Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (1185915), страница 100
Текст из файла (страница 100)
тогда всюду в круге радиусом р, очевидно, (ьиг + ьиг) пг = ~ е/ь~ н приращение функционала на таком возмущении легко подсчитать: Ьг ярг (О 5(е/р)г+ ! е/р~) — (1/3) апрге рг (05(е/р)г+ '1«/р1 — (1/3)ае). Таким образом, как бы нн был велик параметр а, при достаточно малом р будет ЬР > О, т.е, такая вариация только ухудшает функцию. В то же время легко строится ыелокальная вариация Ьи того типа, который был описан выше, и для нее ЬР с О.
Все это имеет прямое отношение к одыой нз распространеыных схем приближенного решения варнационных задач. пгивлиэквнлыв мвтоды вычислитвльнай физики 1ч. и 476 Метод покоординатного спуска. Нелокальность условий экстремума («уравнения Эйлера») в неклассической вариационной задаче имеет серьезные последствия с точки зрения вычислителя. Рассмотрим универсальный метод построения минимизирующей последовательности. На этой основе естественно пытаться строить приближенные методы. Здесь есть чисто технический вопрос — конечномерная аппроксимация вариационной задачи.
Введем сетку с шагом /г (по х и у) и узлами (Й, лг) и сеточную функцию и„м. Заменим функционал функцией конечного числа переменных. Обозначим /4»пх»пг-— (и«», — и« ) /Ь + (и„„,»1 — иг ) /Ь г г г г и аппроксимируем функционал Г(и) так: Р() ~ук5х ц, »'т, — „,з (5) ("4+пг ~+пг среднее нз четырех значений в узлах сетки), Метод покоординатного спуска минимизации функционала (5) состоит в том, что поочередно меняются значения и« „, в одном узле с целью понизить значение Р. Очевидно, при вариации значения и в сумме (5) изменятся только три слагаемых (соответствующих узлам (к — 1, лг), (х, лг — 1) и (к, лг)).
Этот способ решения вариационных задач известен уже около ста лет под названием «релаксациониый». Он является одним из наиболее медленно сходящихся, но в классических вариационных задачах в принципе приводит к успеху. Ксли в каждом узле (Й, лг) попытка понизить значение гт оказывается безуспешной, минимум функционала (точнее, его конечномерной аппроксимации (5)) найден. Основу этого метода, очевидно, составляет множество финитных сеючных пробных функций. Метод легко обобщается и на неклассические задачи.
В частности, некоторый его вариант под именем «метод локальных вариаций» был одним нз первых, предложенных для приближенного решения задачи Бингама. Однако из сказанного вьппе следует, что такой метод принципиально неадекватен природе задачи: здесь нужны более сложные и тонкие алгоритмы. Действительно, применение метода локальных вариаций, популярною блаюдаря его алгоритмической простоте, привело к публикации «решений» (задач Вингама, Ильюшина и некоторых других), опровергнутых последующими расчетами.
Задача качения. Следующий пример неклассической вариационной задачи связан с задачей качения шарика 'по плоскости с учетом сухого трения. Под действием силы, направленной ортогонально плоскости качения, материалы шарика и основания дефор- 477 % 291 ЕАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ мируются и образуется двумерная область контакта О (процесс считается стационарным). Область сР задана (ее форма определяется решением другой вариационной задачи, которую мы не обсуждаем). В этой области определены искомые двумерные вектор- функции е(х, у) = (е„зз) и т(х, у) = (тн тз).
Вектор «(х, у) имеет смысл относительного проскальзывания — смещения контактирующих точек шарика относительно их положения в отсутствие движения. (Заметим, кстати, что задача рассматривается в подвижной системе координат, в которой вся картина стационарна.) Вектор т(х, у) имеет смысл силы трения. Перейдем к математической формулировке задачи. Итак, следует минимизировать функционал Р[т(.)) ш ) $ (У(х, у)ЦЕ(х, у)Ц вЂ” (т(х, у), з(х, у))) 41х 41у (6) при ограничении Цт(х, у)Ц К 7'(х, у), 1Р (х, у) Е С, и связи между е и т в виде е(х, у) = н(х, у) — ~ ~ 8(х — х', у — у') т(х', у') 4(х' 4(у', (8) с Здесь все, кроме т и з, задано, У имеет смысл нормального давления, н — скорость движения точки (х, у) в подвижной системе координат, 27(х, у) — некоторая (2- 2) матрица-функция, Функционал обозначен Р~ т ~, так как е явно выражается через т.
