Бураго Н.Г. Вычислительная механика (1185926), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Этотметод часто используется для апостериорной оценки точностичисленных решений, а также для построения мониторных функцийпогрешности решения в методах адаптивных сеток.Имеется возможность повышения точности решений"фиктивной интерполяцией" решения на локальную измельченнуюсетку с последующим использованием невязок на измельченныхшаблонах для определения уточняющих поправок к решению(Брандт, 1980).
Этот метод "фиктивных вложенных сеток" Брандтавыгоден в условиях нехватки памяти компьютера, когда нетвозможности разместить в памяти ЭВМ решение на измельченнойвложенной сетке.Заметим, что имеются попытки введения вложенных сетокдроблением ребер не на две, а на три и более частей (Мартыненко,2001). Это приводит к значительному увеличению скорости ростачисла узлов от одной вложенной сетки к другой и вызывает резкоеповышение требований к быстродействию и памяти ЭВМ, чтоставит под сомнение целесообразность такого дробления, так как егопреимущества неочевидны.Помимо экономичности по памяти и быстродействиюобычные вложенные сетки, полученные дроблением ребер на двечасти, обладают также преимуществом точности, так как серединыребер являются при интерполяции решения на вложенную сеткуточками сверхсходимости, в которых погрешность кусочнолинейной интерполяции пропорциональна квадрату длины ребра.228Глава 20.
Расчет подвижных границ разделаГлава 20. Расчет подвижных границразделаВ этой главе рассматриваются методы решения задач омногофазных несмешивающихся сплошных средах с подвижнымиграницами раздела фаз. Обилие методов показывает, что ни один изних не идеален. У всех есть свои плюсы и минусы.20.1.
Типы подвижных границ разделаПодвижные границы могут быть контактными границами,свободными границами и границами фазового перехода.Контактные границы представляют собой поверхностисоприкосновения несмешивающихся сред различной природы.Свободные границы отделяют конденсированную среду от пустогопространства. Контактные и свободные границы являютсялагранжевыми и движутся со скоростью сплошной среды.Границы фазового перехода являются поверхностями, накоторых происходит превращение одной фазы в другую. Границыфазового перехода являются нелагранжевыми, так как движутся соскоростями, отличными от скоростей материальной среды иопределяемыми условиями фазового перехода.Основными методами расчета подвижных границ разделаявляются следующие: метод лагранжевых сеток; метод лагранжевыхперестраивающихся сеток; метод произвольно подвижных сеток;методы непрерывных и дискретных маркеров; методы частиц.Рассмотрим эти методы ниже.20.2.
Лагранжевы сеткиЛагранжевы сетки движутся вместе со средой. При сильныхискажениях начальной формы границ подход лагранжевых сетокстановится неэффективным из-за искажения внутренних иповерхностных ячеек сетки, которое приводит к потере точности.Кроме того, подход лагранжевых сеток встречает большиетрудности при моделировании процессов фрагментации (разделениядеформированного тела на части) и объединения тел, так как этосвязано с необходимостью переопределять списки узлов в ячейках,что в трехмерных задачах практически нереализуемо. В зонахсжатия лагранжевы сетки содержат избыточное количество узлов, инаоборот, в зонах разрежения может ощущаться нехватка узловлагранжевой сетки. Уменьшение размера ячеек лагранжевой сетки вГлава 20.
Расчет подвижных границ разделазонах сильного сжатия среды может послужить причиной такназываемой "пробуксовки" алгоритма решения, при которойотсчитывается большое количество временных шагов, афактическогопродвиженияпофизическомувременирассчитываемого процесса не происходит, так как значения шага повремени, определенные условием услойчивости, слишком малы.20.3. Перестраиваемые лагранжевы сеткиПри появлении значительных искажений начальной формы иразмеров ячеек лагранжевой сетки производят перестройкулагранжевых сеток в процессе решения.Перестройку сетки можно реализовать, сохраняя узлыпрежней сетки и только переопределяя отношения соседства(шаблоны или ячейки). Этот подход носит название методасвободных точек (Дьяченко, 1967) и реализован в методике"Медуза", описанной в книге (Бабенко и др., 1979).В общем случае граничные узлы старой сетки используютсядля определения формы области решения, а сетка генерируетсязаново с новыми граничными и внутренними узлами.
При этомприходится переинтерполировать решение со старой сетки нановую. Поскольку такая перестройка сетки трудоемка, онапроизводится не на каждом шаге по времени, а только тогда, когдастарая подвижная лагранжева сетка становится непригодной дляпродолжения вычислений.20.4. Произвольно подвижные сеткиИзбежать неприемлемых искажений подвижной сетки присохранении числа узлов и отношений соседства (шаблонов илиячеек) удается при использовании произвольно-подвижных(лагранжево-эйлеровых) сеток, геометрически адаптированных ккаждой из сред (фаз). В этом случае узлы сетки движутсянезависимо от сплошной среды и в уравнениях из-за разности вскоростях сетки и среды приходится или учитывать конвективныечлены, или производить переинтерполяцию решения на каждомвременном шаге.Уравнения движения сеток получают минимизацией целевыхфункционалов, требующих, как правило, выпуклости ячеек иадаптации их размеров к решению.
