Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (1185915), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Современные теории, если это удается, строят именно как теории сильного экстремума. Дифференцирование спектра. В приложениях часто встречаются задачи следующего типа. Состояние системы х(г) определяется как та или иная (например, главная) собственная функция линейного дифференциального оператора, зависящего от «управления» ш Ци) х = Лх.
(18) В таком компактном виде записываются как дифференциальное уравнение, так и краевые условия, которые обычно оформляются указанием на принадлежность х некоторому линейному пространству функций. Это пространство определяется числом необходимых производных и краевыми условиями. Уравнение (18) следует дополнить четким указанием о том, какая именно точка спектра имеется в аиду в данной задаче и как она нормируется. Итак, мы считаем, что задание и однозначно определяет как х, так и Л.
Рассмотрим функционал и его прямую вариацию: г"(и) ш Л, ЬГ(Ьи( = ЬЛ. Предположим, для простоты, что спектр вещественный, дискретный н непрерывно зависит от и. (Этот факт нужно доказывать и это делается в соответствующих разделах теории. Мы будем действовать формально. ) Выпишем уравнение в вариациях. Оно получается теми же операциями — подставкой в (18) и '+ Ьи, х + Ьх, Л + ЬЛ, использованием первых членов ряда Тейлора и группировкой членов одного порядка малости: М.(и) Ьх+ М(и, х) Ьи= Л Ьх+ ЬЛ х.
(20) Здесь и — заданное управление, х и Л вЂ” соответствующие ему собственные функция и число. Таким образом, относительно Ьх мы имеем линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами (М= Е„х — матрица, зависящая от х, и). Представим (20) в другой форме: (2.— ЛЕ) Ьх= — М Ьи+ ЬЛ х. Относительно Ьх это есть вырожденная задача (задача «на спектре»). Как известно, она имеет решение только в случае, когда правая часть ортогональна собственной функции сопряженного к ь оператора, соответствующей той же точке спектра Л (или Л, если оператор Ь несамосопряженный).
Обозначим эту функцию ~р, т.е. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФНПИКИ 442 1Ч. и Ь'(и) ~р = Л~р. Тогда условие существования решения (20) есть ( — М Ьи+ ЬЛ х, ф) =О. Отсюда получаем формулу ЬЛ(Ьи) =.(М'(и, х)1р, Ьи)/(х, 1р). (21) Заметим, что в (18) х есть функция, заданная в некоторой области ьз, и может быть функцией, заданной в й, а может быть определена только на ее границе дьз (если и есть коэффициент, входящий в линейные однородные краевые условия). Возможен и такой случай, когда и есть комплекс, одна компонента которого определена в Й, другая — на дй.
Поэтому в (21) скалярное произведение (х, 1р) есть интеграл по И, (М'1р, Ьи) может состоять из интеграла по й и интеграла по дь). В этом случае М' отображает функцию, определенную в й, в комплекс, одна компонента которого есть функция, определенная в й, другая — на дь2. Очевидно, фунхция М линейно зависит от х. Поэтому правая часть (21) не зависит от способа нормировки х, ~р. Формулы типа (21) используются, например, при решении вариационных задач для математических моделей ядерных реакторов (их состояние определяется главной собственной функцией некоторой краевой задачи для системы уравнений в частных производных),при оптимизации некоторых конструкций (например, мембран, важные технические характеристики которых выражаются через частоты собственных колебаний) и т.п.
Варьирование слабого разрыва, Рассмотрим задачу, в которой траектория имеет точку слабого разрыва, причем сама эта точка при варьировании управления меняет свое положение. С такими ситуа- циями имеют дело в случае, когда правая часть уравнения меняется при пересечении траекторией некоторой заданной поверхности в фа- зовом пространстве. Итак, рассматривается обычная задача для управляемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида (х(0) = л.", 0 и 1 и Т) У(х, и), 0(х(Т)) с О, У(х, и), б(х(г)) > О.
