Бураго Н.Г. Вычислительная механика (1185926), страница 38
Текст из файла (страница 38)
ВГлава 19. Генерация и использование сетокзависимости от формы ячеек различают сетки треугольные,четырехугольные, тетраэдральные и так далее. Сетки, содержащиеячейки различной формы, называют смешанными. Ребром называютлинию соединяющую соседние узлы. Гранью называютповерхностную ячейку, являющуюся частью границы объемнойячейки.
Валентностью узла называют число ребер, исходящих изданного узла.Сетки различаются также множеством других свойств,например, типом движения узлов (лагранжевы, эйлеровы,произвольно подвижные),способом адаптации к решению(встраиваемые, наложенные, окаймляющие, динамически игеометрически адаптивные) и так далее. Определения этих свойстввводятся далее по мере надобности и могут быть найдены в тексте спомощью предметного указателя.19.2. Регулярные сеткиПрямоугольные равномерные регулярные сетки имеют узлы,положение которых в декартовой прямоугольной системе координатзадано соотношениямиxijk = a1 + i (b1 − a1 ) / N1yijk = a2 + j (b2 − a2 ) / N 2zijk = a3 + k (b3 − a3 ) / N 3гдеi = 0,1,..., N1 ; j = 0,1,..., N 2 ; k = 0,1,..., N 3 .Такаяопределяет область решения в виде параллелепипедасеткаV = {( x, y, z ) : x ∈ [a1 , b1 ], y ∈ [a2 , b2 ], z ∈ [a3 , b3 ]}Информационные массивы, определяющие внутренние и граничныешаблоны или ячейки, для прямоугольной равномерной регулярнойсетки задавать не нужно, так как имеются простые правила ихопределения.
Например, шаблон любого внутреннего узла i,j,k( 0 < i < N1 ; 0 < j < N 2 ;0 < k < N 3 ) состоит из узлов с номерамиi ± 1, j ± 1, k ± 1 . Так же просто для регуляпных сеток описываютсяшаблоны граничных узлов и определяются номера узлов вовнутренних (параллелепипеды) и граничных (прямоугольники)ячейках..Достоинством равномерной прямоугольной регулярнойсетки является то, что для ее задания достаточно иметь минимумпараметров: границы изменения координат a1 , b1 , a2 , b2 , a3 , b3 и219Глава 19.
Генерация и использование сетокпараметры числа узлов N1 , N 2 , N 3 . Не надо запоминать никоординаты узлов, ни информационные массивы соседства.Криволинейные регулярные квазиравномерные сеткиполучаются путем задания регулярной прямоугольной равномернойсетки в арифметическом пространстве криволинейных координат.Пусть, например, ξi (i = 1, 2, 3) - криволинейные координаты,связанные с декартовыми прямоугольными координатамиxi (i = 1, 2, 3) соотношениямиxl = xl (ξ1 , ξ 2 , ξ3 )(l = 1, 2,3)В арифметическом пространстве криволинейных координатравномернаярегулярнаяпрямоугольнаясетказадаетсясоотношениямиξ1ijk = a1 + i (b1 − a1 ) / N1ξ 2ijk = a2 + j (b2 − a2 ) / N 2ξ3ijk = a3 + k (b3 − a3 ) / N 3Тогда в области решения скоординатамиполучаетсяквазиравномерная сетка с узламидекартовыми прямоугольнымикриволинейнаярегулярнаяxlijk = xl (ξ1ijk , ξ 2ijk , ξ3ijk ) (l = 1, 2, 3)Нередко прямоугольные равномерные регулярные сеткиприменяются к расчету процессов в подвижных областях сложнойформы и переменной связности.
Это делается в методах сквозногосчета в подходах фиктивных областей, маркеров и маркер-функций,использующих обобщенные постановки задач, в которых граничныеусловияучитываютсякакдополнительныеограничения.Рассмотрению таких подходов посвящена глава про расчетподвижных границ раздела.19.2. Нерегулярные сеткиПусть имеется (многосвязная) область решения сложнойформы. Самыми простыми являются нерегулярные сеткиидентичных (одинаковых) ячеек.
