Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (1185915), страница 94
Текст из файла (страница 94)
) Ьх' (х, 1) ох, (30) о которую нужно преобразовать в выражение ! ЬГ[ЬН( К = $ (и,(г) Ьи,(1) + Ргз(1) Ьиз(г)) сй. о Ниже описываетсЯ, как вычислЯютсЯ иы нх Схема РассУжДений обычная: вариация и( ) малыми величинами Ьи( ) приводит к малому изменению дуги А21, это влечет малое изменение состояния (Я' 'е'+ Ьй'), после чего по (30) вычисляется малое изменение функционала. Основной элемент вычисления производной в данной ситуации — это правильная формулировка уравнения в вариациях; сложность здесь в том, что варьируется область.
Выпишем уравнение для возмущенного состояния; АХ = У(х, у), (х, у) Е Й. (31) Некоторые сложности связаны и с краевым условием для Х на дуге Акх, причем дело не в том, что нужно аккуратно разобраться в этом вопросе, а в том, что нужно уточнить постановку задачи. Пусть формально эти условия записаны в виде .й'(Г(!), й(1)) = ~(!) = О(г) + ь р(!), о при этом Ьу(1) не вычисляется, а задается постановкой задачи.
447 а 27) дивввгввциговАнив втнкциовхлов Рассмотрим вариацию Ь.в'(х, у) н сформируем для нее краевую задачу. Учтем, что л' и Я' определены в разных, хотя и мало отличающихся областях. На рис. 50 показана часть области (границы й и Й). Введем вспомогательную функцию ж, опре))еленную в не- возмущенной области й и мало отличающуюся от Я' там, где последняя имеет смысл: ) л'(х, у) — ж'(х, у) ~ = ОЦЬи))~), (х, у) Е й П й. Введя обозначение Ь.Ф'(х, у) = й'(х, у) — Я'(х, у), (х, у) Б й, получим для этой функции уравнение в вариациях. Возмущенную границу удобно описывать с помощью скалярнмх функций а(!) и т(!): Ц! + т(!)) = Ц!) + а(!)л,(!), (32) т)(! + т(!)) = 7)(!) + а(!)лз(!), где а, т = О())Ьи)о, л (лн лз) — внешняя нормаль к дй в точке ), а(!) — смещение дй относительно дй по нормали, т(!) — малое возмущение параметра ), Можно обойтись и без этого смещения, изменив парзметризацню дй таким д!) образом.
Припишем значение ! точке пересечения дй с прямой (Ц!) + ал,(!), 7)(!) + аиз(!)). При этом надо пересчитать ЬР(!), увеличив сс, оче- ! )) й видно, на т(!) Р,(!). Будем считать эту операцию проделанной и уберем т из (32). Величина а(!), Рис. н) конечно, функционально зависит от Ьн(-), и это в дальнейшем будет учтено. Величины Ь р, а, т суть малые первого порядка; только этот порядок н будет учитываться в дальнейших выкладках. Определим У(х, у) в й решением уравнения ЬХ = 7(х, у), (х, у) Е й. Краевые условия на границе АВС!у — те же, что и для Х (н Х).
На невозмущенной дуге АР поставим краевое условие 2'(~(!), !)(!))+а(!) ~;; = Р(!)+ЬР(!). Смысл этого условия очевиден! функция Х(х, у) на возмущенной дуге дй с точностью до малых второго порядка совпадает с Я'. Если какая-то часть дй лежит вне й, речь идет об экстраполяции значений Я' в малой окрестности дй. Такая операция корректна, сели 44В нгивлижвнныв методы вычислитвльной оизики (ч. и граница дь2 достаточно гладкая, что обеспечивается определением границы уравнениями (29) при некоторых ограничениях на величину [[и(Г)[[, которые мы неявно считаем выполненными.
Таким образом, можно считать, что Я'(х, у) определена и удовлетворяет в й тому же уравнению (стало быть, предполагается, что У(х, у) определена в окрестности Й и является достаточно гладкой) и совпадает с Х на границе Й с точностью до малых второго порядка. Следовательно, ~.х (х, у) — л'(х, у)~ есть величина второго порядка. Этой разницей мы пренебрегаем, т.е. вариацию Ьл.", определенную как и' —.х, можно использовать в дальнейшем и в смысле Ь.в' = Я' — Х. Вычитая из (31) невозмущенное уравнение (26), получаем уравнение в вариациях: (33) ЬЬ'в'=О, (х, у) Е й, с краевыми условиями Ьх'(х, у) = 0 на границе АоСР.
