Бураго Н.Г. Вычислительная механика (1185926), страница 42
Текст из файла (страница 42)
То есть метод позволяет понизитьна единицу размерность задачи. К сожалению, учет распределенныхпо области источников приводит к необходимости вводить сетку нетолько на границе, но и в области решения. Так что в задачах сненулевыми свободными членами понижение размерностизаключается только в том, что разрешающая система уравненийсодержит только граничные искомые значения решения, но сеткупридется построить и внутри области.Далее, для уравнений с переменными коэффициентами и,тем более, для нелинейных уравнений определение исходныхинтегральных тождеств практически невозможно.
Поэтомуприходится прибегать к итерационным методам решениянелинейных уравнений, основанным на выделениии линейногооператора класического типа (например, оператора Лапласа). Длятакого линейного оператора исходные интегральные тождестваизвестны. В итерациях нелинейные члены включаются в известнуюправую часть линеаризованных уравнений и определяются позначениям решения с предыдущей итерации. Сходимость такихинтерационных процессов имеет место только для слабонелинейных уравнений.
С ростом влияния нелинейности сходимостьрезко замедляется и может вообще быть утеряна. Это ограничиваетвозможности применения МГЭ к нелинейным задачам.21.3. Прямой МГЭ для теории упругостиВарианты МГЭ разделяются на прямые, полупрямые инепрямые методы. Под прямым методом граничных элементовподразумевают метод, использующий в качестве искомыхпеременные,фигурирующие в исходных уравнениях. Подполупрямым методом подразумевают метод, в котором граничныеуравнения формулируются для вспомогательных переменных типапотенциала скоростей или функции напряжений.
И, наконец, поднепрямым методом граничных элементов понимают метод,использующий граничные уравнения для функций плотностиосновных переменных, которые сами по себе не представляютфизические свойства, а служат вспомогательными переменными.Для теории упругости рассмотрим прямой метод граничныхэлементов. Он основан на замене исходных уравнений в частныхпроизводных интегральным тождеством для упругих перемещений241Глава 21. Метод граничных элементовu(x ( p ) ) +∫ T( x( p), x (Q ) ) ⋅ u( x( Q ) )ds ( Q ) =∂Vточке x; u(x(Q )( p), x ( Q ) ) ⋅ t (x (Q ) )ds (Q )∂Vздесь u( x ( p ) ) - вектор перемещений( p)∫ U(x) и t(x(Q )(1)в произвольной внутренней) - граничные значения векторовперемещений и напряжений. Ялра T( x ( p ) , x ( Q ) ) и U ( x ( p ) , x ( Q ) )определяют проекции векторов напряжений и перемещений вовнутренней точке x ( p ) , вызванные приложением единичныхвозмущений (перемешений и напряжений, соответственно) в точкеграницы x ( Q ) .
При стремлении x ( p ) к точке на границе x ( P )интегральное тождество (1) переходит в интегральное граничноеуравнение∫ T(xu(x( P ) ) / 2 +( P), x( Q ) )u(x (Q ) )ds ( Q ) =∂Vздесь∫ U(x( P), x( Q ) )t (x( Q ) )ds (Q ) (2)∂VкомпонентыядерT = Tij (x( P ) , x(Q ) )ei e jиU = U ij (x( P ) , x(Q ) )ei e j , отвечающие фундаментальному решениюКельвина-Сомилиана для сосредоточенной силы∂σ i , j∂x j= δ (| x ( p ) − x ( Q ) |)имеют видU ij ( P, Q ) = (3 − 4ν )δ ij ( xi( P ) − xi( Q ) )( x (j P ) − x (jQ ) ) 1+16πµ (1 −ν ) rr3Tij ( P, Q ) =1 (1 − 2ν )(−( xi( P ) − xi(Q ) )δ jk +8π (1 −ν ) r 3(3)+( x (j P ) − x (jQ ) )δ ik + ( xk( P ) − xk( Q ) )δ ij ) +(P)+3( xi18π (1 −ν )− xi(Q ) )( x (j P ) − x (jQ ) )( xk( P ) − xk(Q ) ) nkr5(4)где nk - проекции единичной внешней нормали к поверхности ∂V .В двумерных задачах теории упругости ядра интегральноготождества имеют следующий вид:242Глава 21.