Они строятся путем заданияравномерной прямоугольной регулярной сетки, которая заведомопокрывает (или, как говорят, окаймляет) заданную областьрешения.. Затем вводится информационный массив признаковрасчетных ячеек, в котором каждой ячейке, центр которой попал в220Глава 19. Генерация и использование сетокзаданную область решения, присваивается число 1, а в противномслучае ей дается число 0. В результате получается грубаяаппроксимация области решения множеством идентичных ячеек спризнаком 1. Точность такой аппроксимации области решения будетповышаться по мере увеличения параметров числа узлов N1 , N 2 , N 3 .Сетки с дробными ячейками.
Ячейки окаймляющей сетки,которые пересекаются границей заданной области решения,называются приграничными. Отбрасывая не принадлежащиеобласти решения части приграничных ячеек получаем усеченныеили, как говорят, дробные ячейки. Для описания дробных ячеек надовводить массивы координат дополнительных узлов в точкахпересечения ребер с заданной границей и дополнительные массивыномеров узлов в дробных ячейках. Сетки с дробными ячейкамилучше аппроксимируют область решения и позволяют более точнопоставить граничные условия. Маленькие дробные ячейки создаюттрудности для применения явных схем в нестационарных задачах,так как приводят к неприемлемым ограничениям шага по времени.Сетки со "схлопнутыми" дробными ячейками получаютсяпутем перемещения внутренних узлов, принадлежащих дробнымячейкам, вдоль ребер на границу, что означает "схлопывание"дробных ячеек..
Таким образом получаются нерегулярные сеткиотличными от внутренних приграничными ячейками, при этомтрудности, вызванные маленькими дробными ячейками, снимаются.Трансляционные (слоистые) сетки получаются трансляцией(пошаговым переносом) плоской сетки (две координаты) вдользаданной кривой (третья координата) так, что касательная к кривойявляется нормалью к плоской сетке. После каждого шага переносаплоской сетки образуется слой пространственных ячеек.Блочные сетки получаются объединением подобластей срегулярными сетками.Составные сетки образуются объединением подобластей ссетками общего вида.Объединение сеток состоит в 1) перестройке сеток награницах подобластей для получения одинаковых поверхностныхсеток в зоне сращивания, 2) глобальной перенумерации.узлов вподобластях, 3) отождествлении совпадаюших узлов на границахподобластей, 4) обновлении массивов номеров узлов в ячейках илишаблонах в соответствии с новой глобальной нумерацией узлов..В общем случае нерегулярные сетки описываются массивамикоординат узлов, массивами соседства для объемных ячеек иотдельно для поверхностных граничных ячеек (или шаблонамивнутренних и граничных узлов).
Именно эти массивы представляютсетки в наборах исходных данных для программ решателей(солверов) и постпроцессоров – обработчиков численных решенийиспользуемых для построения таблиц и рисунков.221Глава 19. Генерация и использование сетокНаиболеераспространеннымиметодамигенерациинерегулярных сеток являются метод "нарезания пирога", состоящийв последовательной генерации внутренних узлов и объемных ячеекпродвижением от границы слоями вглубь области решения, и методповерхностей равного уровня функции расстояния до границы, атакже методы дробных и схлопнутых дробных ячеек..Важной характеристикой генераторов нерегулярных сетокявляется простота и краткость исходных данных, описывающихобласть решения. Часто такие исходные данные производятсяинтерактивными (диалоговыми) CAD системами (программамиавтоматизированного проектирования).
Сетки, генерируемыетакими системами, как правило, непригодны для расчета и служатвходными данными для программ генерации сеток.19.3. Генерация сеток отображениямиПусть в некоторой области (прообразе) введена сетка.Отображая эту область на область решения (образ), тем самымполучаем сетку в области решения.