й Ради простоты предположим, что исследуемая траектория х(Б) только один раз пересекает поверхность б(х) = О, причем пересека-' ет, как говорят„нереально, без касания. Другими словами, требует- ся (при всех рассматриваемых значениях и) выполнение неравенств (,Г(Х, И), СР„(Х)) > О, (У(Х, И), бх(Х)) > О, где х — точка, в которой анализируемая траектория пересекает поверхность ы = О. Это условие существенно. Если оно не выполняется, перестает работать теория малых возмущений: малое возмущение управления может привести к конечному (О(1)) изменению траектории. 443 5 27! дивьвввициговьиив втикииоиьлов Рисунок 48 иллюстрирует сказанное.
На нем показана линия О, на которой рвется поле направлений рассматриваемой системы уравнений, и две траектории. Одна из них пересекает поверхность 0 = О нереально. Близкая к ней в области 0 < О траектория после пересечения поверхности разрмва ос- С О тастся близкой. Мы будем анализировать только этот случай. Другая траектория пересекает по- с4о верхность, касаясь ее. Близкая к ней в области С>0 0 с О, траекторйя не пересекает поверхности 0 = О, и такие траектории расходятся на расстояние О(1) как бы ни были они близки до прихси ближения к поверхности разрыва.
По существу в этом случае не работает теорема о единствеи- Риа. 4В ности решения задачи Коши. Ниже мы ограничимся только тем основным моментом, которым эта задача отличается от стандартной. Рассмотрим вывод формулы сп ~ (У(г), Ьх(Г)) й = $ (и(Г), Ьи(Г)) Ы~. (22) Здесь У вЂ” заданная функция, н — функция, подлежащая вычислению. Пусть исследуемая траектория х(~), порождаемая управлением и( ), пересекает поверхность С = О в момент г', а траектория, порожденная возмущенным управлением и( ) + Ьи( ), пересекает эту поверхность в момент Р + Ь.
Для определенности, будем считать Ь> О (случай Ь < О приводит к тем же формулам); очевидно, Ь = О([[Ьи[[). Уравнение в вариациях имеет вид Ьх — У„[~[ Ьх=/„И Ьи, ОнФнг*, Ьх — 7,[1! Ьх=7„[1[ Ьи, Р+Ьжгцт. Тождество Лагранжа записывается очевидным образом: ~ [(~р, Ьх — /„Ьх) + (Ьх, 1р + у'„~р) [ вй + о т + $ Н~р, Ьх - 7„Ьх) + (Ьх, 'р + 7; 1р) [ сй + ( р, Ьх) [," — (р, Ьх) [,"+ь. У+Ь (23) Так как в левой части соотношения (22) можно пренебречь величи- ~ 4Ь ной ~ (У, Ьх) й = О([[Ьи[[з), то превращение (23) в (22) осуществляется стандартным подбором правой части для сопряженного нгнелвкенные методы вычислительной ьнзнкн (ч.
и уравнения. Мешает только одно слагаемое в (23): — ( р, Ьх) ~,'.+ь. Мы уберем его за счет разрыва р в точке т'. Введем для возмущенной траектории обозначение у(т), о(т). Тогда с точностью до величин ОЯЬи)(~) имеем х(т'+ Ь) = х" + Ь7(х*, и'), х' = х(т'), и' = и((*), у(('+ Ь) = у'+ Ьу'(у', н'), у' = у(т*), н' =и(!'). Вычитая, получаем Ьх(т*+ Ь) = Ьх((') + Ь [/(у', н') — у(х', и")]. (24) Здесь мы неявно предполагали непрерывность управлений и, н в точке т'. Используем связь Ь с Ьх(т"): (у(у((' + Ь)) = О б(у'+ Ь У(у',н')) = О(х* + Ьх'+ Ь Ду',и*)) = = О(х') + Ох(х*) Ьх' + Ь С,(х') У(у', и'). Так как 6(х') =О, то (О„(х'), Ьх') (Ох(х ), Ьх') Ь (С (х'), у(у', ч')) (О (х'), у(х', и')) Второе равенство, конечно, неточное, но мы пренебрегаем малыми второго порядка, возникающими при замене у' на х' и н' на и'.