Метод граничных элементовU ij ( P, Q ) =Tij ( P, Q) =1 1 ∂r ∂r (3 − 4ν )δ ij ln +8πµ (1 −ν ) r ∂xi ∂x j ∂r ∂r1∂r ∂r ∂r (1 − 2ν )δ ij + 2nj −ni + (1 − 2ν ) 4π (1 − ν )r ∂n ∂xi ∂x j ∂x j ∂xi(5)Чтобы решить уравнение (2), вводится сетка граничныхэлементов с узлами в центрах тяжести элементов. В каждомграничном элементе граничные перемещения и напряженияпринимают постоянные значения, равные значениям в узлах,расположенных в центрах элементов.
Уравнение (2) записываетсядля каждого элемента, причем интегралы по границе вычисляютсякак суммы интегралов по граничным элементам с использованиемвведенной аппроксимации решения. При x ( P ) = x ( Q ) граничныйинтеграл имеет особенность, которая раскрывается предельнымпереходом, который во многих случаях исследуется аналитически,хотя существуют и разнообразные приближенные численныеприемы вычисления интегралов, содержащих сингулярности.Аналогично тому, как это было сделано в краевой задаче дляуравнения Лапласа, применение граничных элементов приводитграничное интегральное уравнение к системе линейныхалгебраических уравнений дискретизированной задачи следующеговида(0.5E + A ) ⋅ d = B ⋅ s(6)где E - единичная матрица, d = {uα }αN=1 и s = {tα }αN=1 векторыдискретных переменных, содержащие граничные значениякомпонентов векторов перемещений (displacements) и напряжений(stresses) в характерных точках сетки граничных элементов, N –число граничных элементов, размерность этих векторов равна 3N .Выражения для компонентов матриц 3 N × 3 NA и Bпредставляются интегралами от ядер Сомилиана, которые удобновыписать рассматривая эти матрицы как блочные, содержащиеN × N блоков 3 × 3 отвечающих векторных дискретным переменнымuα и tα , каждая из которых имеет три компонента.
Блочноепредставление матриц A и B имеет видAαβ =∫ T(xα , x(Q )) ds (Q )∂Vβ243Глава 21. Метод граничных элементовBαβ =∫ U(xα , x(Q )) ds (Q )∂VβИнтегралы можно вычислять как аналитически, так ичисленно путем применения квадратурных формул. При α = βподынтегральные выражения (ядра) имеют особенность, котораяраскрывается путем предельного перехода. Матрицы A и Bявляются сплошь заполненными и несимметричными.
СистемаN × 3 уравнений (6) содержит 2 N × 3 граничных параметров uα иtα , она замыкается с помощьюN × 3 граничных условий,формулируемых для каждого граничного элемента в видеограничений типа равенств, которым должны удовлетворятьвекторы перемещений и напряжений.Рассмотренныекусочно-постоянныеаппроксимациирешения на границах применялись в первых работах по методуграничных элементов, выполненных Риццо и Крузом (1977). В этомподходе граница представлялась отрезками прямых в двумерномслучае и плоскими треугольниками в трехмерном случае. Длядостижения достаточной точности требовалось большое количествограничных элементов, поэтому на низкопроизводительныхкомпьютерах в 1970-е годы решались только очень простые задачи.В дальнейшем в работах Рикарделло и Круза эффективность МГЭбыла улучшена путем применения линейных по граничномуэлементу аппроксимаций решения.
В нашей стране методыграничных интегральных уравнений и граничных элементов активноразвивались начиная с 1940-х годов в работах Д.И.Шермана,В.Д.Купрадзе, П.И.Перлина, Р.В. Гольдштейна, А.Я. Александрова,В.С.Рябенького и других.Имеется большое разнообразие вариантов сведенияисходных краевых задач к граничным интегральным уравнениям и,соответственно, большое разнообразие вариантов реализацииметода граничных элементов. Подробное рассмотрение вариантоввозможно лишь в рамках специального курса теории граничныхинтегральных уравнений и методов их численного решения.Подробности имеются в монографиях [Перлин, Партон, 1980];[Бреббиа, Уокер, 1982]; [Бенерджи, Баттерфилд, 1984] и др.244ПослесловиеПослесловиеПри написании данной книги и чтении соответствующегокурса лекций наиболее важным представлялось не заполнение еепространства бесконечными формулами, а изложение “на пальцах”идей и принципов предметной области.
