Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (1185915), страница 98
Текст из файла (страница 98)
В монографии Ю. Г. Евтушенко (см. список литературы) подробно разъяснено содержание задачи, указан конкретный вид функций и значения параметров, входящих в систему уравнений Таблица ! 8 х — зооо г хз х — ! Г! х — ! х +л (рш С„, 5, !7, а, я). Вектор фазовых координат х = [х', хг, ..., х"), прн этом четыре его компоненты хв, хч, х!д, х" являются управлением в исходной постановке задачи. Они превращены в компоненты фазового вектора. Управлением стали нх производные, а компонентами управляющего вектора р стали начальные данные, Таблица !9 Опишем в общих чертах процесс решения этой задачи методом линеаризацин (он подробно описан в э 2б). На каждой итерации алГоритма вычисляются производные всех функционалов и решается задача линейного программирования.
Некоторые детали метода описаны выше (например, дискретизация задачи, аппроксимация функционалов, недифференцируемых в смысле Фреше). Вариационная задача ставится в терминах функционалов Р [и( ), р) Рв р, (задача быстродействия). На правом конце траектории ставятся пять условий, определяющих требование попадания правого конца траектории х(1) на некоторую гиперплоскость. Они имеют стандартную форму: Р,[и( ), р) Риф'[х(1)) = О, ! = 1, 2, ..., 5. Функции Ф' приведены в табл. 18.
Эти пять функционалов дифференцнруемы по Фреше. Таблица 19 содержит функции Ф'(х) для функционалов типа Р[и( ), р) яв игах Ф [х(Г)) и О, !' = б, 7, ..., 14. 16» пгиьлиженные методы вычислительной бизики [Ч. П 468 Как это часто бывает, многие из приведенных условий ставятся на всякий случай.
Заранее не ясно, нужно ли оптимальной траектории нарушать поставленные ограничения. Если в том или ином условии Р! [ и( ), р1 к 0 реализуется строгое неравенство и'! < О, то условие называют «пассивным». Оно может быть выброшено из постановки задачи без изменения существа дела. К сожалению, до решения задачи мы не можем выделить такие условия. Иногда условие е процессе поиска экстремума бывает то активным, то пассивным. Процесс решения задачи показан в табл. 20, в которой приведены номер шага (итерации) т и значения некоторых функционалов Р! Из недифференцируемых функционалов показаны значения только четырех, оказавшихся активными (т.е, существенными).
На нескольких первых итерациях активным было условие Таблица 20 8 !1 !ге~0, потом оно прочно перешло в разряд пассивных. Условие Р! Ы 0 стало активным только после 49-й итерации, в конце процесса выполнено условие Р! и 0.00б. Последний столбец табл. 20 содержит четыре целых числа — это величины Х„показывающие, сколько точек 71 иепОЛЬЗустея ДЛя аппРоксимации условия Р! НО (для 1' = 8, 11, 12, 14). о 5 1О 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 6! бг 64 21 20.45 20.86 г1.ог 18.69 17.74 16.95 15.88 14.75 ! 4.64 14.46 14.59 14.49 14,48 14,53 14.57 3 204 377 44! 23 56 23 28 3! 32 23 23 7 10 12 В 0 .57 .45 ,39 .О11 .005 .О11 .ою —.о12 -.012 Зиг .О!3, .006 .012 .012 .006 .0002 1.03 ! .00 0.65 -:008 .02 .008 .015 .005 .05 .004 .Отт .014 .07 .12 .036 г.1о-4 2.
62 .65 .13 .004 .005 .007 .007 .007 ,006 .003 .006 —.002 .003 .002 —.001 б 10 —. 047 .13 .014 .0009 .007 .006 .ООВ .007 .006 .007 -.0006 4105 ,0009 .0006 .ООО! 6 1О-' -.9 —.31 .О!6 .001 .008 .01! .оов .огб ,ОГО .005 .023 41о 5 .0015 .0001 3 1О .ООГВ .46 —,45 —.33 —.19 —.07 †.ОВ -.05 †.ооз ,ОО2 —.010 ".016 —.03 —.04 —.04 —.04 —.04 -25500 -45200 35300 79 -81 204 1530 1О4О 2160 690 !230 197 18 116 55 113 1.0 .49 .22 .065 .11 .03 .07 .09 .09 .05 .105 .05 .09 .03 0,0,0,0 0,0,0,2 1,0,0,2 1,0,1,3 1,0,1,3 3,1,1,3 3,1,1,4 3,1,2,4 3,1,3,4 3,1,3,4 3,1,3,4 6,0,2,5 7,0,5,6 7,0,6,8 7,0,6,8 6,0,6,8 469 8 зз1 злллчи оптим»льного тп»«аления Естественно возникает вопрос: можно ли при Рщ= 100, например, считать, что условие Рш «О выполняется с достаточной точносгьюу '.это, разумеется, зависит от того, какие значения для Рщ считаются «средними», характерными. Обычно в содержательной постановке задачи условия формулируются в виде Р, М С,, где заданные значения С,.
определяют, как правило, характерные значения для Р,: малое значение для Р, — это значение, существенно меньшее значения Сг Ради стандартизации постановки задачи все функционалы заменяются на Р,. — С,. О значениях С,. можно судить по значениям Р,. в начальном приближении (ч =0). Видно, что для Рз, Рз, Р«, Рз характерными являются значения порядка единицы, а для Р, — порядка 104, С учетом этих значений и следует оценивать точность выполнения условий Р,.
