Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (1185915), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Объединяя эти преобразования, получаем (Ф„, Ьх) = — (Я„Ьи, ~р) = — (Я'„Ф, Ьи). 437 6 271 диь»вгвнциговлнив «гнкционллов Подставляя (7) в (3), мы имеем окончательную формулу лля вы- числения функциональной производной: (Р„(и), Ьи) = (Ф„(х, и) — Я'„~р, Ьи). Р„(и) = Ф«(х, и) — Л'„зр. Итак, Подведем итог, перечислив вычисления, которые дают функциональную производную р„в точке и. Имея и, можно решить уравнение (1) и получить х; имея х, и, можно сформировать уравнение (б). При этом мы неявно предполагаем, что операции дифференцирования по х и и оператора Я и функционала Ф являются элементарными.
Во многих достаточно сложных задачах это действительно очень простые операции, но встречаются и более сложные ситуации, в которых не так-то просто разобраться. Решая уравнение (7), находим ~р и вычисляем функциональную производную р„, Выше была приведена общая схема дифференцирования функционалов, определенных иа решениях функционального уравнения. В изложении мы опустили многочисленные тонкости строгого математического оформления схемы, выделяя содержательно сущесгвенные моменты. По этой схеме ниже мы рассмотрим более аккуратно характерные конкретные примеры. Дифференцирование функционалов от решеиий обыкиовеиных диффереициальиых уравнений. Рассмотрим ситуацию, которая связана с задачами оптимального управленим в первоначальном смысле этого слова (см. 5 28).
Изучается система дифференциальных уравнений, «управляемая» выбором функции и( ) и параметров р: х = у(х, и, р), х(0) = 2' (р), 0 а г ц Т. Траектория системы (8) полностью определена заданием управления (и( ), р). Пусть управление подверглось малому возмущению: и(.) - и(') + Ьи(.), р- р+ Ьр. Возникает вопрос: что значит «малое возмущение Ьи( )»? Пока ограничимся самым простым случаем, считая, что шах 8 Ьи(г) 8 = О(в), ВЬр8 = О(с). (Если вид нормы не конкретизирован, можно считать, что 8 ° 8 — любая из употребляеммх в конечиомерных пространствах норм.) В нижеследующих выкладках используется тривиальная теоРия малых возмущений первою порядка (см. 5 19). Прежде всего необходимо устаиовить, что малое возмущение управления порождает, соответственно, малое возмущение траектории.
Обозначим через х(~, и(.), р) решение задачи Коши (8), определяемое управлением 4ЗВ пгизлижзнныв методы вычислительной оизякн [ч. и (и(.), р), через Ьх(1) — прирашенне х(г), вызванное возмушеннем управления: Ьх(г) = х(т, и( ° ) + Ьи( ), р+ Ьр) — х(г, и( ), р). Оценка [[Ьх(г)[[ = О(е) устанавливается аналогично тому, как исследовался ряд Пуассона в 5 19. Пусть определен функционал от [и( ), р): т г[и( ), р! ш ~ Ф(х(1), и(Г), р) Нр, (9) о где Ф вЂ” заданная гладкая функция, Мы используем символ Ь в идентификаторах, присваиваемых точным приращениям величин, символ Ь вЂ” в идентификаторах вариаций этих величин (Ь от Ь отличаются в следуюшем по о порядке).
Символ и( ) означает функцию, взятую в целом как аргумент функционала; и(1) есть точка конечномерною пространства (сеченне и(.) в точке г). Вычислим Ьг" прямым варьированием формулы (9). Подставляя в правую часть х+ Ьх, и+ Ьи, р+ Ьр н используя первые члены ряда Тейлора, имеем т ЬК[ьи(-), ЬР[ = ~ [Ф„И Ьх(Г) + Ф„[Г! Ь (Г) + Ф,И Ьр! (1. о Здесь Ф,[г! обозначает Ф„[х(г), и(г), р! — зависящую от г матрицу, определенную в той точке (и(.
), р), в которой вычисляется производная. Итак, получена формула типа (3), Выпишем уравнение в вариацияк (4) таким же формальным варьированием уравнения (8): Ьх=У„[1[ Ьх+/„[Г[ Ьи+У [1! Ьр, Ьх(0) =2' (р) Ьр. Это и есть уравнение в вариациях. В нем дх можно заменить на Ьх, добавив к правой части выражение о(о). Используем элемент обшей схемы — тождество Лагранжа: т т ~(р,[-„',— ~„~Ьх) (г — ~ ф-~,~,бх) (=(Ь., р)!,'.
(10) о о Вывод (10) сводится к интегрированию по частям, определению т; и к соотношению (ЫИ1)' = — ФЖ. Заключительный шаг преобразований требует нехитрого угадывания вида правой части сопряженного уравнения, с тем чтобы выражение ( — р — У;~р, Ьх) превратилось в (Ф„, Ьх). Очевидно, в качестве ф следует взять решение уравнения (11) -в=У„'[и[ р+Ф„[г[.