Эта функция, таким образом, является единственным независимым аргументом. Задача хорошо исследована. О ее решении известно следующее. 1. Решение существует и единственно. 2. Минимальное значение Г есть нуль. 3. Область О разбивается на две части: область сцепления б, в которой з(х, у) О, Цт(х, у)Ц </(х, у), и область проскальзывания Ябз, в которой Це(х, у)Ц ~ О, т(х, у) = 2(Х, у)х(х, у)/Цх(х, у)Ц. Это, в сущности, хорошо известные законы сухого трения. Если сила Ц ХЦ меньше некоторого порога, пропорционального силе нормального давления, скольжения нет (е = 0). Если сила достигает этого порога, начинается скольжение. Мы сталкиваемся с недифференцируемостью функционала (б) в тех точках т( ), в которых уже имеется непустая область сцепления б .
Приближенное решение задачи качения, Опишем в общих чертах метод приближенного решения задачи. Первый элемент метода — конечномерная аппроксимация. В области О вводятся квад- 4тз ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ ~ч, и ратная сетка с шагом л и узлами (А, Рл) и сеточные функции т Б и т.п. Функционал аппроксимнруется суммой В(Т) =й2ХХ (/ ПЕ П вЂ” (2, $ И, а связь между Б и т записывается в виде Б =τ— 62ХХВ Т, Т Проблемы вычисления элементов матрицы В обсуждаются в 8 30. Основная трудность состоит в построении алгоритма минимизации недифференцируемого функционала.
Дело в том, что, когда образуется область сцепления, зависимость В от т становится, вообще говоря, аналогичной зависимости типа (а, т) + 828. График этой функции есть «наклоненный конусь. Множество направлений ее убывания (если оно не пусто) есть конус, тем более узкий, чем ближе ситуация к экстремуму (т.е.
чем ближе 8а8 к единице). Найти хотя бы одно направление в таком конусе в пространстве очень высокой размерности (тем более высокой, чем меньше шаг сетки й) — сложная вычислительная задача. Она осложняется еще н тем, что интересы эффективности процесса минимизации требуют не просто какого-то направления убывания Г, но, по возможности, направления наиболее быстрого убывания. Конечно, наличие ограничений ЙТЙ ц / вносит дополнительные осложнения н сокращает возможности выбора. Метод численного решения, реализующийся в виде процесса построения минимизирующей последовательности, основан на анализе формулы для первой вариации функционала.
Пусть текущая, уже найденная точка 2 подвергается малому возмущению, т.е. переходит в т + бт. Как изменится при этом значение В? Для упрощения изложение будем вести в терминах функций и интегралов. Перевод полученных формул в сеточный вид достигается заменой аргументов х, у на индексы Й, ПТ, интегралов — на суммы.
Кроме того, используем полезное свойство преобразования В в (8): Ц (Вт, т) Ых Ну= О, 'В т. о Это позволит упростить выражение для функционала, заменив в (б) интеграл от (Б, т) = (т, и — Вт) на интеграл от (т, и). Первоначальное выражение (б) для В полезно в том отношении, что позволяет контролировать качество приближенного решения. Б точном решении, как это следует из указанных выше сведсний о нем, подынтегральное выражение /(х, у)8е(х, у)Ц вЂ” (т(х, у), з(х, у)) яя О, 'ч' (х, у).. Будем проводить вычисления в некоторой точке т( ), для которой определена область сцепления с,: 8Б(х, у) Й ц В(х, у) (роль В разь- 479 8 г91 ВАРИАЦНОННЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ясняется ниже). В соответствии с этим функционал можно разбить на две части — на дифференцируемую (по Фреше) Р« и неднффе- ренцнруемую Р;.
Р[т( )] Р«+ Р„= ~~ (...) ~Ух 4(у+ ~~ [...) 4(х ~уу, о'х с, а, Пусть т возмущено малой функцией Ьт. Тогда первая вариация (дифференциал) Р, есть линейный функционал от Ьт, т.е. с точно- стью до О([]ЬХ[[з) имеем Р [ ( ) + Ьх( Ц = Р [ ( )] + ~ $ (17(х, у), Ьт(х, у)) пх Ыу. о здесь Р(х, у) — производная Фреше от Р«, которая вычисляется по формуле /( Р Р~ Р(х, у) = $ $ — — 7'-~— ,- В(х — х', у — у') з(х', у') Ых' 4(у' — в(х, у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