На границе АР краевое условие имеет вид Ьв'+ а(т) 2'„= бр(т), т е [О, 1[. (34) Здесь мы заменили 2'л на .й'„, отбросив возникающую при атом погрешность второго порядка. Теперь используем тождество Лагранжа: )) (ьР ЛЬк — Ьв'ЬьР) ахНу= $ ФЬй'„Н вЂ” $ Ьв'Ч'„Л, (35) и ва ви где 1 — длина дуги на дй. Простой подбор краевых условий для' Ч' позволяет получить из (35) выражение для ЬГ через интеграл от возмущений на АР. В самом деле, принимая для Ч'(х, у) уравнение ЬЧ' = 0 и учитывая (33), обращаем в нуль левую часть (35). В силу краевых условий Ьх'=0 на АВСР второй о интеграл в правой части превращается в ~ ЬХ Ч'„Н.
Первый же А интеграл правой части превратим в ЬГ, определив краевые условия для Ч' следующим образом: ьР= О иа ВАРС, Ч~=Ф'[Я' (х, 1)[ на ВС. (3б) Таким образом, краевая задача для Ф полностью сформулирована. Заменяя ЬЯ' на АР из краевого условия (34), получаем о 1 ЬР = ~ ьр„бй' Л = ~ Ч'„[1[(бр(С) — а(т) .й'„[т[) у сй. (37) л о 449 й г71 диоьегзн!!нгоВАн!!Б Функнио!!Азов Здесь мы используем обозначение типа !р„[1[ ев Чс„(Ц1), Ч(1)). Линейный функционал от а(.) следует преобразовать в функционал от Ьи(.), что достигается сравнительно стандартными выкладками. Сначала находим внешнюю нормаль к А17 в точке 1: н(1) [; ь) !У'~г+ Чг,11 /~г + „г,11 Вычисляем а(1), выписывая условия пересечения нормали с возму- щенной границей: Ц1+ т) + ЬЦ1+ с) = Ц1) + пн!(1), Ч(1+ т) + ЬЧ(1 + ) = Ч(1) + (1).
Пренебрегая малыми второго порядка, получаем систему линейных уравнений относительно и и смещеиия параметра т: гс + ЬК(1) = апо Чт + Ьт1(1) = апг, откуда а(1) = (Ч(1) Ьж — Ь) ЬЧ(1))l~т+ Чг. Используя полученные выражения, преобразуем формулу (37): ! ! ЬГ = ~ Ч о[1[ Ь р(1) 11 — ~ Ч „[1[ Х„[1[ (Ч Ь» — ~ ЬЧ) 11. о о В дальнейшем мм будем преобразовывать в функционал от Ьи(.) только второй интеграл правой части.
Такие же преобразования должны быть проделаны и над первым интегралом, но сначала (в зависимости от точной трактовки краевого условия на любой допустимой дуге А17) этот интеграл должен быть преобра.зован в функционал от ЬЦ ), ЬЧ( ). Выпишем очевидное уравнение в вариациях: Ьс = Ьи„ЬЧ = Ьиг, ЬЦО) = ЬЦ!) = ЬЧ(О) = ЬЧ(1) = О, и соответствующие тождества Лагранжа: ! ~ (Ч!! Ьс Ьс Ч!!) '11= [Ч!! Ьс — Ьс Ч!![о' о ~ (Ч г ЬЧ вЂ” ЬЧ Ч!г) «1 = [Ч г ЬЧ вЂ” ЬЧ Рг[о.
о 15 — 1833 «50 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ 1ч. и Взяв в качестве Зр1, [1г решения краевых задач зр, = — Ф„[1[ и'„И Ч(1), зр (О) = %()) = О, (38) зрг рл[1[ й »[1[ В(1)~ "рг(0) зрг(1) = 0~ мы, очевидно, получим 1 1 $ 'Р„[1[ '»[1[ (Ч бз- Е бЧ) 1 = $ ( Р,(1) б,(1) + Р,(1) б,(1)) (1, о о т.е. требуемый результат. Подведем итог, перечислив последовательность операций, выполняемых при вычислении производной функционала: 1) задано невозмушенное управление и1(1), иг(1) (1 е [О, 1[); 2) решая систему (29), определяем Р(1), з)(1) и, тем самым, область Й; 3) решая «прямую» краевую задачу (2б), (27), вычисляем .е."(х, у) и функционал Г[н(.) [; 4) решая задачу ОЗР =0 с краевымн условиями (Зб), находим ЬР(х, у); 5) решая краевые задачи (38), находим Зр„1рг, являющиеся производными функционала,: ВЕ1ш П "1 Дифференцирование по коэффициенту диффузии.
Рассмотрим задачу, в которой состояние обьекта 2'(х, у) определяется решением эллиптического уравнения «с управлением» и(х, у): <11т [ийгао л'[ =О. (39) Это уравнение рассматривается в заданной области й с границей Г, на которой поставлено краевое условие ~[г=1 (40) Коэффициент диффузии и(х, у) может как-то меняться и является в данном случае тем ресурсом, распоряжаясь которым можно влиять на состояние объекта в нужном направлении. Предположим, что качество состояния е' оценивается функционалом г [и( ) [, для которого, ради определенности, примем формулу к[и(.)1 ш Ф ф(й „) ( .