439 ди»»егьнцнгоалние втнкционллов Преобразуем выражение (Ьх(Т), ~р(Т)) — (Ьх(0), зр(0)), заменяя Ьх(0) =2'р(р) Ьр н уничтожая лишнее слагаемое выбором значе- ния ~р(Т) = О. Это то краевое условие, которое однозначно опреде- ляет ~р(1) как решение задачи Коши, Итак, имеем окончательный результат: г ЬГ[Ьи( ), Ьр[ = 1 (в(1), Ьи(1)) й+ (И, Ьр), о где функциональные производные суть '(1) = ~,„<„' 1 = Ф„[1[ + У'„[1[, р(1)), (12) И'= ' =Х'(р) ~Р(0) + ~ (У', зр) ~11+ ~ Ф [1[ д1. о о Конечные вариации и на множествах малой меры.
Важным элементом современного вариационного исчисления является следующий класс «малых» возмущений управления, также приводящих к малому (в обычном смысле слова) возмущению траектории и функционалов. Пусть задано невозмущенное управление и( ) и соответствующая ему траектория х(1) (параметры р, ради простоты, опустим). Рассмотрим другое, в некотором смысле близкое, управление: о(1), 1Е 14, й(1) = и(1), 1 М 14.
(13) Здесь г( ) — некоторая функция того же типа, что и и, причем [[и(1) — о(1) [[ = О(1), 14 — некоторое множество малой меры: тез 14 = е. Конструкции типа (13) называются конечными возмущениями управления на множествах малой меры (рассматриваются всевозможные множества 14 и функции г( )). Проведенные выше выкладки по существу содержат в себе доказательстводифференцируемости функционала (9) по Фреше. В качестве упражнения рекомендуем читателю проделать аналогичные вычисления в следующих, мало отличающихся от рассмотренной ситуациях: а) Пусть р[и( ), р[ вя Ф[х(1'), р[, где Ф и 1' заданы.
(Отдельно необходимо рассмотреть часто встречающийся в приложениях случай 1' = Т.) б) Пусть вместо начальных данных Коши х(0) = 2'(р) заданы общие краевые условия 2'(х(0), х(Т), р) = О. Существование, единственность решения такой краевой задачи, и гладкую его зависимость от управления следует предположить (доказательство этих свойств — отдельная наука, которой мы здесь не касаемся). пгнзлиженныв мвюды вычислительной тазики 1Ч.
и Пусть управлению й(1) соответствует возмущенная траектория х(1). Тогда (для задачи (8), во всяком случае) можно получить оценку Ьх(1) = О(з). Вычисление вариации функционала (теперь уже лучше не говорить о производной — оиа в данном случае не определена) проводится по той же схеме, что и раньше, но некоторые детали следует уточнить. Итак, сначала вычислим вариацию функционала т г цтт = ~ Ф(х + Ьх, й) ~(1 — ~ Ф(х, и) Ы1 о„ о ж $ Ф„[1[ Ьх(1) Ы1+ $ [Ф(х(1), о(1)) — Ф(х(1), и(1)) А. (14) о Н Кроме обычных формул Тейлора, в (1') использовано следующее: а) в члене Ф„Ьх производная Ф„везде вычисляется в точке и(1); это неверно при 1 Е р, но мера р мала и связанная с этим погрешность есть, очевидно, О(ез); б) по тем же причинам в последнем интеграле в (14) х + Ьх заменено на х.
Перейдем к уравнению в вариациях. Имеем уравнения х=1(х, и), х= 1'(х, й), х(0) = х(0). Беря их разность, проделаем простые преобразования: Ьх = /(х + Лх, й) — У(х, и) = = у.[1[ Ьх(1) + [у(х(1), й(1)) — Дх(1), и(1))) + д(1), (15) Здесь 11(1) — разность между точным значением Ьх н первыми тремя членами последнего в (15) выражения. По тем же соображениям, которые использовались в преобразованиях (!4), можно показать, что Я(1) = О(е~) при 1 Ф и и й(1) = О(с) при 1 Е р. Поэтому для вариации Ьх(1) = съх(1) + О(сз) можно использовать уравнение в вариациях в форме Ьх = У„[1] Ьх+ [1(х(1), й(1)) — 1(х(1), и(1))), Ьх(0) = О. (1б) Выражение в фигурных скобках есть, очевидно, величина О(1) прн 1 Е и; оно обращается в нуль при 1 4 и.
Тождество Лагранжа (1О) берется в той же форме (10); уравнение для ~р такое же, как (11). В результате получаем окончательную формулу для вариации функционала: ЬР[1г, о( ) [ = ~ [Ф[х(1), и(1) [ — Ф[х(1), и(1)) п1+ + $ (ц~(1), У(х(1), в(1)) — У(х(1), и(1))) И1. (17) к ДИ««ЕГВНИВГОК«НИЕ «ГНКЦИОН4ЛОВ 441 В варнационном исчислении различают слабый относительный минимум — это точка и(.), которая' не может быть «улучшена» при возмущениях управления вариациями Ьи( ), малыми в обычной метрике (типа' С), и сильный относительный минимум — это точка и(.), которую нельзя улучшить, используя конечные вариации на множествах малой меры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