Иначе за лесом формул иподаваемых навалом деталей суть множества рассматриваемыхвопросов осталось бы нераскрытой, замаскированной илинедоступной для понимания..При решении конкретных задач механики сплошных средспециалисту, не важно начинающий он или уже опытный,приходится иметь дело со свежей периодической (журнальной)литературой по теме, в которой можно найти подробности инедостающие детали. Чтобы со знанием дела подобратьнеобходимую литературу, нужно ориентироваться в предметнойобласти. Если данная книга поможет читателю в этом, то цель книгибудет считаться достигнутой.Список литературыСписок литературыAбрaмoв A.A.
Вариант мeтoдa прогонки. Ж. вычисл. мaтeм. и мaтeм.физ., 1, N2, 1961, с. 349-351.Агошков В.И. Методы оптимального управления и сопряженныхуравнений в задачах математической физики. М.: ИВМ РАН, 2003.256 с.Агошков В.И., Дубовский П.Б., Шутяев В.П. Методы решения задачматематической физики. М.: Физматлит, 2002. 320 с.Алалыкин Г.Б., Годунов С.К., Киреева И.Л., Плинер Л.А.
Решениеодномерных задач газовой динамики в подвижных сетках. М.:Наука, 1970. 112 с.Aлбeрг Дж., Нильсoн Э., Уoлш Дж. Teoрия сплaйнoв и eeприлoжeния. M.: Mир, 1972.Бабенко К.И. (Ред.) Теоретические основы и конструированиечисленных алгоритмов задач математической физики. М.: Наука,1979. 295 с.Бабенко К.И.
Основы численного анализа. - М.: Наука, 1986. - 374 c.Баженов В. Г., Чекмарев Д. Т. Вариационно-разностные схемы внестационарных волновых задачах пластин и оболочек Н-Новг.:Изд-во Нижегородского ун-та, 1992, 159с. Физматлит. 2002. 632 с.Баничук Н. В., Картвелишвили В. А., Черноусько Ф. Л.Вариационные задачи механики и управления. М.: Наука, 1973.Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел. М.: Наука, 1980Бате К., Вильсон Е. Численные методы анализа и метод конечныхэлементов /Пер. с англ. А.С. Алексеева и др.; Под ред. А.Ф.Смирнова.
М.: Стройиздат, 1982Бaхвaлoв Н.С. Числeнныe мeтoды, T. 1. M.: Нaукa, 1973, 631 с.Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы.М.: Наука, 1987.Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде, Мир, 1986.Белоцерковский О.М., Чушкин П.И. Численный метод интегральныхсоотношений // Ж. вычисл. матем.
и матем. физ. 1962. Т. 2. № 5. С.731–759.Белоцерковский О.М. (ред.) Численные методы в механикежидкостей, М.: Мир, 1981. 407 с.Белоцерковский О. М., Давыдов Ю. М. Метод крупных частиц вгазовой динамике. М.: Наука, 1982. 391 с.Бeлoцeркoвский O. M. Числeннoe мoдeлирoвaниe в мeхaникeсплoшных срeд. M.: Нaукa, 1984, 520 с.Белоцерковский О. М., Андрущенко В. А., Шевелев Ю. Д. Динамикапространственных вихревых течений в неоднородной атмосфере.М.: "Янус-К", 2000. 455 с.Глава 21. Метод граничных элементовБелоцерковский С. М., Ништ М. И. Отрывное и безотрывноеобтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. М.: Наука, 1978.351 с.Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов вприкладных науках. М.: Мир, 1984. 494 с.Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, том 1 (2-еиздание). М.: Наука, 1962Березин И.С., Жидков Н.П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