«О для разных г. О совместных ограничениях и н х. Как было сказано выше, для повышения гладкости функций, входящих в выражения для недифференцируемых функционалов, используется искусственный прием. Первоначальные управления объявляются фазовыми координатами, а новыми управлениями становятся их производные. Это делается для того, чтобы от функционала (10) (с явным вхождением управления в Ф) перейти к функционалу типа (9). Есть и другой способ, предложенный В. Г.
Болтянским. Пусть в задаче поставлено условие Ф[х(1), и(1)) цО, У1. Прн построении вариации управления мы должны использовать линеаризованное условие Ф[х(1), и(1)) + Ф„Ьх(1) + Ф„Ьи(1) ПО, У1 (18) (разумеется, на самом деле это условие нужно использовать не при всех значениях 0 а лишь при тех, где Ф[х(1), и(1)) > — « (е Ф„Ьи Ф„Ьх). Условие (18) очень неудобно с вычислительной точки зрения, так как Ьх(1) зависит не от Ьи(~), а от Ьи( ) (от всех значений Ьи(Р) для Р «1). Возникаег идея как-то избавиться от Ьх(г) и трактовать условие (18) независимо для каждого г (тах же, как трактуются условия типа и(~) й У, наиболее простые в данной задаче). Это достигается следующим образом. Будем искать вариацию управления в виде Ьи(1) = Ьй(1) + С(1) ЬхЯ, (19) где Ьх(1) — вариация фазы, вызванная полной вариацией управления Ьи(.), С(1) — некоторая подходящим образом построенная матрица.
470 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ 1ч. и Подставляя (!9) в (18), получаем Ф[Г] +Ф„[Г] Ьх(1) + Ф„[1] Ьй(1) + Ф„[1] С(г) Ьх(Г) «О. здесь Ф[г] = Ф[х(г), и(1)] и т.п. Очевидно, поставленная цель будет достигнута, если в качестве С(г) взять решение матричного уравнения Ф„[г] +Ф„[1] С(г) =О.
(20) В этом случае условия (18) превратятся в «локальные» (независимые при разных г) условия для Ьй(г); Ф[г] + Ф„[г] Ьй(г) ж О, 'е и Разумеется, надо внести соответствующие изменения во все элементы техники вычисления функциональных производных (дифференцирование по Ьй с учетом связи (19)), В частности, уравнение в вариациях преобразуется так: лг Ьх = 1„[г] Ьх+ У [г] Ьи = К„[1] + Яг] С(1)] Ьх + У„Щ Ьй(1). Остальное преобразуется таким же образом. Что касается уравнения (20), то искомая матрица С есть матрица типа 4!!ш и- ойш х, т.е.
она содержит ойш и.д!ш х неизвестных элементов. Само же уравнение (20) есть (так как Ф вЂ” скаляр) ейш х скалярных уравнений. Стало быть, зто есть переопределенная система. Нас устраивает любое ее решение. Несколько сложнее случай, когда условие Ф < 0 векторное. Тогда стандартной является ситуация, при которой в каждый момент времени!из всех условий Ф[х(1), и(1) ] к 0 не более гйш и являются активными (они реализуются в виде равенства, остальные — в виде строгого неравенства, их можно игнорировать) и уравнений в (19) сгановится не больше, чем неизвестных. $29.
Варнацнонные задачи механики с неднфференцнруемымн фуннцнонапамн Очень многие задачи механики имеют вариационную формулировку. Это связано с такими фундаментальными в естествознании идеями, как принцип наименьшего действия, особое значение состояний с минимальной энергией и т.п. Таким образом получаются задачи, с математической точки зрения имеющие вариационный характер. Определено некоторое пространство У и на его элементах и— функционал Р(и). Требуется определить элемент и", решая задачу шш Г(и). (1) чеи Иногда то же самое записывают в виде и' = аг8 пнп Г(и). 471 1 29! ВАГИАЦИОННЪ|Е ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ В классической механике такие задачи возникали весьма часто. При этом формулировка и е У включала в себя указание о числе производных у допустимых функций, для которых определено вычисление г, и о краевых условиях, которым они должны удовлетворять.
В наше время все чаще .возникают задачи типа (1)', в которых в формулировку и Е У включается, например, условие положительности функции и. В абстрактном представлении это оформляется как требование и Е К, где К является не линейным пространством, а, например, выпуклым замкнутым конусом. Разница между линейным пространством н конусом сосюит в том, что если два элемента и, и и принадлежат пространству, то ему же принадлежит и любая нх линейная комбинация аи, + ри2 (а, р— скзляры). Конусу такая комбинация принадлежит только при неотрицательных а, р. В частности, множество положительных функций образует выпуклый конус (лположительный квадрант» в бесконечномерном пространстве). Кроме того, в классической механике обычно функционал Р(и) был дифференцируемым в смысле Фреше, т.е.
при малом возмущении элемента и имеет место формула Р(и + Ьи) = г(и) + Г„(и) Ьи+ О(!!Ьл!!~). Линейный функционал Р„(и) есзь производная Фреше от Р в точке и (мы не останавливаемся на вопросе о том, в какой норме мало возмущение Ьи), В этом случае задачу можно решить не только в вариационной форме (1), но и используя необходимое условие экстремума Г„(и) =О. Это уравнение обычно называют уравнением Эйлера для вариационной задачи (1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
