ε y ) 2 − 4ε xy22)1/ 2]M − εd≥0где величинаM =min( h x , h y )max[( x max − x min ), ( y max − y min )]является безразмерным масштабным множителем, с помощьюкоторого учтена корневая особенность, присущая концентрациидеформаций у кончика трещины в упругом материале, что позволяеттрактовать данный локальный критерий как приближенноепредставление обычного критерия разрушения механики хрупкогоразрушения в терминах коэффициентов концентрации деформаций.Критерий разрушения с масштабным множителем улучшаетили, правильнее будет сказать, обеспечивает сходимость численныхзначений интегральных критических нагрузок разрушения приизмельчении сетки. Иначе получается так, что чем мельче сетка, темраньше наступает разрушение, поскольку на более мелкой сеткеконцентрация деформаций описывается все лучше и критическиеуровни деформации достигаются все раньше, при меньшихзначенияхприложеннойнагрузки.Конечно,зависимостькритических нагрузок от сеточного разрешения должна быть, но онадолжна сходиться к некоторому предельному значению критическойнагрузки, что и обеспечивает масштабный множитель.
Введениеданного множителя не является окончательным решением проблемысходимости расчетных критических нагрузок разрушения, но оноподчеркивает проблему, связанную с расчетными критериямиразрушения, и показывает направление к возможному ее решению.Может быть кто-то сможет придумать лучшую регуляризациюкритерия разрушения.Обратим внимание на то, что принятый критерийразрушения различает растяжение и сжатие, реагирует на сдвиг, таккак сформулирован в главных осях.
То есть критерий не тактривиален, как может показаться. Как следует из расчетов, онработает лучше, нежели критерии для первых и вторых инвариантовтензоров деформаций или напряжений. Еше одна особенностькритерия связана с тем, что он сформулирован в терминахкоэффициентов концентрации полной деформации. Это лучшийвыбор, так как полная деформация в отличие от напряжений,упругих и пластических деформаций не корректируется в расчетахопределяющихсоотношений,аоднозначноопределяетсякинематикой процесса деформирования.216В условиях отсутствия конкретных сведений о кинетикеповреждаемости кинетическое уравнение для повреждаемостипринималось в простейшей форме∂ t γ = 1000H(Fd )где H – функция Хевисайда.
Это уравнение обеспечивает быструю,но конечную скорость ее роста, при которой способность упругогосопротивления деформации при разрушении теряется за нескольковременных шагов. Это позволяет рассматривать применяемую здесьматематическую модель разрушения как регуляризованный вариантизвестной модели Маенчена-Сака [15], в которой напряженнодеформированное состояние при разрушении корректируется наодном временном шаге скачком. Мгновенная корректировка поМаенчену-Саку приводит к появлению в численном решениинефизических осцилляций.Глава 19. Генерация и использование сетокГлава 19.
Генерация и использованиесетокТеория генерации сеток является разделом вычислительнойматематики, описанию которого посвящены монографии Лисейкина(1999), Гильманова (1999), Иваненко (1997), Ковени, Яненко (1981),Сони, Томпсона (2002) и ряд других. Приведенное здесь краткоеизложение основных методов генерации сеток составлено на основеуказанных источников.19.1. Основные типы сетокСеткой в области решения (или, как иногда говорят,решеткой) называют пронумерованное множество заданных в этойобластиточек,называемыхузламисетки,снабженноеинформационными массивами соседства (наделенное топологией),указывающими или шаблоны для каждого узла (перечень номеровсоседних узлов), или ячейки сетки (номера узлов в ячейках).
Причеминформационные массивы соседства (шаблоны или ячейки) должныбыть заданы отдельно для внутренних узлов и для граничных узлов.Ячейки сетки должны быть непересекающимися и иметь общиеграницы между ячейками. В идеальном случае объединение ячеекдолжно дать область решения. Поскольку в реальных задачахобъединение ячеек может не совпадать тождественно с областьюрешения, то говорят, что сетка (сеточная область) аппроксимирует(приближенно представляет) область решения.Самыми простыми являются прямоугольные, равномерныеи, одновременно, регулярные сетки. Прямоугольные сетки состоятизузлов,расположенныхвдолькоординатныхлинийпрямоугольной (декартовой) системы координат.
Равномерныесетки состоят из одинаковых по форме и размеру ячеек. Регулярныесетки допускают i-j-k нумерацию узлов, где каждый индекс отвечаетсвоей пространственной (возможно криволинейной) координате.Для регулярных сеток информационные массивы соседствазаменяются простыми правилами определения соседних узлов,например, для внутреннего узла (i,j,k) соседями являются узлы( i ± 1, j ± 1, k ± 1 ).Указанные свойства могут сочетаться во всевозможныхкомбинациях, которые определяют основные типы сеток:(не)прямоугольные, (не)равномерные, (не)регулярные сетки.Отметим, что регулярные сетки в другой терминологииназываются структурированными сетками.: Непрямоугольные сеткис узлами, расположенными на координатных линиях криволинейнойсистемы координат, называются криволинейными сетками.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