Имеется соответствующаятеория генерации сеток с помощью отображений, развивающаяся смомента пояления вычислительных машин по настоящее время. Этатеория имеет много общего с теорией нелинейной упругости,поскоьку обе теории изучают отображения одной области надругую, удовлетворяющие сходным наборам требований: помимосуществованияиединственностиотображениятребуетсяположительность якобиана отображения, гарантирующая отсутствиевыворачивания элементарных объемов, инвариантность уравненийпо отношению к преобразованиям системы координатиортогональным преобразованиям (поворотам) конфигураций образаи прообраза, обратимость и возможность управления деформацией.Наличие указанного сходства отмечалось во многих работах[4,6,7,8,9]. Поэтому имеет смысл изложение уравнений дляпостроения сеток отображениями сделать с позиций теорииупругости.Вариационная запись уравнений термоупругости имеет видδ ∫ψ (ε, T )dVɶ = 0 , ε = ((∇ɶ x) ⋅ (∇ɶ x)T − I ) / 2Vɶгде δ - знак вариации, ψ (ε, T ) ≥ 0 - энергия деформации,зависящая от деформации ε и температуры T , x = x(xɶ , t ) искомое отображение исходной областиVɶ(начальнаянедеформированная конфигурация при t = 0 ) на подвижнуюобласть решения V (деформированная конфигурация при t ≥ 0 ),которое удовлетворяет граничным условиям222Глава 19.
Генерация и использование сетокxɶ ∈ ∂Vɶ , t ≥ 0 : x(xɶ , t ) = x* (xɶ , t )где x = x* (xɶ , t ) - заданная функция, определяющая отображениеɶ . – оператор пространственногограницы, t – время, ∇дифференцирования в начальной конфигурации, операциятранспонирования обозначена (...)T .Запись вариационного уравнения нелинейной теорииупругости является общей формой представления уравнений дляопределения отображений одной области на другую.
Так что этаформа записи включает и все варианты сеточных уравнений,удовлетворяющие требованиям инвариантности по отношению кпреобразованиям систем координат и инвариантности поотношению к ортогональным преобразованиям начальной идеформированной конфигураций.Требование интвариантности относительно смены системыкоординат означает, что энергия деформации должна бытьскалярной функцией тензорного аргумента в смысле тензорногоисчисления, то есть она должна зависеть только от инвариантовтензора деформации. Для изотропных отображений это означаетзависимость от первого, второго и третьего инвариантов, которыеимеют вид:ε I = ε : I , ε II = ε : ε , ε III = det(ε)В случае анизотропных отображений энергия деформациизависит от инвариантов общего вида, например, C :: εε , где C тензор четвертого ранга, являющийся тензорной функциейдеформаций.Требование инвариантности относительно ортогональныхпреобразований (поворотов) начальной и деформированнойконфигураций означает, что энергия деформации не должназависеть от преобразований поворота.
По теореме о полярномразложении (см. курс тензорного анализа) преобразования поворотапредставлены тензором поворота R , который является составнойɶ :частью тензора градиента деформации ∇xɶ x = U⋅R = R ⋅V∇где тензоры U и V являются соответственно левым и правымтензорами чистой деформации. Тензор поворота подчиняетсясоотношению:RT ⋅ R = R ⋅ R T = I223Глава 19. Генерация и использование сетокИспользование в качестве аргумента энергии деформации тензорадеформаций гарантирует инвариантность уравнений относительнопреобразований поворота, так какɶ x) ⋅ (∇ɶ x)T − I ) / 2 = (U ⋅ R ⋅ (U ⋅ R )T − I ) / 2 =ε = ((∇= ( U ⋅ R ⋅ ( R T ⋅ UT ) − I ) / 2 = ( U 2 − I ) / 2В природе имеются материалы, сохраняющие свойствообратимости деформаций (то есть подчиняющиеся уравнениямнелинейной теории упругости) при очень больших деформациях,например, резиноподобные материалы.
Для описания деформацийтаких материалов теория упругости располагает большим наборомхорошо изученных на дифференциальном уровне уравнений,которые можно использовать для построения сеточныхотображений.Неследует,однако,переоцениватьвозможностииспользования опыта теории упругости в алгоритмах генерации иуправления движением адаптивных сеток, так как расчет большихдеформаций упругих тел до сих пор является трудной проблемой,несмотря на наличие множества пакетов прикладных программ,которые такой расчет должны осуществлять.Дискретизированные уравнения не наследуют автоматическисвойства дифференциальных, интегральных и вариационныхуравнений.Поэтомуформулировкадискретныхусловий,эквивалентных требованию положительности якобиана отображенияна дифференциальном уровне, не является очевидной и до сих порявляется предметом исследования.Существенный прогресс в формулировке и реализациидискретных условий невырожденности сеток достигнут в работахИваненко, Чарахчьяна (1987), Ушаковой (2006), Азаренка (2008).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