Нередко применяют и болеепростое управление подвижными сетками, обеспечивающее ихравномерность, что повышает эффективность явных схем в условияхкурантовского ограничения на шаг по времени.230Глава 20. Расчет подвижных границ раздела20.5. Перекрывающиеся сеткиПерекрывающиеся сетки служат эффективным средствоммоделирования сложных комплексных задач взаимодействия сред,учета сложной, переменной во времени формы области решения,задания граничных условий.Примером может служить задача взаимодействия газа илижидкости с деформируемыми твердыми телами. Первая основная(окаймляющая) сетка является вводится в области занятойдвижущимся газом или жидкостью.
Эта сетка занимает всю областьвозможных движений рассматриваемых сред и часто являетсяравномерной, регулярной и прямоугольной. Вторая сетка(лагранжева) вводится в подвижном деформируемом твердом теле иявляется лагранжевой. Вторая сетка накладывается на первую(отсюда происходит название сеток – перекрывающиеся) и далееорганизуется их взаимодействие.На каждом шаге по времени сначала по значениям решенияна эйлеровой сетке в точках границы лагранжевой сеткиинтерполяцией определяются действующие на деформируемое телосилы. По действующим силам на шаге по времени рассчитываетсяновое положение деформируемого тела. Затем производится расчеттечения на эйлеровой сетке, при этом учитывается, что ячейкиэйлеровой сетки, на которые наложилась лагранжева сетка запретныдля течения газа и скорости течения газа в них зануляются.Аналогично происходит обмен информации между наложеннымисетками и для постановки граничных условий для уравненияэнергии, переноса примеси и других.Нередко наложенная сетка используется просто для того,чтобы выполнить расчет по методу фиктивных областей ииспользуется для задания формы границ и граничных условий.Окаймляющая сетка не обязательно должна быть эйлеровой,она вполне может быть произвольно подвижной и адаптивной.Методналоженныхсетокпозволяетизбежатьнеобходимости генерации сеток в областях сложной формы,простить структуру входных данных, ускорить и упроститьразработку алгоритмов для задач со сложной физикой и геометрией.Эффективное использование метода наложенных сеток требуетприменения сеток высокого разрешения и мощных ЭВМ.20.6.
Непрерывные маркерыНепрерывным лагранжевым маркером называют функцию,принимающую заданные значения для каждой фазы и231Глава 20. Расчет подвижных границ разделаопределяющую поверхность раздела как поверхность равногоуровня маркер-функции. Маркер-функция ϕ (x, t ) подчиняетсятранспортному уравнениюd ϕ ( x, t )∂ϕ (x, t )= 0 или+ u(x, t ) ⋅∇ϕ (x, t ) = 0dt∂tГрадиент маркер-функции на границе раздела указываетнаправление нормали к границе, кривизна границы выражаетсячерез вторые производные маркер-функции.Расчет движения сред и эволюции функции непрерывногомаркера реализуется сквозным счетом на сетках, покрывающихпространственную область движения рассматриваемых сред.
Вусовершенствованныхвариантахрасчетвыполняетсясиспользованием произвольно-подвижных сеток, адаптирующихся кповедению решения и к геометрии взаимодействуюших сред.В алгоритмах метода жидких объемов (метод VOF – Volimeof Fluid или Volume of Fraction) роль маркер-функции играетфункция заполнения ячейки жидкостью, то есть отношениезаполненной жидкостью части объема ячейки к ее полному объему.Параметры геометрии границы раздела определяются по функциизаполенияспециальнымалгоритмом.Приобразованиимножественных частично-заполненных ячеек определение границраздела в этом методе может стать невозможным.В методах функций концентрации или функций цветамаркер-функция принимает постоянные для каждой фазы значения ина границе раздела меняет эти значения скачком.
Приинтегрировании уравнений для маркер-функции в этом случае надопредусматривать меры по предотвращению счетной диффузиимаркер-функции на границе раздела.В методе функций расстояния (Level Set method) маркерфункция определяет расстояние от данной точки до границыраздела, которое является положительным для точек в жидкости иотрицательным для точек пустого пространства.
Благодаряплавному изменению этой функции при переходе через границураздела эффект диффузии маркер-функции на границе разделаявляется несущественным, однако на больших временах значенияфункции уже теряют свой смысл как расстояния до границы ивремя от времени расстояния до границы переопределяют впроцессе расчета.Во всех методах непрерывных маркер функций имеетсяпроблема, связанная с нарушениями консервативности из-запогрешностей в определении границ областей фаз, которая набольших временах может приводить к потере численным решениемфизического смысла.232Глава 20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