(41) г Здесь Ф вЂ” заданная функция, е'„— нормальная производная. Покажем, что при дифференцировании функционала (41) в некоторых 45! 1 271 диьвегввцигоыние ьчнкцпонилов (достаточно распространенных) ситуациях слишком наивное н прямое применение описанной выше техники вычисления функциональной производной может привести к грубой ошибке. Нужно достаточно внимательно относиться к некоторым чисто математическим тонкостям. Ситуация (про-' дГ стейший ее вариант) такая: в области й имеется „Ф ч внутренняя подобласть ю с границей у (рнс, 51).
Пусть невозмущенный коэффициент диффузии Г7 и(х, у) имеет разрыв на ъ будучи гладкой функцией в ш и Моз. Рассмотрим два варианта теории возмущений: а) малое (О(е)) возмущение и во всей области й (малое в метрике С); в этом случае шез ш = О(1); б) мала мера о7 (шез ш = к); в этом случае 'возмущение и есть О(1) в о7 и нуль (или, если угодно, О(е)) в остальной части. В обоих случаях соответствующее возмущение состояния Ь.к" = О(е) (такие теоремы для (39) доказаны) и вариация функционала вычисляется по формуле ЬГ= ~ Ф'[51 ЬХ„Иг, Ф'[5[ = Ф'(Я'„(х(5), У(5))). (42) г Здесь Ф'[5[ — известная на Г функция, вычисленная по известному невозмущенному состоянию. Для преобразования (42) в линейный функционал от Ьи( ) (мы пока ограничимся более простой ситуацией малых возмущений на всей области й) выпишем наивное уравнение в вариациях: о!ч [пагад Ь.к') + о!ч [Ьи угад Х[ =О, (43) н тождество Лагранжа: ~)Ч'о1ч (и йгад 62') Ых оу — )~ ЬМ' о1ч (и ран Ч7) ох Ыу= =$ (Чъ Ьй — банч ) Ь.
(44) г Определяя Ч' решением уравнения о1ч (ийгад Ф) =О с краевыми УсловиЯми иФ[г = Ф'[5[, УчитываЯ Ьл'[г = О и УРавнение (43), из (44) получаем Ьг[би( )[ = — ~~ Ф(х, у) б1» (Ьп бган .к) пх Иу. (45) Ошибка этой прямолинейной выкладки состоит в том, что при разрыве и на у гладкой функцией является «поток» и Я'„, где .й' = (рад л', л), и есть нормаль к у. Функции и и к„ на у рвутся 15» пгизлижзпнык мюоды вычислительной ончики (ч. и и уравнение (43), будучи верным всюду вне у, на этой линии теряет смысл.
Видимо, в ситуации можно разобраться, используя теорию обобщенных функций, но мы предпочтем более прозрачный классический анализ. Итак, уравнением (43) и тождеством (44) можно пользоватьсм отдельно в оз и й~ох На разделяющей нх кривой у выполншотся условия согласования [й') = О, [ил',[ О, т.е. разрывы решения н потока на у равны нулю. Эти условия уже можно проварьировать обычным образом: [Ь ),=О, [иЬ'о),+[Ьи о),=О (46) Используя уравнение (43) н тождество (44) отдельно в оз и Мсо (в этом случае в (44), очевидно, добавляется контурный интеграл по у), складывая оба выражения типа (44), получаем правильное тождество: ~ ~ [Ф дгч (и рад Ь2') — ЬЗ' дЬ (и 8гад Чг)) дх ду = о'т ф (Фи Ьл'„— Ь2' иЧ'„) дг + ф [[Ч'и ЬЛ'„) + [Ьл' иЧ~„) ) дж (47) г М Интеграл по й~ у означает просто сумму интегралов по ю и й~со.
Теперь уже можно действовать стандартным способом, Определим Ф решением той же самой задачи со стандартным условием на у [Ч'] = О, [иЧ'„) = О. Используя непрерывность Ч~ и Ьл' па у, имеем [Ь2' иЧ'„) = О, а в силу (46) [Ч" Ь~.),=Ч'[иЬ~'.),=-Ч'[Ьи .),. Теперь остаетсм исправить формулу (45): Ьг"[Ьи(.)) = — )) Ч' д1т (Ьи йгад л') дх ду+ $ Ч'[л'„Ьи) дж (48) о~ч 7 Рассмотрим второй случай — конечное возмущение управления на множестве малоЙ меры. Возмущенное управление и(х, «) (х, у) Е й~оэ, й(х, у) = и(х,' у)+о(х, у), (х, у) Е оз. 453 5 гт) ди««ееенниговкиие «чнкционАлов Начнем с уравнения в вариациях, выписав возмущенное и невозму- щенное уравнения в ш и й~ш: д1ч (и егад У) = О, йч ((и + и) кгад 2') = О, д1ч (и ягад 2') = О, д]ч ((и)рад Ф') = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