Подставляя найденное значение Ь в (24), имеем (6, Ьх') Ьх(('+Ь) = Ьх(т') — ( у) (у') — /,), где У(=у(х' и') /в=7(х', и'), Легко подобрать такой скачок между величинами ~р = тр((') и 1р+ = р((" + Ь), чтобы в первом порядке можно было уничтожить мешающие иам слагаемые в (23); (тр», Ьх((' + Ь)) — (тр, Ьх(т')) = (ту+ — Чр, Ьх')— ! Из полученного вмраже ни я вытекает требуемый результат. Функцию тр(т) следует взять как решение сопряжеттного уравнения тр+ ух!т)тр = у(т) ( Е (т Т) тр+Ух((1'р у(т) т ~ (О~ ( )1 44З з гт) ДИ»»ЕГЕНЦИГОВаинв »ГНКЦНОИАЛОВ с начальными даннымн 9)(Т) = 0 и условием скачка (Уз У) чц +0)) 'р(р — 0) = 1р((.
+ 0) г ) с( (х'). (25) (6,(х"), У,) Здесь мы провели еще одно обобщение: заменили )р+ = ~р((" + Ь) на ~р(У' + 0). Предоставим читателю несложную проверку того, что эта операция допустима в первом порядке теории возмущений. Если читатель повторит прнведеннмй выше вывод для случая Ь с О, он получит условие скачка в несколько иной форме: Угт ) ~р~ = р — ( ) С„(х').
Можно показать, что эти условия равносильны. Подчеркнем, что относительная сложность вычислений связана с тем, что точка разрыва производной У* варьируется при изменении управления. Если речь идет о разрыве правой части уравнения в фиксированный момент времени, стандартная техника вычисления производных не требует никаких изменений. дифференцирование по границе области. Рассмотрим задачу, в которой состояние некоторого объекта определяется решением краевой задачи в некоторой области. «Качество» этого рх состояния оценивается функционалом от решения, Пусть форма области не фиксирована, но Рис, 49 может в тех или иных пределах меняться.
Это изменение следует производить с целью улучшения качества объекта. Перейдем к более конкретной постановке задачи. Рассмотрим модельную задачу, в которой, однако, присутствуют те моменты техники дифференцирования, которые мы хотим разъяснить. Предположим, что состояние объекта описывается ' функцией Х(х, у), определенной в области »2 (рис. 49) и являющейся решением краевой задачи для уравнения Пуассона (Ь вЂ” оператор Лапласа) ЛЯ' = У(х, у), (х, у) Е Й, (2б) с краевым условием, для определенности, первого рода: Х(х, у) ( „, = р(х(х, у)). (27) Здесь У, р — заданные функции, форма области не фиксирована.
Чтобы избежать чисто технических усложнений, будем считать, что граница АВСУ) фиксирована и только ее часть АУ) может варьироваться. Пусть качество состояния оценивается функционалом 1 1 ф(й' (х, 1)) Ух, (28) о 446 ЛРИБЛНЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ !ч. и где Ф вЂ” заданная функция. Таким образом, (28) есть функционал от формы области, вычисляемый по очевидной схеме: если область задана, решается краевая задача (26), (27), затем вычисляется интеграл (28).
Для того чтобы продифференцировать (28), нужно выбрать форму задания границы. Допустим, что граница А!7 задана параметрически координатами Ц!), з!(г) (О <1< 1), а сами эти функции являются решением краевой задачи: ч = и~(Р), т) = из(Р), ЦО) = т!(О) = з1(1) =О, Ы1) =! (29) Такая (или аналогичная) форма задания бывает удобна, когда возникает необходимость ограничить геометрические характеристики границы (кривизну, например). Итак, основным независимым аргументом в задаче является вектор-функция и( ) = (и,( ), из( )), по традиции называемая управлением. Интеграл (28) можно обозначить г!и( )1. Алгоритм его вычисления начинается с решения краевой задачи (29), далее — как было описано выше. Вычисление производной начинается с прямой вариации функционала. Эта операция дает очевидную формулу Ьг(ЬН( )) = ~ Ф'(е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
